微分方程概论
1 微分方程的一般理论
1.1 微分方程的一般形式
一阶微分方程
⎧ ⎪dx
⎨dt =f (t , x ) ⎪⎩x (t 0) =x 0
其中f (t , x ) 是t 和x 的已知函数，x (t 0) =x 0为初始条件，又称定解条件．一阶的微分方程组
⎧⎪dx i
⎨
dt =f i (t , x 1, x 2, , x m ) (i =1, 2, , m ) (2) ⎪⎩x i (t 0
) =x (0) i (i =1, 2, , m )
方程组（2）又称为一阶正规方程组．如果引入向量
x =(x , x T (0) (0) T
1, x 2, m ) , x 0=(x (0) 1, x 2, , x m ) T
f =(f , , f T dx ⎛dx 1dx 2dx m
⎫ 1, f 2m ) , dt = ⎝dt , dt , , dt ⎪
⎭
则方程组（2）可以写为简单的形式
即与方程（1）的形式相同，当m =1 时为方程（1）．
对于任一高阶(n 阶) 的微分方程
d n x dx d n -1dt n =f (t ; x , x
dt , , dt
n -1)
1
（1）3）
（
d i x dy
如果记i =y i (i =0, 1, 2, , n ) , 则方程为n -1=f (t ; y 0, y 1, , y n -1) ，即可化为一阶方
dt dt
程组的形式．因此，下面主要对正规方程组（3）进行讨论．
1.2 微分方程解的存在唯一性
正规方程组（3）的解存在且唯一的定理。
定理1（Cauchy-Peano ） 如果函数f (t , x ) 在R :t -t 0≤a , x -x 0≤b 上连续，则方程 组（3）在t -t 0≤h 上存在解x =φ(t ) 满足初值条件x 0=φ(t 0) ，此处h =min a ,
⎛
⎝
b M
⎫⎪，⎭
M =max f (t , x ) ．
(t , x ) ∈R
定理2 如果函数f (t , x ) 在R :t -t 0≤a , x -x 0≤b 上连续，且满足李普希兹(Lipschitz)
(1) (2) (1) (2)
条件（即存在正常数L 使得f (t , x ) -f (t , x ) ≤L x -x ，其中(t , x
(1)
), (t , x (2) ) ∈R ）,
则方程组（3）满足初值条件x 0=φ(t 0) 的解是唯一的．
1.3 微分方程的稳定性问题
实际中，微分方程所描述的是物质系统的运动规律，在用微分方程来研究这个物理过程中，人们只能考虑影响该过程的主要因素，而不得不忽略一些认为次要的因素，这种次要的因素通常称为干扰因素．这些干扰因素在实际中可以瞬时地起作用，也可持续地起作用．从数学上来看，前者会引起初值条件的变化，而后者则会引起微分方程本身的变化．在实际问题中，干扰因素是客观存在的，由此可见，对于它的影响程度的研究是必要的，即初值条件或微分方程的微小变化是否也只引起对应解的微小变化？这就是微分方程的稳定性问题．这里仍以方程组（3）为例讨论．
1. 有限区间的稳定性
如果f (t , x ) 在某个有限的区域G ⊂R
n +1
内连续，且对x 满足李普希兹条件，
x =ψ(t )(a ≤t ≤b ) 是方程组（3）的一个特解，则当x 0充分接近于ψ(t 0)(a ≤t 0≤b ) 时，方
程组（3）在a ≤t ≤b 上满足初值条件x 0=x (t 0) 的解x =φ(t , t 0, x 0) 有
x 0→ψ(t 0)
lim φ(t , t 0, x 0) =ψ(t ) (a ≤t ≤b )
即对任意给定的ε>0，总存在相应的δ(ε) >0, 当x 0-ψ(t 0)
φ(t , t 0, x 0) -ψ(t )
2
则称方程组（3）的解x =ψ(t ) 在有限区间a ≤t ≤b 上是稳定的．
2. 无限区间的稳定性
如果x =ψ(t )(t ≥t 0) 是方程组(3)的一个特解，x =φ(t , t 0, x 0) (t ≥t 0) 是方程组（3）满足初值条件x 0=x (t 0) 的解．对任意给定的
ε>0，总存在相应的δ(ε) >0, 当
x 0-ψ(t 0)
φ(t , t 0, x 0) -ψ(t )
则称方程组（3）的解x =ψ(t ) 在无限区间t ≥t 0上是稳定的，即无限区间上的稳定．
3. 渐近稳定性
如果方程组（3）解x =ψ(t ) 在无限区间t ≥t 0上是稳定的，且存在δ0>0，当
x 0-ψ(t 0)
lim (φ(t , t 0, x 0) -ψ(t ) )=0
t →∞
则称x =ψ(t ) 是渐近稳定的, 或称局部渐近稳定性．
如果上述δ0=∞（或给定的一个有限常数），则相应的渐近稳定性称为全局渐近稳定性（或大范围渐近稳定性）．
4. 经常扰动下的稳定性
对于方程组（3），考虑相应的方程组
这里的R (t , x ) 称为扰动函数．
d x
=f (t , x ) +R (t , x ) （4） dt
x -ψ(t 0)
如果对任意给定的ε>0, 总存在δ(ε) >0和η(ε) >0，使得当0时有
R (t , x )
则方程组（4）有满足初值条件
x 0=x (t 0)
的解
x =φ(t , t 0, x 0) t ≥t 0
(
) ．且当
t ≥t 0
时有
(t , t 0, x 0) -ψ(t )
就说方程组（3）的特解x =ψ(t ) 在经常扰动下是稳定的．
5. 研究稳定性的方法
实际中，要研究方程组（3）的解x 凡解）的稳定性问题．事实上：
对于方程组（3）的任一特解x =ψ(t ) ，只要令y =x -ψ(t ) ，则
3
=ψ(t ) 的稳定性问题，可以转化为研究方程的零解（平
d y d x d ψ(t ) =-=f (t , x ) -f (t , ψ(t ))
dt dt dt
=f (t , y +ψ(t )) -f (t , ψ(t )) =g (t , y )
显然有g (t , 0) ≡0．故方程组（3）变为
d y
=g (t , y ) （5） dt
于是可知方程组（3）的解x =ψ(t ) 对应于方程组（5）为y =0（平凡解）．因此，要研究方程组（3）的x =ψ(t ) 的稳定性问题可转化为研究方程组（5）的平凡解y =0的稳定性问题．
如果微分方程组的所有解都能简单地求出来，一个特解的稳定性问题并不难解决，然而，实际中这种情况太少了．因此，一般性的稳定性问题的研究是复杂的，通常的情况下都是针对具体问题做相应的研究．
2 微分方程的平衡点及稳定性
2.1 微分方程的平衡点
设有微分方程组（3），对于x =(x 1, x 2, , x n ) ∈R , t ∈[a , b ]，f (t , x ) 在某个区域内连续，且满足解的存在唯一性条件．如果存在某个常数x 0∈R ，使得f (t , x 0) =0，则称点x 0为方程组（3）的平衡点（或奇点），且称x =x 0为方程组的平凡解（或奇解）．
如果对所有可能初值条件，方程组（3）的解x =ψ(t ) 都满足
n
T
n
lim ψ(t ) =x 0
t →∞
则称平衡点x 0是稳定的（渐近稳定）；否则是不稳定的．
[3]
实际中，判断平衡点的稳定性有两种方法：间接方法和直接方法．
间接方法：首先求出方程的解x =ψ(t ) ，然后利用定义lim ψ(t ) =x 0来判断．
t →∞
直接方法：不用求方程的解直接的来研究其稳定性．
2.2一阶方程的平衡点及稳定性
设有微分方程
dx
=f (x ) ，其相应的平衡点为代数方程f (x ) =0的实根x =x 0．其稳定dt
性可以用间接方法判断，下面说明直接方法．
4
首先, 将函数f (x ) 在x 0点作一阶泰勒(Taylor)展开，即方程可以近似地表示为
dx
=f '(x 0)(x -x 0) dt
显然，x 0也是该方程的一个平衡点，其稳定性主要取决于f '(x 0) 符号，即有下面结论：
若f '(x 0) 0，则平衡点是不稳定的．
2.3 平面方程的平衡点及稳定性
设平面方程组的一般形式为
⎧dx 1
=f (x 1, x 2) ⎪⎪dt ⎨ （6） ⎪dx 2=g (x , x )
12⎪⎩dt
则称代数方程组
⎧f (x 1, x 2) =0
⎨
⎩g (x 1, x 2) =0
的实根x 1=x 1，x 2=x 2为平面方程组(6)的平衡点，记为P 0(x 1，x 2) ．如果对所有可能的初值条件方程的解为x 1(t ) ，x 2(t ) 满足
（0）(0)
lim x 1(t ) =x lim x 2(t ) =x 2 1，t →∞
t →∞
（0）(0) （0）(0)
则称平衡点P 0(x 1，x 2) 是稳定的；否则是不稳定的．也可以用直接方法讨论．
将方程组（6）的右边的函数作一阶泰勒展开，即可表示为近似的线性方程组
（0）(0)
⎧dx 1(0) (0) (0) (0) (0) (0)
=f (x , x )(x -x ) +f (x , x )(x -x ) x 1211x 1222⎪12
⎪dt
（7） ⎨
dx ⎪2=g (x (0) , x (0) )(x -x (0) ) +g (x (0) , x (0) )(x -x (0) )
x 11211x 21222⎪⎩dt
⎡f x 1
A =记系数矩阵为⎢g
⎣x 1
f x 2⎤
，且假设其行列式A ≠0，则方程组（7）的特征方程为 g x 2⎥⎦P 0
A -λI =0 , 即λ2+p λ+q =0
其中p =-(f x 1+g x 2)
p 0
, q =A ，λ 为特征根．不妨设特征根分别为λ1, λ2，即
λ1, λ2=
1
-p ±2
(
p 2-4q
（0）
(0)
)
根据特征根λ1, λ2和系数p , q 的取值情况可以确定平衡点P 0(x 1，x 2) 的稳定性．
5
事实上，当p >0, q >0时平衡点是稳定的；当p
6