高职统考数学公式
分式的性质
⎧a (a >0)
一、a =⎪
⎨0(a =0)
⎪⎩
-a a
a 2±2ab +b 2=(a ±b ) 2 a 2-b 2=(a +b )(a -b ) a 3±b 3=(a ±b )(a 2 ab +b 2)
三、分式：除式中含有字母的有理式叫分式，分式有意义的条件是分母不零 1. 分式的基本性质：A B =A ⨯M B ⨯M A B =A ÷M B ÷M
(M为整式，且M ≠0) 2. 分式的运算：
加减法：
a b a ±b a c ad ±bc
c ±c =c b ±d =bd 乘除法：a c ac a b ⋅d =bd b ÷c d =a b ⨯d c =ad
bc
a n
乘方：(b ) n =a b
n （n 为正整数）
四、1. 一元二次方程的求根公式：x =-b ±b 2
-4ac 2a
（b 2
-4ac ≥0）
2. 韦达定理：x b 1+x 2=-a ；x x c 1⋅2=a
第一章
一、非空集合A 有：子集：2n
个；真子集：2n
-1个；非空真子集个数：2n
-2个二、两个实数大小的比较
a -b >0⇔a >b a -b =0⇔a =b a -b
一、不等式的性质
1. 对称性：a >b ⇔b
2. 传递性：a >b , b >c ⇔a b ⇒a +m >b +m
4. a >b , c >0⇒ac >bc a >b , c =0⇒ac =bc a >b , c b , c >d ⇒a +c >b +d
（2）减法运算：统一成加法运算a >b , c >d ⇒a >b , -d >-c ⇒a -d >b -c 6. （1）(正向同乘) a >b >0, c >d >0⇒ac >bd
（2）除法运算：统一乘法运算
a > b > 0 , c > d > 0 ⇒ a > b > 0 , 1
> 1 > 0 ⇒ a > b d c d c
> 0 7. 乘方运算（正乘方）：a >b >0⇒a n >b n (n ∈N +, 且n >1) 8. 开方运算（正开方）：a >b >0⇒a >(n ∈N +, 且n >1) 9.(同号倒) a >b , ab >0⇒11
a
二、均值定理
1.
a +b
≥ab , 其中a , b ∈R +2
, 当且仅当a =b 时取等号 2.
a +b +c 3
≥abc , 其中a , b , c ∈R +, 当且仅当a =b =c 时取等号 三、重要不等式 1. (a +b ) 2
≥0
2. a 2
+b 2≥2ab , 其中a , b ∈R , 当且仅当a =b 时取等号 3. a 3
+b 3
+c 3
≥3abc (a >0, b >0, c >0)
第三章 一、
1. 正比例函数f (x ) =kx (k ≠0), 当k >0时为增函数，当
k 0时为增函数，当
k
3. 反比例函数f (x ) =
k
(k ≠0), x
当k >0时, 函数在区间（-∞，0）和（0，+∞）上是减函数，2. 反比例函数表达式：y =
k
(k ≠0) x
当k
一般式：y =ax 2+bx +c (a ≠0)
4. 对数函数y =log a x (a >0且a ≠1), 当01时，函数为增函数5. 指数函数y =a x (a >0且a ≠1), 当01时，函数为增函数
二、函数y =ax 2+bx +c (a ≠0) 叫做二次函数 三、二次函数的图像是一条抛物线
四、任何一个二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0) 都可把它的解析式配方为顶点式；
=a (x +b 24ac -b 2
y 2a ) +4a
性 质
1. 图像的顶点坐标为(-
b 2a , 4ac -b 2
4a
) ，对称轴是直线x =-b 2a 2. 当a >0，函数在区间(-∞, -b 2a ) 上是减函数，在(-b
2a , +∞) 上是增函数， 当a
2a
) 上是增函数， 3. 最值
2
（1）当a >0，函数图像开口向上，当x =-
b 4ac -b 2a 时，y min =4a
（2）当a
2a 时，y max =4a
[说明]1. 我们研究二次函数的性质常用的方法有两种：配方法和公式法
2. 无论是利用公式法还是配方法我们都可以直接得出二次函数的顶点坐标与对称轴，但我们讨论函
数的最值以及它的单调区间时一定要考虑它的开口方向 五、常见函数的表达式：
1. 正比例函数表达式：y =kx (k ≠0)
顶点式：y =a (x -m ) 2+n (a ≠0), 其中(m , n ) 为抛物线顶点
两根式：y =a (x -x 1)(x -x 2), 其中x 1、x 2为二次方程ax 2+bx +c 的两根，或函数与x 轴的交点的横坐标
第四章
一、幂的有关概念
1. 正整数指数幂：a ⋅ a
a =a n
(n ∈N +) n 个
2. 零指数幂：a 0=1, (a ≠0) 3. 负整数指数幂:a
-n
=
1
a
n , (a ≠0, n ∈N +) m
4. 正分数指数幂：a n
=a m , (a ≥0, n , m ∈N +, n >1)
5. 负分数指数幂：a
-
m n
=
1
a
m
, (a >0, n , m ∈N +, n >1)
三、实数指数幂的运算法则 1. a m
⋅a n
=a
m +n
2. (a m ) n =a
mn
3. (a ⋅b ) n
=a n
⋅b n
(注m 、n ∈R , a >0, b >0) 四、函数y =a x
(a >0且a ≠1, x ∈R ) 叫做指数函数
五、一般地，指数函数y =a x
(a >0, a ≠1) 在其底数a >1及0
如下表所示： a >1
(1)x ∈R (2)y >0
(3)函数的图像都通过点（0,1） (4)在(-∞, +∞) 上是增函数
(5)当x >0时，y >1; 当x
0
(1)x ∈R
(2)y >0
(3)函数的图像都通过点（0,1） (4)在(-∞, +∞) 上是减函数
(5)当x >0时，01 六、对数概念
如果a b
=N (a >0且a ≠1) ，那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作l o a g N =b , 其中
a 叫做底N ，叫做真数
特别底，以10为底的对数叫做常用对数，log 10N 可简记作lg N 七、对数的性质
1.1的对数等于零，即log a 1=0(a >0且a ≠1)
2. 底的对数等于1，即log a a =1(a >0且a ≠1) 3. 零和负数没有对数
八、积、商、幂的对数：
1. log a (MN ) =log a M +log a N (a >0且a ≠1, M >0, N >0) 2. log a (
M
N
) =log a M -log a N (a >0且a ≠1, M >0, N >0) 3. log a
a M =a log a M (a >0且a ≠1, M >0)
九、换底公式：log log a M
b N =log (a >0, b >0且a ≠1, b ≠1, N >0)
a b
十、对数恒等式：a
log a N
=N (a >0且a ≠1, N >0)
十一、对数函数：形如y =log a x (a >0, a ≠1, x >0) 的函数我们称为对数函数
十二、一般地，对数函数y =log a x (a >0, a ≠1) 在其底数a >1及01 (1)x >0 (2)y ∈R
(3)函数的图像都通过点（1,0） (4)在(0, +∞) 上是增函数
(5)当x >1时，y >0; 当0
0
(1)x >0
(2)y ∈R
(3)函数的图像都通过点（1,0） (4)在(0, +∞) 上是减函数
(5)当x >1
时，y 0 十三、指数方程及解法 1. 定义法：a
f (x )
=b ⇔f (x ) =log a b
2. 同底比较法：a
f (x )
=a g (x ) ⇔f (x ) =g (x )
3. 换元法：[a
f (x )
]
2
+b ⋅a f (x ) +c =0⇔可设a f (x ) =t 得t 2+bt +c =0, 求得t 后再求x
十四、对数方程及解法
1. 定义法：log (x ) =b ⇔⎧⎨f (x ) >0
a f ⎩
f (x ) =a b
⎧2. 同底比较法：log x ) ⇔⎪
f (x ) >0
a f (x ) =log a g (⎨g (x ) >0
⎪⎩
f (x ) =g (x ) 3. 换元法形如：[log 2
a f (x ) ]+b log a g (x ) +c =0⇔可设log a f (x ) =t 得t 2+bt +c =0
第五章
一、利用数列的前n 项和S n 与n 之间的关系求出数列{a n }的通项公式：
S a ⎧S 1, (n =1)
n =1+a 2+a 3+ +a n a n =⎨
⎩S n -S n -1, (n ≥2)
[说明]这里是用两个式子联合起来表示的，切莫忘记前一个式子，事实上，当n =1时，
S n -1=S 0, 而S 0没有意义，因而第二个式子也无意义
二、等差数列定义
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，记为d , 即d =a n +1-a n (n ∈N +) 等差数列的一般形式为a 1, a 1+d , a 1+2d , 三、等差数列通项公式
a n =a 1+(n -1) d
四、等差数列前n 项和公式
记S n =a 1+a 2+a 3+ +a n (a 1+a n ) n ，则S n =
2或S n (n -1)
n =na 1+2
d [说明]在a 1
, d , n , a
n
, S n 五个量中，已知任意三个量可求出另两的量，即“知三求二”
五、等差中项
对给定的实数a 与b ，如果插入数
A 使得a , A , b 成等差数列，则称A 叫做a 与b
的等差中项，且A =
a +b
2
或2A =a +b 六、等差数列的性质
1. 在等差数列中，若公差d =0，则此数列为常数列；若d >0，则此数列为递增数列；若d
2. 在等差数列中，a m -a n =(m -n ) d 或d =
a m -a n
m -n
(m , n ∈N +, m ≠n )
3. 在等差数列中，若正整数m , n , p , q 满足m +n =p +q ，则有a m +a n =a p +a q
4. 在等差数列中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成一个新的等差数列，如
a 1, a 3, a 5, 仍然是等差数列
5. 在等差数列中，每连续m 项之和构成的数列仍然是等差数列，如a 1+a 2, a 3+a 4, a 5+a 6仍然是等差数列
6. 有穷等差数列中，与首末两端距离相等的两项之和相等，并等于首末两项之和，若项数为奇数，还等于中间项的2倍，即
a 2+a n -1=a 3+a n -2= =a p +a n -p +1=a 1+a n =2a 中
[说明]在三个成等差数列的数中，一般设为：a -d , a , a +d
七、等比数列定义
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，记为q , 即q =
a n +1
a (n ∈N +) n
等比数列的一般形式为a 2
1, a 1q , a 1q , 八、等比数列通项公式
a n =a 1q n -1(q ≠0)
九、等比数列前n 项和公式
S a a 1(1-q n 记)
a 1-a n q n =a 1+2+a 3+ +a n ，则S n =1-q (q ≠1) 或S n =1-q
(q ≠1)
[说明]1. 以上的两个式子都是针对q ≠1的情况，当q =1时，数列为常数列，故S
n
=na 1
2. 在a 1, d , n , a n , S n 五个量中，已知任意三个量可求出另两的量，即“知三求二” 十、等差中项
对给定的实数a 与b ，如果插入数G 使得a , G , b 成等比数列，则称G 叫做a 与b
的等比中项，且G 2
=ab 或G =±ab
[说明]1. a 、b 两个实数必须是同号的，即ab >0，这时a 、b 才有等比中项
2. 其中的一个值ab ，当a 与b 是正数时，有称为a 与b 的几何平均数 十一、等比数列的性质
1. 在等比数列中，若公比q =1，则此数列为常数列；若a 1>0, q >1或a 10, 01，则此数列为递减数列 2. 在等比数列中，
a m
a =q m -n 或a n m =a n q m -(m , n ∈N +, m ≠n ) n
3. 在等比数列中，若正整数m , n , p , q 满足m +n =p +q ，则有a m a n =a p a q （特殊地，若
m +n =2p , 则a 2
m a n =a p ）
4. 在等比数列中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成一个新的等比数列，如
a 1, a 4, a 7, 仍然是等比数列
5. 有穷等比数列中，与首末两端距离相等的两项之和相等，并等于首末两项之积，若项数为奇数，还等于中间项的平方，即
a 22a n -1=a 3a n -2= =a k a n -k +1=a 1a n =a
中
6. 在等比数列中，每连续m 项之和（积）构成的数列仍然是等比数列
如a 1+a 2, a 3+a 4, a 5+a 6 仍然是等比数列；a 1a 2, a 3a 4, a 5a 6 也仍然是等比数列
[说明]在三个成等比数列的数中，一般设为：a q
, a , aq
第六章
一、1800
=π弧度 二、弧长公式：l
=α⋅r (α为弧度数)
三、扇形的面积公式：S 1扇形=
2lr =1
2
⋅r 2(α为弧度数) 四、任意角的三角函数的定义
定义：在平面直角坐标系中，设点P (x , y ) 是角α的终边上的任意一点，且该点到原点的距离为r (r >0) ，则
sin α=
y r , cos α=x r , tan α=y x r r
x , cot α=y , sec α=x , csc α=y
五、三角函数的符号
七、平方关系：sin
2
α+cos 2α=1, sec 2α-tan 2α=1, csc 2α-cot 2α=1
八、商数关系：
sin αcos α=tan α, cos α
sin α
=cot α 九、倒数关系：tan α⋅cot α=1, csc α⋅sin α=1, sec α⋅cos α=1 十、诱导公式：
1. cos(-α) =cos α, sec(-α) =sec α 2. 终边相同的角，其同名三角函数值同
3. 奇变偶不变，符号看象限
十一、两角和与差的三角函数的公式
sin(α±β) =sin αcos β±cos αsin β c o s α(±β) =c o αs c o s β s i n αs i n βtan(α±β) =
tan α±tan β
1 tan αtan β
十二、倍角公式
s i n
2α=2s i n αc o s α c o 2s α=c o 2s α-s i n 2α=2c o 2s α-1=1-2s i n 2
α tan 2α=2tan α1-tan 2
α
十三、半角公式
sin
α
-cos αα+c o αs
2
=±
2 c o 2=±2
tan α
1-cos α2=±sin α1-cos α
1+cos α或tan 2=1+cos α=
sin α
十四、三角函数的图像与性质
y =sin x
图像
定义式：R 值域：[-1, 1]
周期性：最小正周期T =2π
奇偶性：sin(-x ) =-sin x 奇函数
单调性：在⎢⎡⎣-
π2+2k π, π⎤
2+2k π⎥⎦
k ∈Z 上递增
在⎢
⎡π3π⎣2+2k π, 2+2k π⎤⎥⎦
k ∈Z 上递减
y =cos x
图像
定义式：R 值域：[-1, 1]
周期性：最小正周期T =2π 奇偶性：cos(-x ) =cos x 偶函数
单调性：在[-π+2k π, 2k π]k ∈Z 上递增
在[2k π, π+2k π]k ∈Z 上递减
y =tan x
图像
定义式： ⎨⎧x x ≠
π
⎩
2+k ⋅π, k ∈Z ⎫
⎬⎭
值域：R
周期性：最小正周期T =π
奇偶性：tan(-x ) =-tan x 奇函数 单调性：在每个区间(-
π
2
+k π,
π
2
+k π) k ∈Z 上都是递增
十五、正弦性函数:y =A sin(ωx +ϕ) +k 最大A +k , 最小值-A +k ，
最小正周期：T =
2π
十六、余弦性函数: y =A cos(ωx +ϕ) +k 最大A +k , 最小值-A +k ，
最小正周期：T =
2π
十七、正切性函数: y =A tan(ωx +ϕ) +k 最小正周期T ：=
π
十八、辅助公式：y =a sin α+b cos α=a 2+b 2
sin(α+ϕ) （其中tan α=
b a
）十九、三角形中的边角关系 1. A +B +C =π
2. 大边对大角，大角对大边 3. 直角三角形中：A +B =C =π
2
、c 2=a 2+b 2、sin A =
a c , sin B =b
c
, sin C =1 二十、余弦定理
2
2
2
cos A cos A =b 2+c 2b +c -2bc -a 2
a =2bc
2
=a 2
+c 2
-2ac cos B cos B =a 2+c 2-b 2
b 2ac
c =a 2+b 2
-2ab cos C cos C =a 2+b 2-c 222ab
二十一、正弦定理
a sin A =b sin B =c
sin C
=2r (其中r 为三角形外接圆的半径) 二十二、三角形面积
S 12ab sin C =1∆ABC =
2bc sin A =1
2
ca sin B 第七章
一、运算律
若λ、μ为实数，则 1. λ(μ) =(λμ) ⋅ 2. (λ+μ) =λ+μ 3.
λ(+) =λ⋅λ
[说明]数乘向量的运算律与实数的运算律类似
二、向量平行的充要条件
若≠, 则//⇔存在唯一实数λ，使=λ
[说明]当b =0, 对任意实数λ，显然a //b
三、向量内积的概念与性质 1. 两向量的夹角
已知两个非零向量与，作OA =a , OB =b , 则∠AOB 是向量
00≤≤1800
[说明]
①与
00
②与
1800 ③⊥
900
2. 内积的定义
a ⋅b =
[说明]
①⋅的结果是一个实数，可以等于正数、负数、零
叫做在方向上正射影的数量 3. 内积的性质
①如果
是单位向量，则⋅=⋅= ②a ⊥b ⇔a ⋅b =0
③⋅==
④=
⑤⋅≤ 四、向量内积的运算律 1. a ⋅b =b ⋅a 2.
λ(⋅) =(λ) ⋅=⋅(λ)
3. (+) ⋅=⋅+⋅
[说明]一般地，(+) ⋅≠⋅(⋅) ，也就是说，向量内积没有“乘法的结合律”五、设A 、B 两点的坐标分别是(x 1, y 1)(x 2, y 2) 则 =(x 2, y 2) -(x 1, y 1) =(x 2-x 1, y 2-y 1) 六、向量直角坐标运算
1. 设=(a 1, a 2) ，=(b 1, b 2) 则
±=(a 1, a 2) ±(b 1, b 2) =(a 1±b 1, a 2±b 2) 2. λ=λ(a 1, a 2) =(λa 1, λa 2)
3. 若=(a 1, a 2) ，=(b 1, b 2) 则⋅=a 1b 1+a 2b 2 七、向量长度坐标运算 1. 若=
(a 1, a 2) =
a 21+a 2
2
2. 若A (x 1, y 1) B (x 2, y 2) ,
=
(x 2-x 21) +(y 22-y 1)
[说明]
也叫A 、B 两点的距离，记为d
A 、B , 上式也叫两点距离公式
八、中点公式
设A (x 21, y 1) B (x 2, y 2) ，线段AB 的中点坐标为(x , y ) ，则x =
x 1+x , y =y 1+y 2
22
九、平移变换公式
点平移公式：
若把点P ⎧x =x 0+a 1
0(x 0, y 0) 按向量=(a 1, a 2) 平移到点P (x , y ), 则⎨⎩
y =y
0+a 2十、两向量平行于垂直的条件 设=(a 1, a 2) ，=(b 1, b 2) ，则
//⇔a a 11b 2-a 2b 1=0⇔
b =a 2
b (b 1≠0且b 2≠0) 12
a ⊥b ⇔a 1b 1+a 2b 2=0
十一、图像平移公式：
一般地，函数y =f (x ) 的图像平移向量a =(a 1, a 2) 后，得到的图像的函数表达式为
y -a 2=f (x -a 1)
第八章
一、直线的倾斜角和斜率
1. 直线的倾斜角：一条直线向上的方向与x 轴的正方向所成的最小正角α，称为直线的倾斜角 规定：当l //x 轴时，α=0 倾斜角的范围是：0≤α≤π
2. 直线的斜率：若α为直线l 的倾斜角，当α≠π
2
时，将tan α叫做直线的斜率，记作：k =tan α，
当α=
π
2
，直线的斜率不存在
3. 斜率的计算公式： ①k =tan α
②如果=(v v v
1, v 2) 为直线的一个方向斜率，且1≠0, 则k =2v
1
③如果=(A , B ) 为直线的一个法向量，且B ≠0, 则k =-
A B
④如果M (x 1, y y 2-y 1
1) N (x 2, y 2) 是直线上的两个点 ，且x 1≠x 2, 则k =x
2-x 1
二、直线的方程
2. 特殊的直线方程
①平行于y 轴的直线方程：x =x 0 ②平行于x 轴的直线方程：y =y 0 ③过原点的直线方程：y =kx
三、两条直线的位置
[说明]当一般式方程x , y 系数有为零时
1. l 1:A 1x +C 1=0, l 2:A 2x +C 2=0, 则l 1//l 2或l 1/与l 2重合
l l A 1C 1
1//2⇔A ≠
; l l 1C 1
2C 2
1/与2重合⇔
A A =
2C 2
2. l 1:A 1x +C 1=0, l 2:B 2x +C 2=0, 则l 1⊥l 2
四、待定系数法求直线方程
已知直线l ：Ax +By +C =0 ，则
与l 平行的直线方程可设为：Ax +By +D =0 与l 垂直的直线方程可设为：Bx -Ay +D =0 五、两直线的夹角
1. 定义：两条直线相交，组成两对对顶角，其中不大于π
2
的角叫做两条直线的夹角；当两直线平行或重合时，规定夹角为0，常用θ表示两直线的夹角 2. 范围：0≤θ≤π
2
3夹角公式：
① 设l 1:A 1x +B 1y +C 1=0，l 2:A 2x +B 2y +C 2=0则
cos θ=
A 1A 2+B 1B 2A 2
2
2
1+B 1⋅A 2+B 2
2
②l k -k 1
1:y =k 1x +b 1, l 2:y =k 2x +b 2则tan θ=21+k
1k 2
六、点到直线的距离公式 1. 点到直线的距离公式
设点P Ax 0+By 0+C 0(x 0, y 0) 到直线l ：Ax +By +C =0的距离为d ，则d =A 2
+B
2
2. 两条平行直线间的距离公式
设l 21:A 1x +B 1y +C 1=0，l 2:A 2x +B 2y +C 2=0的距离为d ，则d =
C 1-C A 2
+B
2
七、定义：平面内，与定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫做圆，定点叫做圆的圆心，定长
叫做圆的半径 八、圆的标准方程
圆心在点C (a , b ) ，半径为r 的圆的标准方程是(x -a ) 2+(y -b ) 2=r 2 特殊地，圆心在坐标原点，半径为r 的圆的标准方程是x 2+y 2=r 2 九、圆的一般方程
x 2+y 2+Dx +Ey +F =0
把圆的一般方程化为标准方程的形式就是：(x +D 2) 2+(y +E 2D 2+E 2-4F
2) =4
1. 当D 2
+E 2
-4F >0时，方程表示一个圆的方程，圆心为（-
D 2
，-E
2）
半径为r =
D 2+E 2-4F
2
2. 当D 2
+E 2
-4F =0时，方程表示一个点（-
D 2
，-E 2）
3. 当D 2
+E 2
-4F
对于点P 2
2
2
2
2
0(x 0, y 0) 和圆(x -a ) +(y -b ) =r 或x +y +Dx +Ey +F =0，点P 到圆心距离记作d
1. 点P 在圆内⇔(x 2
2
0-a ) 2+(y 0-b ) 2
2. 点P 在圆上⇔(x 22
0-a ) 2+(y 0-b ) 2=r 2⇔x 0+y 0+Dx 0+Ey 0+F =0⇔d =r 3. 点P 在圆外⇔(x 2
2
0-a ) 2+(y 0-b ) 2>r 2⇔x 0+y 0+Dx 0+Ey 0+F >0⇔d >r
十一、圆与直线的位置关系
直线l ：Ax +By +C =0，圆C: (x -a ) 2+(y -b ) 2=r 2
有直线和圆的方程联系得到关于x 或y 的一元二次方程，求出判别式∆
1. 直线与圆相离⇔圆与直线没有公共点⇔∆r
2. 直线与圆相切⇔圆与直线有一个公共点⇔∆=0⇔圆心到直线l 的距离d =r
3. 直线与圆相交⇔圆与直线有两个公共点⇔∆>0⇔圆心到直线l 的距离d
[说明]
当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离=d +r ，最小距离=d -r 其中d 为圆心到直线的距离，知圆上的一点P (x 0, y 0) ，则过点P 的圆(x -a ) 2+(y -b ) 2=r 2的切线方程为：(x -x 0)(x 0-a ) +(y -y 0)(y 0-b ) =0
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