第8章习题答案
8-1* 判断下列激励与响应的关系是否为线性的？是否为时不变的？
(1)y [n ]=2x [n ]+3
3n ππ
(2)y [n ]=x [n ]cos(-)
85
y [n ]=(x [n ])
2
(4)y [n ]=
m =-∞
∑n [m ]
∞
解：
(1)设y 1[n ]=T [x 1[n ]]=2x 1[n ]+3, y 2[n ]=T [x 2[n ]]=2x 2[n ]+3; 根据题意有：T [x 1[n ]]+x 2[n ]]=2{x 1[n ]+x 2[n ]}+3; 但：y 1[n ]+y 2[n ]=T [x 1[n ]+T [x 2[n ]]=2{x 1[n ]+x 2[n ]}+6; ∴T [x 1[n ]+x 2[n ]]≠y 1[n ]+y 2[n ]∴系统为非线性系统；又T [x 1[n -m ]]=2x 1[n -m ]+3=y 1[n -m ]
∴系统为时不变系统，综上所述系统为非线性、时不变系统。
3n ππ
(2)设y 1[n ]=T [x 1[n ]]=x 1[n ]cos(-),
853n ππ
y 2[n ]=T [x 2[n ]]=x 2[n ]cos(-);
85
3n ππ
根据题意有：T [x 1[n ]]+x 2[n ]]={x 1[n ]+x 2[n ]}cos(-);
85
3n ππ
且：y 1[n ]+y 2[n ]=T [x 1[n ]+T [x 2[n ]]={x 1[n ]+x 2[n ]}cos(-);
85
∴T [x 1[n ]+x 2[n ]]=y 1[n ]+y 2[n ]∴系统为线性系统；3n ππ
但T [x 1[n -m ]]=x 1[n -m ]cos(-);
85
3(n -m )ππ
y 1[n -m ]=x 1[n -m ]cos[-]≠T [x 1[n -m ]]
85
∴系统为时变系统，综上所述系统为线性、时变系统。
(3)设y 1[n ]=T [x 1[n ]]=(x 1[n ])2, y 2[n ]=T [x 2[n ]]=(x 2[n ])2
根据题意有：T [x 1[n ]]+x 2[n ]]=(x 1[n ]+x 2[n ])2
但：y 1[n ]+y 2[n ]=T [x 1[n ]+T [x 2[n ]]=(x 1[n ])2+(x 2[n ])2∴T [x 1[n ]+x 2[n ]]≠y 1[n ]+y 2[n ]∴系统为非线性系统；T [x 1[n -m ]]=(x 1[n -m ])2;
且y 1[n -m ]=(x 1[n -m ]) 2=T [x 1[n -m ]]
∴系统为时不变系统，综上所述系统为非线性、时不变系统。
(4)设y 1[n ]=
m =-∞
∑x [m ],y [n ]=∑x [m ],
1
2
2
m =-∞
m =-∞
n n
根据题意有：T [x 1[n ]]+x 2[n ]]=
∑{x [m ]+x [m ]}
1
2
m =-∞
n
：y 1[n ]+y 2[n ]=T [x 1[n ]+T [x 2[n ]]=
∑x [m ]+∑x [m ],
1
2
m =-∞
n n
∴T [x 1[n ]+x 2[n ]]=y 1[n ]+y 2[n ]∴系统为线性系统；又T [x 1[n -k ]]=y 1[n -k ]=
m =-∞
∑x [m -k ]
1
m '=-∞
n
m =-∞
∑
n -k
令m '=m +k
x 1[m ]−−−−→
∑
n
x 1[m '-k ]
∴y 1[n -k ]=T [x 1[n -k ]]
∴系统为时不变系统，综上所述系统为线性、时不变系统。
8-2 列出图题8-2所示系统的差分方程，指出其阶次。
图 题8-2
解：
y [n ]-b 1y [n -1]-b 2y [n -2]=a 0x [n ]+a 1x [n -1] 二阶
8-3 列出图题8-3所示系统的差分方程，已知边界条件y [-1] = 0，分别求以下输入序列时的输出y [n ]，并绘出其图形（用逐次迭代方法求）。
（1）x [n ]=δ[n ] （2）x [n ]=u [n ] 图 题8-3
1
解：y [n ]-y [n -1]=x [n ]
3
311n 1⎫
y [n ]=(-() ) u [n ] （1） y [n ]=⎛ （2）u [n ] ⎪223⎝3⎭
n
0234
8-7 用单边z 变换解下列差分方程。 （2）y [n ] + 2y [n -1] = (n -2) u[n ]，y [0] = 1 解：（2）由差分方程得：
y (0)+2y (-1) =-2∴y (-1) =
差分方程两边同时进行z 变换：
-2-y (0)3
=-
22
z z -2
z -1(z -1) 2
z 2z 2y (-1)
Y (z ) =--2-1-1
(z -1) (1+2z ) (z -1)(1+2z ) (1+2z -1) Y (z ) +2z -1[Y (z ) +y (-1) z ]=
Y (z ) z 2-3z +3A B C ==++22
z (z -1) z +2(z -1) (z +2) (z -1)
9-99=++2
(z -1) z +2(z -1)
1413
y [n ]=(n -+(-
2) n ) u [n ]
399
8-8 *若描述某线性时不变系统的差分方程为：y [n ] - y[n - 1] - 2y [n - 2] = x [n ] + 2x [n - 2]，已知y [-1] = 2，y [-2] = -1/2，x [n ] = u[n ]。求系统的零输入响应和零状态响应。 解：差分方程两边同时进行Z 变换：
Y (z ) -z -1Y (z ) -y [-1]-2z -2[Y (z ) +z 2y [-2]+zy [-1]]=X (z ) +2z -2X (z ) Y (z )[1-z -2z ]=(1+2z ) X (z ) +y [-1]+2y [-2]+2z Y [-1]1+2z -21+4z -1
Y (z ) =X (z ) +-1-2
1-z -2z 1-z -1-2z -2
-1
-2
-2
-1
1+4z -1z (z +4)
Y zi (z ) ==-1-2
(z -2)(z +1) 1-z -2z
Y (z ) A A 2-1
=+=+z z -2z +1z -2z +1y zi [n ]=2(2)n u [n ]-(-1) n u [n ]
1+2z -2z 2+2z
Y zs (z ) =X (z ) =2⨯-1-2
1-z -2z z -z -2z -1
Y (z ) B B B 22-3
=++=++z z -2z +1z -1z -2z +1z -1
13n n
y zs [n ]=[2(2)+(-1) -]u [n ]
22
1+2z -2z 2+2z
另解：H (z ) ==2, X (z ) =-1-2
1-z -2z z -z -2z -1
z 2+2z
Y zs (z ) =H (z ) X (z ) =2⋅
z -z -2z -1
特征根为：α1
=-1, α2=2，设，y zi [n ]=A α1n +B α2n
y {-1]=2, y [-2]=-2, 解得：A =2, B =-1
∴y zi [n ]=[2(2)n -(-1) n ]u [n ]
8-12 对于由差分方程y [n ] + y[n - 1] = x [n ]所表示的因果离散系统： （1）求系统函数H (z ) 及单位样值响应h [n ]，并说明系统的稳定性； （2）若系统起始状态为零，而且输入x [n ] = 10 u[n ]，求系统的响应y [n ]。
解：（1） 差分方程两边同时进行z 变换：
Y (z ) +z -1Y (z ) =X (z )
Y (z ) 1z ∴H (z ) ===-1
X (z ) z +11+z h [n ]=(-1) n u [n ]
系统的收敛域不包括单位圆，所以不稳定。
10z
(2)X (z ) =
z -1
z >1
2
10z 5z 5z
Y (z ) =X (z ) H (z ) ==+
(z -1)(z +1) z -1z +1y [n ]=5[1+(-1) n ]u [n ]
8-14 * 因果系统的系统函数H (z ) 如下，试说明这些系统是否稳定。
3z +4z +21+z -11-z -1-z -2
（12 （2 （32 （4
2z +z -18z -2z -21-z +z 2+5z -1+2z -2
解：
（1）收敛域为
（2）收敛域为（3）收敛域为（4）收敛域为
1+ ，包括单位圆，所以稳定。
z >
8
z >2不包括单位圆，所以不稳定。
z >1不包括单位圆，所以不稳定。 z >1不包括单位圆，所以不稳定。
z
9.5z
8-15 已知系统函数为H (z ) = ，分别在
(z -0.5)(10-z )
> 10及0.5
域情况下，求系统的单位样值响应，并说明系统的稳定性与因果性。 解：
H (z ) 9.511 ==-z (z -0.5)(10-z ) z -0.5z -10h [n ]=[(0.5)n -10n ]u [n ]
系统是因果，不稳定的。
z >10
h [n ]=(0.5)n u [n ]+10n u [-n -1]
系统是非因果，稳定的。
0.5
8-16 建立图题8-16所示各系统的差分方程，并求单位样值响应h [n ]。
图 题8-16
1⎛1⎫
解：（a ）y [n ]-y [n -1]=x [n ] h [n ]= ⎪u [n ]
3⎝3⎭
n
（b ）*y [n ]-4y [n -2]=x [n ] h [n ]=
1n n
⎡⎤2+(-2) u [n ] ⎣⎦2
8-17 利用z 平面零极点分布的几何作图法粗略画出下列各系统函数所对应系统的幅频特性曲线。
1z z +0.5
（1）H (z ) = z -0.5 （2）H (z ) = z -0.5 （3）H (z ) =
z
解：(1)
H(ej ω)
Re(z)
(2)
jIm(z)
H(ej ω)
ω
(3)
jIm(z)
j ω
ω
8-18* 已知横向数字滤波器的结构如图题8-18所示。试以M = 8为例。 （1）写出差分方程；
（2）求系统函数H (z ) ； （3）求单位样值响应h [n ]；
（4）画出H (z ) 的零极点图； （5）粗略画出系统的幅频特性曲线。
图 题8-29
解:
(1)y [n ]=x [n ]+ax [n -1]+a 2x [n -2]+
M -1
+a M -1x [n -M +1]
=
k
a x [n -k ]=a ∑∑
x [n -k ]
k k =0
k =0
7
Y (z ) M -1k -k 1-(az -1) M 1-(az -1) 8
(2)H (z ) ==∑a z ==-1
X (z ) k =01-az 1-az -1
z 8-a 8=7
z (z -a )
-1
-1
7
z >0
k -k
7
(3)h [n ]=Z [H (z )]=Z [∑(a z )]=∑a k δ[n -k ]=a n {u [n ]-u [n -8]}
k =0
k =0
(4)
z i =ae
j
2πi 8(i
=1,28),
p 1=a , p 2=0 （7阶）
为保证系统稳定，设|
a |
8-25 由下列差分方程画出因果离散系统的结构图，求系统函数H (z ) 及单位样值响应h [n ]。
（1）3y [n ] - 6y [n - 1] = x [n ]
（2）y [n ] = x [n ] - 5x [n - 1] + 8x [n - 2]
（3）y [n ] - 3y [n - 1] +3y [n - 2] - y [n - 3] = x [n ] （4）y [n ] - 5y [n - 1] + 6y [n - 2] = x [n ] - 3x [n - 2] 解:
(1)H (z ) =
Y (z ) 1z
==
X (z ) 3-6z -13(z -2)
1
h [n ]=(2)n u [n ]
3
x [n ]
y [n ]
(2)H (z ) =
Y (z )
=1-5z -1+8z -2
X (z )
h [n ]=δ[n ]-5δ[n -1]+8δ[n -2]
y
[n ]
(3)
1z 3z 3
H (z ) ==3=-1-2-32
1-3z +3z -z z -3z +3z -1(z -1) 3(n +1)(n +2) h [n ]=u [n ]
2
y
[n ]
x [Y (z ) 1-3z -2
(4)H (Z ) ==
X (z ) 1-5z -1+6z -2
z 2-3221==--(z -2)(z -3) z -3z -22
1n n -1
h [n ]=(2⨯3-2) u [n ]-δ[n ]
2
x [y [n ]
8-26 图题8-26所示的系统包括两个级联的线性时不变系统，它们的单位样值响应分别为h 1[n ]和h 2[n ]，已知
h 1[n ]=δ[n ]-δ[n -2], h 2[n ]=(0.8)n u [n ]，令x [n ]=u [n ]。
图 题8-26
（1）按下式求y [n ]：y [n ]={ x[n ]* h1[n ]}* h2[n ] （2）按下式求y [n ]：y [n ]= x[n ]*{ h1[n ]* h2[n ]} 注：以上两种方法的结果应该相同（卷积结合律）。
n 解：（1） y [n ]={x [n ]*h 1[n ]}*h 2[n ]={u [n ]-u [n -2]}*(0.8)u [n ]
=u [n ]*(0.8)n u [n ]-u [n -2]*(0.8)n u [n ]1-0.8n +11-0.8n -1
=u [n ]-u [n -2]1-0.81-0.8
n
n -2
（2） y [n ]=x [n ]*{h 1[n ]*h 2[n ]}=u [n ]*{(0.8)u [n ]-(0.8)
u [n -2]}
=u [n ]*(0.8)n u [n ]-u [n ]*(0.8)n -2u [n -2]1-0.8n +11-0.8n -1
=u [n ]-u [n -2]1-0.81-0.8
8-27 已知某离散系统的系统函数为H (z ) = （1）写出对应的差分方程； 特性曲线。
z
，m 为常数。 z -m
（2）画出该系统的结构图；
（3）求系统的频率响应特性，并画出m = 0, 0.5, 1三种情况下系统的幅频特性与相频
解:
(1) H (z ) =
z 1
=
z -m 1-mz -1
y [n ]-my [n -1]=x [n ]
(2)
x [n y [n
]
(3)
j ωe 11
H (e j ω) ===
e -m 1-me (1-m cos ω) +jm sin ω
m sin ω
H (e j ω) =ϕ(ω) =-arctan
1-m cos ω(a)(b)(c)
m =0m =0.5m =1
H (e j ω) =1, H (e j ω) =H (e j ω) =
ϕ(ω) =0
sin ωϕ(ω) =-arctan
2-cos ω1
=
2sin(ω2)
ϕ(ω) =-arct an (c tan
ω
2
) =
ω-π
2
φ(ω)
ω
(a)
ω
ω
(b)
ω
ω (c)
3z 3-5z 2+10z
8-28 画出系统函数H (z ) = 3所表示的系统的级联和并联形式的结构图。
z -3z 2+7z -5
解：(1) 级联形式
3z 3-5z 2+10z z (3z 2-5z +10) 13-5z -1+10z -2
H (z ) =3==⨯ 22-1-1-2
z -3z +7z -5(z -1)(z -2z +5) 1-z 1-2z +5z
y [n ]
（2）并联形式
z (3z 2-5z +10) 2z z 221
H (z ) ==+2=+ 2-1-1-2
(z -1)(z -2z +5) z -1z -2z +51-z 1-2z +5z
x [n ]
y [n ]
8-34 用计算机对测量的随机数据x [n ]进行平均处理，当收到一个测量数据后，计算机就把这一次输入数据与前三次输入数据进行平均。试求这一运算过程的频率响应。 解：设本次输入为x [n ] ，则本次与前三次数据的平均值为：
1
y [n ]={x [n ]+x [n -1]+x [n -2]+x [n -3]}
4
对上式进行z 变换得：
1
Y (z ) =(1+z -1+z -2+z -3) X (z )
4
Y (z ) 11-1-2-3
H (z ) ==(1+z +z +z ) =(1+z -1)(1+z -2)
X (z ) 44
H (e j ω) =H (z ) z =j ω=
1=4=
1
(1+e -j ω)(1+e -j 2ω) 4+e
-j
1ω-j ωj e 2(e 2
ω
2
) e -j ω(e j ω+e -j ω)
3-j ωe 2
cos
ω
2
cos ω