概率论与数理统计
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指导老师: 之谚语中的概率
谚语中的概率
摘要：概率论是数学一个很有特色的分支，应用性很强．对于生活中的一些常见谚语，用概率论的观点加以解释，既可以提高学生学习兴趣，又可以培养他们的创新意识和创造能力．
关键词：概率、谚语
随着科学的发展，数学在生活中的应用越来越广，生活的数学无处不在，而概率作为数学一个重要组成部分，同样与生活有着密切的联系。概率论是在一定社会条件下，通过人类的社会实践和生产活动发展起来的一种智力积累，是一门研究随机现象规律的数学分支。而谚语则是民间集体创造广为口传言简意赅并较为定型的艺术语句，是民众丰富智慧和普遍经验的规律性总结两者具有一定的联系性。
学习了概率之后，为了更好地体会和了解概率，我对生活中人们常挂在嘴边的一些谚语进行了思索研究，才发现，实际生活中，我们所说的谚语中贯穿了很多概率的思想，比如最常见的“Every coin has two sides”, 即我们常说的每件事都有两面性，其概率思想就是硬币的正反出现的概率都为二分之一。在下文中，我想通过人们最熟知的一些谚语为例，简单阐述一下谚语中蕴涵的概率论思想，揭示“数学”与“文化”的关系将课堂上学到的理论知识与实际相结合，做到理论联系实际，巩固所学知识，加深理解。通过这样的结合，丰富“数学文化”素材，填补数学理论与生活应用的鸿沟，激发学生学习兴趣，提高学生学习概率论的效率。
具体谚语的概率论分析：
1、常在河边走，哪有不湿脚
“常在河边走，哪有不湿脚”，这句话用概率论的思想来说，就是小概率事件，即在大量的重复的条件之下必然发生。其中，“某一次在河边走而湿脚”的概率
是很小的，我们可以称其为“小概率事件”。小概率原理，是人们在长期的实践中总结得出的道理：“概率很小的事件在一次试验中实际上几乎不发生”。设事件A 表示为“某一次在河边走而湿脚”，根据前面的说明；设P(A)=p,这里0
=2).有极限原理，当n 趋近于无限大时，fn(p)趋近于1，由此说明，“在河边走湿脚”的事件在大量的重复之下，是必然会发生的。
2、三个“臭皮匠” ，胜过“诸葛亮”
这里“皮匠”实际是“裨将”的谐音，“裨将”在古代是指“副将”．这句话原意是指3个很一般副将的智慧合起来能胜过1个诸葛亮．后来，在流传过程中，人们把“裨将”说成了“皮匠”．意思也是指三个不太优秀的人合起来可以超过一个很优秀的人，强调了团队合作的重要性．
现在我们假设每个臭皮匠能提出正确方案的概率为0.4，诸葛亮能提出正确方案的概率为0.7．若记A i =“第i 个臭皮匠想到正确方案”（i=1，2，3）．B=“诸葛亮想到正确方案”．
则臭皮匠们能想到正确方案的概率为
p (A 1⋃A 2⋃A 3) =p (A 1) +p (A 2) +p (A 3) -P (A 1A 2) -p (A 2A 3) -p (A 1A 3) +p (A 1A 2A 3) =0.4+0.4+0.4-0.16-0.16-0.16+0.064 =0.784
而诸葛亮想到正确方案的概率为
p (B ) =0.7
显然
p (A 1⋃A 2⋃A 3) >p (B )
可见，要想找出正确方案要靠集体的智慧，当对一个问题百思不得其解而陷入迷茫时，多听听周围有经验的人一些看法，很可能会让你茅塞顿开、豁然开朗． 但是，臭皮匠多了真的一定胜过诸葛亮吗？假若臭皮匠们非常的差劲，对问题了解甚少又没有什么专长．这时，臭皮匠们多了反而误事．他们正确点子很少，歪
点子挺多，提出各类错误方案的概率就越高．他们很容易让意志不坚定的人不能当机立断、判断是非而误入歧途，导致惨败．“千军易得，一将难求”也就说明了诸葛亮的重要性．
3、先下手为强，后下手遭殃
甲乙两人各持手枪决斗，甲命中率为α，乙命中率为β．一人先开枪，若没命中则另一人还击．若后开枪者还没命中，则先开枪者再还击．如此往复下去，直到有人被手枪击中为止．
若记A 1=“甲先开枪甲最终获胜” A 2=“乙先开枪甲最终获胜”
B 1=“甲第一枪命中” B 2=“乙第一枪命中”
显然
p (A 1|B 1) =1 p (A 2|B 2) =0
则利用全概率公式有
p (A 1) =p (B 1) p (A 1|B 1) +p (B 1) p (A 1|B 1)
p (A 2) =p (B 2) p (A 2|B 2) +p (B 2) p (A 2|B 2)
显然，乙先开枪第一枪没命中时甲最终获胜的条件概率等于甲先开枪甲最终获胜的概率，即
p (A 2|B 2) =p (A 1)
同理，甲先开枪第一枪没命中时甲最终获胜的条件概率等于乙先开枪甲最终获胜的概率，即 p (A 1|B 1) =p (A 2)
故有
p (A 1) =p (B 1) +p (B 1) p (B 2) p (A 1)
可得
p (A 1) =α α+β-αβ
当α=β=t (0≤t ≤1) ，即甲乙两人实力相当时，有
1α1，恒大于． =2α+β-αβ2t -可见，若甲先动手的话，甲最终获胜的概率超过了50%．这就有了“先发制人，后发制于人”的说法．并且还可以看出，t 越大，
方实力越强，先发制人的效果越明显．
但先发一定可以制人吗？咱们看，若α=0.1，β=0.9，则
说明，当你的实力和对方相差悬殊时，先下手也不一定能最终取得胜利．像二战时日本先下手偷袭美国珍珠港，实力较弱的日本虽一时占得先机，最终还不是一败涂地？ 1越接近于１．说明双2-t α101=
4、一人传虚，十人传实
如果事件A 的原本可信度为0.2．现有十个人，他们相互独立．假如每个人说谎的概率为0.4．记A i “第ｉ人说A 可信” （i =1,210），则p (A i |A ) =0.6，p (A i |) =0.4．利用贝叶斯公式，当在第一个人说A 可信后， A的可信度可修正为
p (A |A 1) =p (A ) p (A 1|A ) 0.2⨯0.6==0.27 p (A ) p (A 1|A ) +p () p (A 1|) 0.2⨯0.6+0.8⨯0.4
当第二个人说A 可信后，这时A 的可信度又进一步可修正为
p (A ) p (A 1A 2|A ) 0.2⨯0.62
p (A |A 1A 2) ===0.36p (A ) p (A 1A 2|A ) +p () p (A 1A 2|) 0.2⨯0.62+0.8⨯0.42
一般地，当在第i 人说A 可信后，A 的可信度就修正为
p (A |A 1A 2A i ) =p (A ) p (A 1A 2A i |A )
p (A ) p (A 1A 2A i |A ) +p () p (A 1A 2A i |)
0.2⨯0.6i 0.2 ==i i 20.2⨯0.6+0.8⨯0.40.2+0.8⨯() i
3
是关于i 的增函数，而且
lim i →+∞0.220.2+0.8⨯() i
3
A 10) ==1 0.2特别，当i=10时，p (A |A 1A 220.2+0.8⨯() 10
3=0.9351
可见，说A 可信的人增多，A 的可信度便随之增大．当说A 可信的人增到十人时，A 的可信度就由原来的0.2提高到了0.9351，也说明这十人很有可能都说了真话，A 确实是可信的！
但是以上的讨论是在说A 可信的人相互独立的条件下进行的，但在现实生活当中，若说A 可信的人不是相互独立而是串通一气，众口同声，而去混淆视听．则会造成“谎话说得多了就成了真理”“众口铄金，积毁销骨”的恶果．
因此，一个人说也不一定是虚的，十个人说也不一定是实的，关键要看他们之间是否相互独立．他们说的是否虚实，还要靠我们擦亮自己的眼睛去判断．
5、瞎猫也能碰上死老鼠
此谚语昕起来似乎是不负责任的，感觉不可能发生，但它却符合一定的现实和真理性。从概率论的角度来说，“瞎猫也能碰上死老鼠”也是一个小概率事件，类似的谚语还有“不怕一万 就怕万一”等 。事实上 ，在随机试验 中，某一事件 A 出现 的概率 P 不论多么小，只要不断地、独立地重复试验，则事件 A 迟早会出现的概率为 1。分析如下：设 A 为 在第1 次试验中出现 ，则 P (A )=l-p。在前2 次试验 中，A 至少出现一次的概率为P == 1一(1-p ) ，依次类推，第n 次A 发生的概率为P=1-(1-p)(n>=2) 当n 趋近于无限大时，P 趋近于1, 由以上分析可以看出，虽然小概率事件在一次试验 中发生的可能性很小 ，但在大量的试验至少发生一次则成 了必然事件。正如古西腊哲学家亚里士
多德所说 ，不可能的事也是极可能的事 。这就告诉我们在做任何事情的时候，即使有很小一点可能性，也一定要努力到最后。可以说“不去参与就没有成功”。 n
中国古代谚语中蕴涵的概率思想还有很多，譬如，“三人行，则必有我师”、“一根筷子容易折 一把筷子坚如铁”等等。还有待于进一步的挖掘和深化，概率又给了我一双眼睛去看待生活，我的探索不会就此止步。还有文章中可能有分析不当的地方，希望老师指正为谢。
参考文献：
1、温端政. 《新华谚语词典》
2、盛骤 谢式千 《概率论与数理统计》第四版
3、王琼《谚语中的概率论》