基本型曲线测设极坐标计算程序
基础理论
平面路线的计算和设计是铁路、公路测量工作中的一项重要的内容。主要包含平面曲线要素和平曲线主点桩号的计算，以及路线中桩逐桩坐标的计算。
随着全站仪、光电测距仪、计算机和Casio 可编程系列计算器的广泛应用和飞速发展，测量的方法也随之改进，测量的效率和精度不断提高。但也存在部分测量基层人员对曲线理论了解不够深入，只会照搬程序和使用程序，如果程序出现问题、需要修改或自己编写时，却不知如何进行。
现在就目前现有的测量理论，将极坐标测设曲线基础由浅入深的介绍给广大测量人员，便于了解和读懂计算程序。当我们在现场测量时，只需携带编有曲线计算程序的计算器，输入所测点的点号（里程）或与之相关构造物的各点时，即刻得到测点的测量数据。操作简便灵活、计算快捷、便于掌握。既减轻了计算工作量，又改善了工作条件，提高了工作效率。
基本型曲线的综合理论
目前我国使用的基本型曲线主要分为两种类型：一种是圆曲线；另一种是圆曲线两端加设相等缓和曲线的曲线。 首先介绍圆曲线的综合要素的计算：
一、 看图学曲线
Ⅰ
圆曲线的主点和要素的意义：
JD ……交点，两相邻直线相交的点；
ZY……直圆点，按线路前进方向由直线（Ⅰ）进入圆曲线的分界点； QZ ……曲中点，圆曲线的中点；
ZY……圆直点，按线路前进方向由圆曲线进入直线（Ⅱ）的分界点； T ……切线长，为交点至直圆点或圆直点的长度；
L ……曲线长，圆曲线的长度（即ZY 至YZ 的圆弧长度）； E ……外矢距，为交点至曲中点的长度；
a ……转向角，直线（Ⅰ）与直线（Ⅱ）的夹角，沿线路前进方向，直线（Ⅱ）
向左转则为a
左，直线（Ⅱ）向右转则为
a 右；
R ……圆曲线的半径。 二、圆曲线要素的计算
a 、R 、交点里程、曲线的转向（左、右）是计算和编程时的必要资料，是已知值。其它的主要素值一般设计直接提供，也可以通过以下公式计算求得。 圆曲线要素的计算公式： 切线长 T＝Rtan （a/2） 曲线长 L＝R a π/180°
外矢距 E＝R （sec （a/2）－1）＝R （1/cos（a/2）－1） 式中计算L 时，a 以度为单位。 三、圆曲线主点里程的计算
主点里程计算是根据计算出的曲线要素，由一已知里程来推算，一般设计直接提供的是交点的里程，我们先依据交点里程计算出直圆点里程，再沿里程增加方向由ZY →QZ →YZ 进行推算。 ZY＝JD － T； QZ＝ZY + L/2； YZ＝QZ + L/2
圆曲线两端加设相等缓和曲线的计算：
一、 看图学曲线
上图为右向曲线示意图
上图为左向曲线示意图
O
Ⅰ
Ⅱ
圆曲线坐标计算：
ay ＝180（l － l0）/Rπ xy ＝Rsin ay yy ＝R （1－cos ay ）
x y yy 为测点的曲线坐标，后面需要转换成大地坐标。 有了y y xy 的坐标后还要求成ZH 点的坐标，公式如下： ZHx = 交点X 坐标+T×COS （起始方位角±180度） ZHy = 交点Y 坐标+T×SIN （起始方位角±180度） HZx = 交点X 坐标+T×COS （起始方位角±转角） HZy = 交点Y 坐标+T×SIN （起始方位角±转角）
二、缓和曲线的性质 1、缓和曲线的作用
当车辆以高速由直线进入圆曲线时，就会产生离心力，直接影响车辆的行驶安全和乘客的舒适。为此需要抵消离心力的影响，考虑直线与圆曲线的连接不能完全消除，就在直线与圆曲线间加入一段曲率半径逐渐变化的过渡曲线，这种曲线称为缓和曲线。
2、缓和曲线的性质
缓和曲线是直线逐渐过渡到圆曲线的一种渐变的曲线，是含有辐射螺旋线性质的曲线，它将螺旋线从中截断一部分，与直线连接处的半径为 （无穷大），与圆曲线相接处半径为圆曲线的半径R 相等。
由于缓和曲线是一种渐变曲线，如何求得缓和曲线上任意一点的半径、能否找出半径随曲线长度的变化的规律，是深入了解曲线计算的必要条件，也为后一步复曲线计算打下一定的基础。
缓和曲线的曲率半径与缓和曲线计算长度的关系： ρ∝1/ l
或 ρl ＝C
上式中，C 是一个常数，称缓和曲线半径变更率。
按照ρl ＝C 为必要条件通过求导，导出缓和曲线方程式为：
x ＝l －l 5/40C2 + l9/3456C2 +…… y ＝l 3/6C － l 7/336 C3 + l11/42240C5 +……
式中，x 、y 为缓和曲线上任一点的直角坐标，然而在实际工作中可以根据测设精度的要求，可以将高次项舍去。
当l ＝l 0，ρ＝R 时，可以推出 R l0＝C
依据C ＝R l0，则缓和曲线方程式变为：
x ＝l －l 5/40R2 l02 y ＝l 3/6 R l0
式中： l－为缓和曲线上任一点P 到ZH （或HZ ）的曲线长； l 0－为缓和曲线总长度。
当l ＝l 0时，则有x ＝x 0、y ＝y 0，即为缓圆点（HY ）或圆缓点（YH ）的 的直角坐标x 0、y 0 。
x 0＝l 0－l 0 3/40R2 y 0＝l 02/6 R
式中： x0、y 0为缓圆点（HY ）或圆缓点（YH ）的直角坐标
3、缓和曲线与直线、圆曲线的组合方法
缓和曲线的性质是在不改变直线段方向和保持圆曲线半径不变的情况下，插入到直线段和圆曲线之间。缓和曲线的一半长度处在原圆曲线范围内，另一半处在原直线段范围内，这样就使得圆曲线沿垂直切线方向，向曲线内侧移动了一个距离p （即圆曲线内移量）；由此，圆曲线的圆心相应的移动了p ×sec （a/2）的量值，圆心由O ’移至到O ，圆曲线随之也整体向曲线内侧移动。当然在直线和圆曲线插入缓和曲线之后，使原有的圆曲线长度减少了两个“半条 缓和曲线的长度。
O
4、缓和曲线常数的计算
Ⅰ
Ⅱ
经过以上的简单介绍，缓和曲线的物理含意和几何关系可以通过缓和曲线常数来表现：
β0＝180°l 0/2Rπ
δ0＝β0/3＝180°l 0/6Rπ m ＝l 0/2－l 03/240R2 p ＝l 0/24R－l 04/2688R3 x 0＝l 0－l 03/40R2 y 0＝l 02/6 R
式中β0、δ0、m 、p 、x 0、y 0称为缓和曲线的常数。
其中：
β0……缓和曲线的切线角，即缓和曲线终点处的切线与直线之间的交角；它也是圆曲线延长
ι/2所对应的圆心角。
δ0……缓和曲线的总偏角，它是缓和曲线起点和缓和曲线终点连线与直线之间的夹角。
m ……切垂距，即缓和曲线起点于与圆心O 向切线所作垂线垂足的距离。 P ……圆曲线内移量，为垂线长与圆曲线半径R 之差。
三、缓和曲线连同圆曲线的要素计算 1、曲线综合要素计算
在前面我们已经初步了解圆曲线和缓和曲线的性质，以及它们的推论计算公式后，现在只需将它们有机地结合起来，再经过理论推证就得到曲线综合要素计算公式，如下：
切线长 T＝m +（R + p）tan （a/2）
曲线长 L＝R a π/180°+ l0＝2 l0 + R π（a －2β0） /180°
外矢距 E＝（R + p）（sec （a/2）－1）＝（R + p ）（1/cos（a/2）－1） 切曲差 q ＝ 2T－L
式中，R 、a 、0是计算的必要参数，是设计提供的已知值。 2、缓和曲线连同圆曲线主点里程的计算
主点里程计算是根据计算出的曲线要素，由一已知里程来推算，一般设计直接提供的是交点的里程，我们先依据交点里程计算出直缓点里程，再沿里程增加方向由ZH →HY →QZ →YH →HZ 进行推算。 ZH＝JD － T； HY＝ZH + l0；
QZ ＝HY + L/2；
YH＝QZ +（L/2－l 0）；
HZ ＝YH + L
ι
基本型曲线极坐标计算基本理论
在铁路、公路、市政工程以及其它线路测量中，当采用极坐标法测设线路和与之相关构造物的各点时，通常使用切线支距法先计算测设点的独立坐标；再将独立坐标转换为大地坐标。为此，我们应建立一个相对应的独立坐标系统。 一、独立坐标系的建立
线路计算的独立坐标系统它是以直缓点 （ZH ） 或直圆点（ZY ）为坐标原点，即（X=0,Y=0），以直缓点指向交点的切线为X 轴，以垂直切线方向为Y 轴；将线路前进方向的X 轴的值设定为“+”值，将垂直切线方向指向线路右侧的值设定为“+”值，反之为“-”值。 详见独立坐标系参考图：
注：为了清晰的表达x,y 值的“+、-”，在编程时设定一个特定的代号表示坐标的“+、-”，通常用“1，-1”来表示曲线的转向，“1”为右向曲线，“-1”为左向曲线；在公式表达时用“±”来表示曲线的转向，“+”表示右向曲线的Y 值为正值，“-” 表示左向曲线的Y 值为负值。
随着目前极坐标在线路测量工作中的广泛应用，切线支距法作为极坐标计算的基础，是我们在理论学习中和编写程序时所必须要掌握的关键部分。然而，在实际工作中部分基层测量人员只是对第一缓和曲线部分和圆曲线部分的坐标计算公式有所了解，对第二缓和曲线部分坐标计算公式感到困惑，弄不清楚公式中坐标的转换原理。下面我们将针对第二缓和曲线部分坐标计算进行重点详细的分解。 切线支距法计算坐标公式：
1、 第一缓和曲线段的坐标计算公式 Xh1 = l－l / 40Rl 0 + l/3456Rl 0
5
2
2
9
4
4
y h1 = ±（l /6Rl0 － l/336Rl 0 + l/42240Rl 0）
3
7
3
3
11
5
5
2、 圆曲线段的坐标计算公式 ay ＝180（l － l0）/Rπ + β0 xy ＝Rsin ay + m
yy ＝±（R （1－cos ay ）+ p） 3、 第二缓和曲线部分
在计算第二缓和曲线的坐标时，首先要弄清楚相对于HZ 点建立的坐标系计算出的x ’、y ’是如何通过坐标转轴公式转换到ZH 坐标系的。 a、坐标转换的原理
坐标系转换是指两个相对独立，但又具有特定关联的直角坐标系之间的坐标换算的关系。它含有两层意思，即两个不同的过程，一是两个坐标轴系之间的旋转过程，另一个则是两个轴系之间的移动换位的过程。 首先，我们应先了解和熟悉坐标转换的基本图形。
左侧图形表达的是两个坐标轴系之间的旋转关系，其中X ’O Y ’坐标系与XOY 坐标系之间旋转了a 角；右侧图形表达的是两个坐标轴系之间的移动关系，其中X ’O ’Y ’坐标系与XOY 坐标系之间是通过距离S 和夹角a 进行连接的，即X ’O ’ Y’坐标系中的原点O ’的坐标具有双重性，在X ’O ’ Y’的坐标系中，它的原点坐标为（0，0）；在XOY 的坐标系中，它的原点坐标为（X 0’，Y 0’）。
然后我们将旋转和移动结合起来，就构成了坐标系的转换关系。 见左图：
b 、坐标转轴公式
当我们弄清楚坐标系的转换关系之后，再进一步的推论和扩展，将建立在独立坐标系中的点P ，通过两个坐标系的几何关系和它们之间的三角函数计算，就不难得出坐标转轴的基础公式。见右图。
即：X P ＝X O ’ + X P ’·Cos a ’ + Y P ’·Sin a ’
Y P ＝Y O ’ + (YP ’·Cos a ’ － X P ’·Sin a ’)
代入公式: XO ’＝ S·Cos a
Y O ’＝ S·Sin a
就可以得出一套完整的坐标转轴公式:
X P ＝S ·Cos a + X P ’·Cos a ’ + Y P ’·Sin a ’ Y P ＝S ·Sin a + (YP ’·Cos a ’ － X P ’·Sin a ’)
c 、第二缓和曲线的坐标计算公式
经过上面一系列的推导，下面我们只需将坐标转轴的原理复制到整个曲线中，把以ZH 点建立的坐标系当作XOY 坐标系；把HZ 点建立的坐标系当作X ’O ’Y ’
坐标系，就相对容易的得出第二缓和曲线的坐标计算公式了。
其坐标转换公式如下：
X P ＝T ·(1+ Cos a ) － X P ’·Cos a ’ － Y P ’·Sin a ’ Y P ＝± (T·Sin a + Y P ’·Cos a ’ － X P ’·Sin a ’)
线路任意点的坐标计算方法
其坐标转换公式如下