高中数学椭圆的经典知识总结
椭圆知识点总结
1. 椭圆的定义：1,2
x 2y 2=a cos ϕϕ（1）椭圆：焦点在x 轴上时2+2=1（a 2=b 2+c 2）⇔x y =b sin ϕ（参数方程，其中为a b
y 2x 2
参数），焦点在y 轴上时2+2＝1（a >b >0）。方程Ax 2+By 2=C 表示椭圆的充要条件是什么？
a b
（ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。
2. 椭圆的几何性质：
x 2y 2
（1）椭圆（以2+2=1（a >b >0）为例）：①范围：-a ≤x ≤a , -b ≤y ≤b ；②焦点：两个
a b
焦点(±c ,0) ；③对称性：两条对称轴x =0, y =0，一个对称中心（0,0），四个顶点(±a ,0),(0,±b ) ，a 2c 其中长轴长为2a ，短轴长为2b ；④准线：两条准线x =±； ⑤离心率：e =，椭圆⇔0
a c
2b 2
e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁。⑥通径a
22x 0y 0
2. 点与椭圆的位置关系：（1）点P (x 0, y 0) 在椭圆外⇔2+2>1；
a b
22x 0y 0
（2）点P (x 0, y 0) 在椭圆上⇔2+2＝1；
a b 22x 0y 0
（3）点P (x 0, y 0) 在椭圆内⇔2+2
a b
3．直线与圆锥曲线的位置关系：
∆>0⇔直线与椭圆相交；∆=0⇔直线与椭圆相切；∆
直线与椭圆相离；
x 2y 2
=1恒有公共点，则m 的取值范围是_______（答：[1，5）如:直线y ―kx ―1=0与椭圆+
5m
∪（5，+∞））；
4、焦半径（圆锥曲线上的点P 到焦点F 的距离）的计算方法：利用圆锥曲线的第二定义，转化到相应准线的距离，即焦半径r =ed =a ±ex 0，其中d 表示P 到与F 所对应的准线的距离。
{
如（1）已知椭圆x
10/3）；
y 2上一点=1
2516
2
+
P 到椭圆左焦点的距离为3，则点P 到右准线的距离为____（答：
x 2y 2
（2）椭圆+=1内有一点P (1, -1) ，F 为右焦点，在椭圆上有一点M ，使MP +2MF 之值
43
26
最小，则点M 的坐标为_______（答：(； , -1) ）
3
5、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题：S =b 2tan 当|y 0|=b 即P 为短轴端点时，S max 的最大值为bc ；
θ
2
=c |y 0|，
6、弦长公式：若直线y =kx +b 与圆锥曲线相交于两点A 、B ，且x 1, x 2分别为A 、B 的横坐标，则AB
＝1-x 2，若y 1, y 2分别为A 、B 的纵坐标，则AB ＝+
1
y 1-y 2，若弦AB 所k 2
在直线方程设为x =ky +b ，则AB
y 1-y 2。特别地，焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。
7、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆
b 2x 0x 2y 2
+2=1中，以P (x 0, y 0) 为中点的弦所在直线的斜率k=－2； 2a b a y 0
x 2y 2
=1弦被点A 如（1）如果椭圆+（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是369
x 2y 2
；（2）已知直线y=－x+1与椭圆2+2=1(a >b >0) 相交于A 、B 两点，且线段AB x +2y -8=0）
a b
的中点在直线L ：x －2y=0上，则此椭圆的离心率为_______
）；（3）试确定m 的取值范
⎛x 2y 2
围，使得椭圆+上有不同的两点关于直线对称（答：）； y =4
x +m =1 ⎭43⎝
特别提醒：因为∆>0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验∆>0！
椭圆知识点
1．如何确定椭圆的标准方程？
任何椭圆都有一个对称中心，两条对称轴。当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，椭圆的方程才是标准方程形式。此时，椭圆焦点在坐标轴上。
确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：两个定形条件a , b ；一个定位条件焦点坐标，由焦点坐标的形式确定标准方程的类型。
2．椭圆标准方程中的三个量a , b , c 的几何意义
椭圆标准方程中，a , b , c 三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的。分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：(a >b >0) ，(a >c >0) ，且
(a 2=b 2+c 2) 。
可借助右图理解记忆：
显然：a , b , c 恰构成一个直角三角形的三条边，其中a 是斜边，b 、角边。
c 为两条直
3．如何由椭圆标准方程判断焦点位置
焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x ，的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。
4．方程Ax +By =C (A , B , C 均不为零）是表示椭圆的条件
2
2
2
椭圆的
y 2的分母
x 2By 2Ax 2By 2
+=1，所以只有A 、B 、C 同号，且A ≠B 时，方+=1，即方程Ax +By =C 可化为
C C C C
A B
2
2
程表示椭圆。当
C C C C
>时，椭圆的焦点在x 轴上；当
5．求椭圆标准方程的常用方法：
①待定系数法：由已知条件确定焦点的位置，从而确定椭圆方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数a , b , c 的值。其主要步骤是“先定型，再定量”；
②定义法：由已知条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。
6．共焦点的椭圆标准方程形式上的差异
x 2y 2x 2y 2
+2=1(m >-b 2) ，共焦点，则c 相同。与椭圆2+2=1(a >b >0) 共焦点的椭圆方程可设为2
a b a +m b +m
此类问题常用待定系数法求解。
7．判断曲线关于x 轴、y 轴、原点对称的依据：
① 若把曲线方程中的x 换成-x ，方程不变，则曲线关于y 轴对称；
② 若把曲线方程中的y 换成-y ，方程不变，则曲线关于x 轴对称；
③ 若把曲线方程中的x 、y 同时换成-x 、-y ，方程不变，则曲线关于原点对称。
8．如何求解与焦点三角形△PF1F 2（P 为椭圆上的点）有关的计算问题？
思路分析：与焦点三角形△PF1F 2有关的计算问题时，常考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股
1
定理）、三角形面积公式S ∆PF 1F 2=PF 1⨯PF 2⨯sin ∠F 1PF 2相结合的方法进行计算解题。
2将有关线段PF PF 2F 1F 2，有关角∠F 1PF 2 (∠F 1PF 2≤∠F 1BF 2) 结合起来，建立PF 1+PF 2、1PF 1⨯PF 2之间的关系.
9．如何计算椭圆的扁圆程度与离心率的关系？ 长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化。离心率e =
c
(0c >0，因为c 2=a 2-b 2，a
b
用a 、b 表示为e =-() 2(0
a
b b
越小时，e (0
近于圆。
显然：当
椭 圆
题型1:椭圆定义的运用 例
x 2y 2
+=1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于1、已知F 1, F 2为椭圆259
A 、B 两点若F 2A +F 2B =12，则
AB =______。
例2、椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A 、B 是它的焦点，长轴长为2a ，焦距为2c ，静放在点A 的小球（小球的半径不计），从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是
22x +ky =2表示焦点在x 轴的椭圆，那么实数k 的取值范围是____________. 例3、如果方程
2x 2y 2
x +3M , N )+y 2=1和圆+=1上的一点，例4、已知P 为椭圆分别为圆(2516
(x -3)
2
+y 2=4上的点，
则
PM +PN
的最小值为
题型2： 求椭圆的标准方程
例1、求满足下列各条件的椭圆的标准方程. (1)经过两点
A
(, -2) 、B (-；
229x +4y =36具有共同的焦点. (2)经过点(2，－3) 且与椭圆
（3
）一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为4.
题型3:求椭圆的离心率（或范围） 例
∠A =30, AB =2, S ∆ABC =A , B 为焦点的椭圆经过点C 1、∆ABC 中，
．
，则椭圆的离心率
为 .
例2、过椭圆的一个焦点F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于P ，若 ∆F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为
题型4:椭圆的其他几何性质的运用（范围、对称性等）
x 2y 2
+=1, 则x 2+y 2-x 的范围为 例1、已知实数x , y 满足42
x 2y 2
例2、已知P 是椭圆2+2=1上一点，F 1, F 2是椭圆的两个焦点，求PF 1⋅PF 2的最大值与最小值
a b
x 2y 2
例3、已知点A , B 是椭圆2+2=1（m >0, n >0）上两点, 且AO =λBO , 则λ
m n
x 2y 2+=1的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于例4、如上图，把椭圆
2516
F 是椭圆的一个焦点，则P 1, P 2, P 3, P 4, P 5, P 6, P 7七个点，
题型5：焦点三角形问题
PF +P +P 12F +PF 34F +P 5F +P 6F +P 7F =
_____
x 2y 2
+=1的两个焦点，p 为椭圆上的一点，已知P , F 1, F 2为一个直角三角形的三个顶例1、已知F 1, F 2为椭圆94
点，且PF 1>PF 2, 求
PF 1PF 2
的值；
x 2y 2
+=1的两个焦点，在C 上满足PF 1⊥PF 2的点的个数为例2、已知F 1, F 2为椭圆C:84
x 2y 2+=1的两个焦点，p 为椭圆上的一点，当∠F 1PF 2为钝角时，点P 横坐标的取值范例3、若F 1, F 2为椭圆94
围为
例4、已知椭圆的焦点是F 1(0, -1), F 2(0, 1) , 且经过点（1，
3
） ① 求椭圆的方程; ② 设点P 在椭圆上, 且2
PF 1-PF 2=1, 求cos ∠F 1PF 2.
题型6: 三角代换的应用
x 2y 2
+=1上的点到直线l:x +y -9=0的距离的最小值为___________． 例1、椭圆
169x 2y 2
+=1的内接矩形的面积的最大值为 例2、椭圆
169
题型7：直线与椭圆的位置关系的判断
x 2y 2
+=1相交？相切？相离？ 例1、当m 为何值时，直线y =x +m 与椭圆
169
x 2y 2
+=1恒有公共点，求实数m 的取值范围； 例2、若直线y =kx +1(k ∈R ) 与椭圆5m
题型8：弦长问题
4x 2y 2
+=1所截得的弦长. 例3．求直线y =2x -4被椭圆99
x 2
+y 2=1的左右焦点分别为F 1,F 2，例4、已知椭圆若过点P （0，-2）及F 1的直线交椭圆于A,B 两点，求⊿ABF 22
的面积；
题型9：中点弦问题
x 2y 2
+=1内的点A （2，-1）为中点的弦所在的直线方程。 例5、求以椭圆85
例6
、中心在原点，一个焦点为F 1的椭圆截直线y =3x -2 所得弦的中点横坐标为
例7、椭圆mx 2+ny 2=1 ，与直线x +y =1 相交于 、
两点，
是
的中点．若AB = ，斜
1
，求椭圆的方程． 2
（O 为原点），求椭圆的方程．
题型10：椭圆与向量、解三角形的交汇问题
例6、设过点P (x , y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A 、B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，
O 为坐标原点，若BP =2PA ，且OQ ⋅AB =1，求P 点的轨迹方程;
15. 如图，在Rt △ABC 中，∠CAB=90°，AB=2，
AC=
。一曲线E 过点C ，动点P 在曲线E 上运动，且保2
持|PA|+|PB|的值不变，直线l 经过A 与曲线E 交于M 、N 两点。 （1）建立适当的坐标系，求曲线E 的方程；
（2）设直线l 的斜率为k ，若∠MBN 为钝角，求k 的取值范围。
基础巩固训练
1. 如图, 椭圆中心在原点,F 是左焦点, 直线AB 1与BF 交于D, 且∠BDB 1, 则椭圆的离心率为
x 22
+y =1的两焦点，2. 设F 1, F 2为椭圆P 在椭圆上，当∆F 1PF 2面积为1时，PF 1⋅PF 24
的值为
x 2y 2
+=1的一条弦被A (4,2)平分, 那么这条弦所在的直线方程是 3. 椭圆
369
4. 在△ABC 中，∠A =90，tan B =
3
．若以A , B 为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e = 4
1F 2:∠PF 2F 1:∠F 1PF 2=1:2:3, 则此椭圆的离心率为 5. 若F 1, F 2为椭圆的两个焦点,P 为椭圆上一点, 若∠PF
2
x 2y 2a
6. 在平面直角坐标系中，椭圆2+2=1(a >b >0) 的焦距为2，以O 为圆心，a 为半径的圆，过点(,0) 作
c a b
圆的两切线互相垂直，则离心率e =
综合提高训练
x 2y 2
7、已知椭圆2+2=1(a >b >0) 与过点A(2，0) ，B(0，1) 的直线l 有且只有一个公共点T
，且椭圆的离心率
a b
e =
．求椭圆方程； 2
⎛x 2y 2
8. 已知A 、B 分别是椭圆2+2=1(a >b >0) 的左右两个焦点，O 为坐标原点，点
P -1, 在椭圆上，线2a b ⎝⎭
段PB 与y 轴的交点M 为线段PB 的中点。
（1）求椭圆的标准方程； （2）点C 是椭圆上异于长轴端点的任意一点，对于△ABC ，求
9. 已知长方形
ABCD, AB=以AB 的中点O 为原点建立如图8所示的平面直角坐标系xoy .
(Ⅰ) 求以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的标准方程;
(Ⅱ) 过点P(0,2)的直线l 交(Ⅰ) 中椭圆于M,N 两点, 是否存在直线l , 使得以弦MN 为直径的圆恰好过原点? 若存在,
l 求出直线的方程; 若不存在, 说明理由.
图8
sin A +sin B
的值。
sin C