第七章 微分方程
§1 微分方程的基本概念 一. 基本概念:
1. 微分方程; 凡表示未知函数, 未知函数的导数与自变量之间的关系式称为微分方程． 2. 常微分方程; 如果微分方程中的未知函数是一元函数，则称此类方程为常微分方程． 3. 偏微分方程; 如果微分方程中的未知函数是多元函数，则称此类方程为偏微分方程． 4. 微分方程的阶; 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，就称为此微分方程的阶．
5. 微分方程的解; 将某个已知函数代入到微分方程的左右两边可使其成为恒等式，那么就称此已知函数为此微分方程的解． 6. 微分方程的通解:如果微分方程的解中含有任意常数，并且任意常数的个数与微分方程的阶数相等，则这样的解就称为此微分方程的通解．
7. 微分方程的初始条件与特解.
8. 微分方程的积分曲线: 微分方程的解的图象是一条平面曲线，称此曲线为微分方程的积分曲线． 二．例题分析
P263．5．写出由下列条件所确定的曲线所满足的微分方程: 例1．曲线在点处(x ,
y )
的切.
解：设该曲线的方程为
y =f (x ) , 则由题意得: y ' =x 2.--------这就是所需确定的曲线应满足的微分方程．
y 轴平分.
例2．曲线上点P (x , y ) 处的法线与x 轴的交点为Q , 且线段PQ 被
解：设该曲线的方程为
y =f (x ) , 且设曲线在点P 处的法线记为L ，则其斜率为-1/y ' ；设法线Ｌ与Ｙ轴的交点为点Ａ，
-y =k (X -x ) 且k =-1/y '
再设法线Ｌ上任意一点Ｍ的坐标为M (X , Y ) ，进而得法线Ｌ的方程为：Y 即Y
-y =-(X -x ) /y ' ；则易求得：X Q =x +y ⋅y ' 且Y A =y +x /y ' ．．．．．．．．①
．．．．．．．．．② X Q +X P =2X A 且Y Q +Y P =2Y A ．
由题意知点Ａ为线段PQ 的中点知：由上述①，②两式最终可得：2x
=y ⋅y ' --------这就是所需确定的曲线应满足的微分方程．
§2．可分离变量的一阶微分方程 （注：它是一类最易求解的微分方程！） 一．一阶微分方程的一般形式和一阶微分方程的对称形式：
一般形式：F (x , y , y ')
=0⇔对称形式：P (x , y ) dx +Q (x , y ) dy =0
二．何为可分离变量的一阶微分方程？
如果某一阶微分方程由对称式：P (x , y ) dx +Q (x , y ) dy 可等价地转化为
=0，
f (x ) dx +g (y ) dy =0的形式，则称原方程为可分离变量的微分方程．
三．可分离变量的一阶微分方程的基本解法：（可由如下两步来完成求解过程）
第一步：进行自变量x ，dx 与因变量
y ，dy 的左右分离；
第二步：方程两边同时作不定积分即可求得原方程的隐式通解．
§３．一阶齐次微分方程 （注：它是一类经变量代换之后，可转化为＂变量左右分离的一阶微分方程！） 一．一阶齐次微分方程的定义：
dy y =f (x , y ) 中，如果方程右边的函数f (x , y ) 可写成dx x dy y
=ϕ() ，则称此微分方程为一阶齐次微分方程． 也即原方程形如：dx x
在某个一阶微分方程
二．一阶齐次微分方程的基本解法：
转化求解法―――即首先将原一阶齐次微分方程转化为变量分离方程；然后再按变量分离方程的解法去求解即可！具体地说， 第一步，作变量代换令u
的函数式即
y
f (x , y ) =ϕ() ，
x
=
y x
，则
y =ux ,
dy du =u +x dx dx
，代入原一阶齐次微分方程
dy y du
=ϕ() 得：u +x =ϕ(u ) ； dx x dx
第二步，进行变量u 与x 的左右分离得：
du dx
； =
ϕ(u ) -u x
第三步，两边求不定积分即可得其解．．．． 三．例题分析 参见Ｐ271．例１． 又如．Ｐ276．１．（4）．求方程(x
3
+y 3) dx -3xy 2dy =0的通解．
，作变量代换令u
dy x 3+y 3x 2y 解：原方程可转化为3==2+2
dx xy y x
则原方程转化为：3(u +x
=
y
x
，则
y =ux ,
dy du =u +x ； dx dx
du 1
) =2+u （注意：齐次方程在进行变量代换之后，一定是可以进行变量分离的！） dx u
du 1u 2du dx
=-2u ⇒=．最后两边作不定积分即可．紧接着就进行自变量与因变量的左右分离⇒x ．． dx u 21-2u x
§４．一阶线性微分方程 一．一阶线性微分方程的定义： 称形如：
dy
+P (x ) y =Q (x ) 的方程为一阶线性微分方程． dx
y 及其导数y ' 来说是一次线性组合的形式，所以称上述方程为＂线性＂方程！）
（注：因为方程的左边对未知函数（i ）. 当Q (x )
dy
+P (x ) y =0为一阶线性齐次微分方程． dx dy
+P (x ) y =Q (x ) 为一阶线性非齐次微分方程． （ii ）. 当Q (x ) ≠0时，则称dx
=0时，则称
二．一阶线性微分方程的解法（常数变易法是求解线性非齐次方程的基本方法）
１．所谓的＂常数变易法＂：就是为了求解某一阶线性非齐次方程，可先去求解与其所对应的齐次方程；然后在所得齐次方程的通解中，将任意常数Ｃ代换成一个待定的未知函数u (x ) 来构造生成非齐次方程的解；最后再将由此法构造生成的解，代回原非齐次方程中去确定那个待定函数u (x ) 的表达式．―――整个这样的求解过程就称为非齐次方程的常数变易法．（可参考Ｐ278．例１）
２．一阶线性微分方程：
-p (x ) dx p (x ) dx dy
+P (x ) y =Q (x ) 的通解公式如下：y =e ⎰⋅[⎰Q (x ) ⋅e ⎰dx +c ]―――请牢记！ dx
三．伯努利方程（注：它是一类经变量代换之后可转化为可分离变量的一阶微分方程！） １．伯努利方程的定义
我们称形如：
dy
+P (x ) y =Q (x ) ⋅y n ．．．．（＊）的方程为＂伯努利方程＂（或称＂n 级伯努利方程＂）． dx
dz dy
=(1-n ) y 1-n ⋅，将其代入原n 级伯努利方程（＊）可得 dx dx
２．伯努利方程的解法（变量代换转化法）
只要令z
=y 1-n ，则
⇒
dz
+(1-n ) p (x ) ⋅z =(1-n ) ⋅Q (x ) -----这是一个一阶线性非齐次方程! dx
进而可由一阶线性非齐次方程的通解公式求出其解, 这样也就求出原伯努利方程（＊）的解! ３．变量代换法在求解微分方程中的运用
利用变量代换（包括自变量的变量代换和因变量的变量代换），把一个微分方程转化为可分离变量方程，或转化为一个已知其求解步骤的方程，这是解微分方程的常用方法． 例１．解方程．Ｐ282．9．（1）．
dy
=(x +y ) 2 dx
dy du du du =-1=u 2⇒=u 2+1⇒2=dx 两边积分就可得其解．解：可令u =x +y ，则原方程转化为．．．． dx dx dx u +1
例２．Ｐ282.9. （3）解方程xy ' +解：可令u
y =y (lnx +ln y )
du
代入原方程得： dx
=ln x +ln y =ln xy ⇒xy =e u 两边关于自变量Ｘ求导得⇒y +xy ' =e u ⋅
du dx
，⇒ux
-1
ue u x -1=e u ⋅
=
du du dx ⇒=两边积分就可得其解．．．．． dx u x
§６．可降阶的高阶微分方程 （本节着重掌握三种容易降阶的高阶微分方程的解法） 一．二．
y (n ) =f (x ) 型微分方程――――这类高阶微分方程的解法很简单，只要两边积分n 次，就可得其通解．
y '' =f (x , y ') 型微分方程
y '' =f (x , y ') 的类型是二阶显微分方程，且此这类二阶显微分方程的特征是＂不显含因变量y ＂．
首先此方程
dy d 2y dp
=此类方程的解法：运用变量代换进行降阶求解．具体地，可令p =，则，
dx dx 2dx
dp
=f (x , p ) ―――这是一个一阶显微分方程．根据其具体形式，可按前几节所介绍的求解一阶方程的dx
dy dy
=ϕ(x , c 1) ⇒dy =ϕ(x , c 1) dx ，最后只要两边再作解法去求解．．．．．得其通解设为p =ϕ(x , c 1) 又p =，也即有
dx dx
进而原方程转化为：
一次积分，就可得原二阶显微分方程的解． 三．
y '' =f (y , y ') 型微分方程
y '' =f (y , y ') 的类型也是二阶显微分方程，且此这类二阶显微分方程的特征是＂不显含自因变量x ＂．
dy d 2y dp dp dy dp
p =，则，进而原方==⋅=p ⋅
dx dx 2dx dy dx dy
首先方程
此类方程的解法：也是运用变量代换进行降阶求解．具体地，可令
程转化为
p ⋅
dp
=f (y , p ) ――这也是一个一阶显微分方程．根据其具体形式，可按前几节所介绍的求解一阶方程的解法去dy
求解．．．设得其通解为
p =ϕ(y , c 1) 又p =
dy dy dy
=ϕ(y , c 1) ⇒dx =，也即有，最后只要两边再作一次积分，
dx dx ϕ(y , c 1)
就可得原二阶显微分方程的解． 四．例题分析
Ｐ292．1．（5）求解方程：
y '' =y ' +x
y ，即y '' =f (x , y ') 型．
解：第一步：判定此方程的类型是二阶显微分方程且不显含因变量
dy d 2y d p
=接着可令p =，则
dx d x 2d x
，dp dp
=x +p ．-p =x ．―――这是一阶线性非齐次方程⇒ dx dx
由一阶线性非齐次方程的通解公式知：进而知：
--1dx -1dx
p =e ⎰⋅[⎰x ⋅e ⎰dx +c ]=e x ⋅[⎰xe -x dx +c ]=-x +e 2x +ce x ；
p =
dy
=-x +e 2x +ce x ⇒dy =(e 2x +ce x -x ) dx ，最后只要两边再作一次积得原方程的通解．．．．． dx
五．微分方程的参数方程形式的隐式通解及其在有关问题中的运用
所谓＂微分方程的参数方程形式的隐式通解＂就是将微分方程的通解用参数方程形式来刻画． 即将微分方程的自变量x 与因变量
y 都表达成某个参数p 的函数式的形式．
例如：Ｐ292．1．（4）求解方程：
y '' =1+y ' 2．
y ，它同属y '' =f (x , y ') 与y '' =f (y , y ') 型；所以解
解：首先判定此方程的类型是二阶显微分方程且不显变量x 和
法相对由自．以下我们来介绍微分方程的参数方程形式的隐式通解给大家！
dy dp d 2y dp dp dp 2
=1+p =⇒=dx ⇒先设p =，则．进而原方程转化为：⎰1+p 2=⎰dx ．
dx dx dx 2dx 1+p 2
⇒x =arctan p +c 1―――这就求得了自变量x 关于参数p 的函数式；
以下再来求出因变量
y 关于参数p 的函数式，进而就可得原方程的参数方程形式的隐式通解．
由
p =
1dy pdp
y =ln(1+p 2) +c 2； ⇒dy =pdx =，所以2
2dx 1+p
⎧x =arctan p +c 1
⎪
从而原方程的参数方程形式的隐式通解为：⎨． 12
y =ln(1+p ) +c 2⎪⎩2
注：运用同样的方法，大家可以尝试一下去求解Ｐ292．１．（8）；（9）；（10）． §７．高阶线性微分方程（主要的是学习二阶线性微分方程的有关理论！） 一．二阶线性微分方程的定义： 称形如：（注：方程的左边对未知函数（i ）. 当
y '' +P (x ) y ' +Q (x ) y =f (x ) ．．．．．．（＊）的方程为二阶线性微分方程．
y 及其导数y ', y '' 这三者来说，是一次线性组合形式！）
f (x ) =0时，则称y '' +P (x ) y ' +Q (x ) y =0为二阶线性齐次微分方程．
（ii ）. 当
f (x ) ≠0时，则称y '' +P (x ) y ' +Q (x ) y =f (x ) 为二阶线性非齐次微分方程．
二．二阶线性微分方程的解的结构
１．二阶线性齐次微分方程＂解的叠加原理＂ 定理１：设
y 1(x ) 与y 2(x ) 都是二阶线性齐次微分方程y '' +P (x ) y ' +Q (x ) y =0的解，
则此两解的任意线性组合
y c 1⋅y 1(x ) +c 2⋅y 2(x ) 也是此二阶线性齐次微分方程的解．
―――定理１揭示了齐次方程的解所满足的一种性质．此性质常称为齐次方程＂解的叠加原理＂． ２．多个函数间的线性相关性与线性无关性的定义（参见教材Ｐ296从略） 特别地，两个函数
y 1(x ) 与y 2(x ) 在区间Ｉ上线性相关⇔
y 1(x )
=常数，∀x ∈Ｉ．
y 2(x )
３．二阶线性齐次微分方程的通解的结构 定理２：设
y 1(x ) 与y 2(x ) 是二阶线性齐次微分方程y '' +P (x ) ⋅y ' +Q (x ) ⋅y =0的解，且y 1(x ) 与y 2(x ) 线性无关，
则此两解的任意线性组合
y c 1⋅y 1(x ) +c 2⋅y 2(x ) 就是原二阶线性齐次微分方程的通解．
―――定理２揭示了如何用齐次方程的两个线性无关的特解去构造生成齐次方程的通解！ ４．二阶线性非齐次微分方程通解的结构 定理３：设
．．（＊）的一个特解，且Y (x ) 是对应的二阶y *(x ) 是二阶线性非齐次微分方程y '' +P (x ) y ' +Q (x ) y =f (x ) ．
线性齐次方程通解．
y '' +P (x ) y ' +Q (x ) y =0的通解，则y Y (x ) +y *(x ) 就是原二阶线性非齐次微分方程（＊）的
―――定理３揭示了如何用齐次方程的通解去构造非齐次方程的通解！即：非齐次通解５．二阶线性非齐次微分方程解的叠加原理（Ｐ297 定理４） 定理４：设有二阶线性非齐次微分方程
而
y ＝齐次通解Y
＋非齐次特解
y *．
y '' +P (x ) y ' +Q (x ) y =f (x ) ，（其中f (x ) =f 1(x ) +f 2(x ) ．）
y 1(x ) 是y '' +P (x ) y ' +Q (x ) y =f 1(x ) 的特解，且y 2(x ) 是y '' +P (x ) y ' +Q (x ) y =f 2(x ) 的特解
则Y (x )
y 1(x ) +y 2(x ) 就是原二阶线性非齐次方程y '' +P (x ) y ' +Q (x ) y =f (x ) 的一个特解．
―――定理４揭示了如何去求非齐次方程特解的一种方法．它通常又称为非齐次方程解的叠加原理！ ６．定理５：设
．．（＊）的两个不相等的特解， y 1(x ) 与y 2(x ) 是二阶线性非齐次微分方程y '' +P (x ) y ' +Q (x ) y =f (x ) ．则Y (x )
y 2(x ) -y 1(x ) 是对应的二阶线性齐次方程y '' +P (x ) y ' +Q (x ) y =0的一个非零特解．
―――此定理揭示了如何用二阶线性非齐次方程的二个特解去构造生成对应的齐次方程的特解！ ７．例题分析Ｐ326. １．(4)．已知
y 1=1, y 2=x , y 3=x 2是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，试求该方程的通解？
y '' +P (x ) y ' +Q (x ) y =f (x ) ．．．．（＊），
Y
＋非齐次特解
分析与解答：设此二阶线性非齐次微分方程为则由定理３知：非齐次通解
y
＝齐次通解
y *，现由题意知＂非齐次特解y *＂可取
y 1=1, y 2=x , y 3=x 2之中的任意一个，故以下只要求出＂齐次通解Y
＂来即可．
再由定理２知：＂齐次通解Y ＂是两个线性无关的齐次特解的任意线性组合即：Y (x ) =c 1⋅Y 1(x ) +c 2⋅Y 2(x ) （其中．而现在又应如何来求得两个线性无关的齐次特解呢？这可根据＂定理５＂来得Y 1(x ), Y 2(x ) 是两个线性无关的齐次特解）到！
由＂定理５＂知，可令：Y 1(x ) 所以原非齐次方程的通解为
y 2(x ) -y 1(x ) ≡x -1且Y 2(x ) y 3(x ) -y 1(x ) ≡x 2-1，且显然两者线性无关，
y =Y (x ) +y 1(x ) =c 1⋅Y 1(x ) +c 2⋅Y 2(x ) +y 1(x ) =c 1⋅(x -1) +c 2⋅(x 2-1) +1．
三．二阶线性非齐次微分方程的求解过程中的常数变易法与二阶线性非齐次微分方程的通解公式 １．二阶线性非齐次微分方程求解过程中的＂常数变易法＂． 为了求解二阶线性非齐次微分方程
y '' +P (x ) y ' +Q (x ) y =f (x ) ．．．（１），可先求解与之对应的齐次方程；
y '' +P (x ) y ' +Q (x ) y =0．．．（２）的两个线性无关特解y 1(x ) 与y 2(x ) ，
第一步：先求得对应的二阶线性齐次微分方程
则由定理２知：
．．．（３）就是原二阶线性齐次微分方程（２）的通解； y c 1⋅y 1(x ) +c 2⋅y 2(x ) ．
．．(４) y u (x ) ⋅y 1(x ) +v (x ) ⋅y 2(x ) ．
第二步：对齐次方程的通解（３）作常数变易，去构造生成非齐次微分方程（１）的解为
（其中u (x ), v (x ) 是两个待定的未知函数）；
第三步：接下来将（４）式代入原非齐次方程（１）并设法去求出u (x ), v (x ) ，这样也就求出了原非齐次方程（１）的解了！ ――――这就是二阶线性非齐次微分方程求解过程中的常数变易法． ２．二阶线性非齐次微分方程的通解公式 定理６．设
．．．．（１）的两个线性无关的特解， y 1(x ) 与y 2(x ) 是二阶线性齐次方程y '' +P (x ) y ' +Q (x ) y =0．
记W =
y 1
y 1' y 2
≠0，则与之对应的二阶线性非齐次方程y '' +P (x ) y ' +Q (x ) y =f (x ) ．．．．．（２） y 1'
y =y 2⎰
f ⋅y 1f ⋅y 2
dx -y 1⎰dx ． W W
有通解公式：
§８．常系数齐次线性微分方程（重点是掌握二阶线性常系数微分方程的有关理论！） 一．二阶线性常系数微分方程的定义： 在二阶线性微分方程：(i)．如果
y '' +P (x ) y ' +Q (x ) y =0．．．．（１）之中，
y ', y 的系数p (x ), Q (x ) 都是常数，即（１）式成为y '' +py ' +qy =0（其中p , q 为常数），
则称其为二阶线性常系数微分方程；
(ii)．如果
p , q 不全为常数，则称y '' +py ' +qy =0为二阶线性变系数微分方程．
二．二阶常系数齐线性微分方程
y '' +py ' +qy =0的解法：（如下方法通常称为＂特征根公式法＂）
2
第一步，写出原微分方程的特征方程r
+pr +q =0，并求出此方程的二个特征根r 1, r 2；
第二步，根据特征根r 1, r 2的不同情形，原方程
y '' +py ' +qy =0的通解公式如下：
(i)．若特征根r 1, r 2不相等，则原方程的通解为：
y =c 1e r 1x +c 2e r 2x ； y =(c 1+c 2x ) e r 1x ；
(ii)．若特征根r 1, r 2为相等，则原方程的通解为：(iii)．若特征根r 1, r 2为一对共轭复根r 1,2
三．二阶常系数齐次线性微分方程
=α+i β，则原方程的通解为：y =e αx ⋅(c 1cos βx +c 2sin βx ) ．
y '' +py ' +qy =0的求解举例：参见教材Ｐ304--305例１; 例２; 例３等．
§９．常系数非齐次线性微分方程（重点只需掌握如下关于二阶线性常系数非齐次微分方程的通解公式！） 一．关于二阶线性常系数非齐次微分方程定理６＇：设
y '' +py ' +qy =f (x ) （其中p , q 为常数）有如下结论：
．．．．（１）的两个线性无关的特解， y 1(x ) 与y 2(x ) 是二阶线性常系数非齐次微分方程y '' +py ' +qy =0．
记W =
y 1
y 1' y 2
≠0，则与之对应的二阶线性非齐次方程y '' +py ' +qy =f (x ) ．．．．．（２） y 1' y =y 2⎰
f ⋅y 1f ⋅y 2
dx -y 1⎰dx ―――请记牢！ W W
有通解公式：
――――注：此定理６＇只不过是第七节中介绍的＂定理６＂的一个特例而已！ 二．常系数二阶非齐次线性微分方程求解举例 例如Ｐ313. 例２．求方程
y '' -5y ' +6y =xe 2x 的通解．
y '' -5y ' +6y =0的通解，再运用定理５＇来求原非齐次方程的通解．
解：由定理５＇应首先求对应的齐次方程
易知齐次方程
y '' -5y ' +6y =0的特征方程为r 2-5r +6=0，特征根r 1=2, r 2=3．
于是，齐次方程的两个线性无关的特解为
y 1=e 2x , y 2=e 3x ⇒W =
y 1y 1'
y 2y 1'
=e 5x ；
进而原非齐次方程的通解为：
y =y 2⎰
2x 2x
f ⋅y 1f ⋅y 2⋅e 2x ⋅e 3x 3x xe 2x xe dx -y 1⎰dx =e ⎰dx -e ⎰dx 5x 5x W W e e
11
⇒y =e 3x (-xe -x -e -x +c 1) -e 2x (x 2+c 2) =d 1e 2x +d 2e 3x -(x 2+x ) e 2x ．
22
三．本章杂例Ｐ327．7．设有可导函数ϕ(x ) 满足ϕ(x )cos x +2
⎰ϕ(t )sin tdt =x +1，求ϕ(x ) =?
x
分析与解答：这是一个＂积分方程＂，求解＂积分方程＂的思路：首先我们把它转化为一个与其对应的微分方程，再来求解． 现由ϕ(x )cos x +2
⎰ϕ(t )sin tdt =x +1两边关于自变量Ｘ求导数得：
x
ϕ'(x )cos x -ϕ(x )sin x +2ϕ(x )sin x =1⇒ϕ'(x )cos x +ϕ(x )sin x =1
现记
y =ϕ(x ) ，则有y 'cos x +y sin x =1⇔y ' +y tan x =sec x ――这是＂一阶线性非齐次微分方程＂．
由通解公式得：
-p (x ) dx p (x ) dx -tan xdx tan xdx
y =e ⎰⋅[⎰Q (x ) ⋅e ⎰dx +c ]=y =e ⎰⋅[⎰sec x ⋅e ⎰dx +c ]=sin x +c ⋅cos x ．
又由条件ϕ(x )cos x +2综上得原方程的解为：
⎰ϕ(t )sin tdt =x +1知，当x =0时，则y =ϕ(0)=1，所以c =1．
x
y =sin x +cos x ．
四．综述＂求解微分方程的一般程序＂如下：
第一步，判定方程的类型，它是一阶微分方程还是二阶微分方程？
（我们知道标准求解步骤的一阶方程类型包括：①可分离变量方程；②齐次方程；③一阶线性（非）齐次方程；④贝努利方程）； 第二步，根据我们在本章所讲的各种方程的标准解法去求解！
补充说明：如果方程类型是我们很陌生的形式，那么就首先考虑运用＂变量代换法＂将其转化为我们所熟悉的方程类型；然后
再按上面的标准步骤去解决问题．
第八章 空间解析几何
§１ 向量及其线性运算 一. 一些基本概念
①向量与自由向量; ②单位向量与零向量; ③向量的共线与共面; ④向量的模, 方向角, 以及投影等. 二. 向量的加法运算与数乘运算的定义 三. 向量的线性运算在空间直角坐标系下的表达
借助于空间直角坐标系，向量间的线性运算可以转化为它们坐标之间的线性运算． §２ 向量的数量积 向量积 混合积 一．两个向量的数量积
１．数量积的定义 a ⋅b |a |⋅|b |cos θ, （其中θ为向量a , b 之间的夹角）
２．数量积与投影之间的关系―――a ⋅b =|a |Pr j b =|b |Pr j a a b
３．数量积的运算规律 二．两个向量的向量积
１．向量积的定义 a ⨯b |a |⋅|b |sin θ, （其中θ
为向量a , b 之间的夹角）
２．向量积的模的几何意义：它表示以向量a , b 为邻边所成的平行四边形的面积．
三．三个向量的混合积
１．混合积的定义 [a , b , c ] (a ⨯b ) ⋅c
２．三个混合积的模的几何意义：它表示以向量a , b , c 为邻边所成的平行六面体的＂有向体积＂．
即[a , b , c ]=ε⋅V ；(i) 当a , b , c 呈右手系时，ε=1；(ii) 当a , b , c 呈左手系时，ε=-1．
§３ 曲面及其方程 一. 曲面方程的概念 1. 如果某曲面S
上的点的坐标M (x , y , z )[a , b , c ]=⋅V 与某个三元方程F (x , y , z ) =0的解之间能构成一一对应, 则称这
个三元方程F (x , y , z ) =0为此曲面S 的方程;
2. 建立曲面方程的一般方法:首先在所求曲面上任取一点M ，记其坐标为M (x , y , z ) , 然后利用该曲面的特征并将其等价地表
达为点M (x , y , z ) 的坐标应满足的条件式即可!
例如 :试求球心在点M 0(x 0, y 0, z 0) , 半径为R 的球面方程?
解:设M (x , y , z ) 为所求球面上任意一点, 则由|M 0M |=R
即|M 0M |==R
所以(x -x 0)
二. 旋转曲面
1. 旋转曲面的定义(参见P312)
2. 坐标平面内的平面曲面绕坐标轴旋转所成旋转曲面的方程及其特点: 例如: 将
2
+(y -y 0) 2+(z -z 0) 2=R 2
yoz 坐标平面内的曲线Ｃ：f (y , z ) =0 绕Ｚ轴旋转所成旋转曲面S z 的方程只要将平面曲线Ｃ：f (y , z ) =0的方
程中的
y
代换为S
z 的方程为
f (z ) =0．
又如: 将zox 坐标平面内的曲线Ｃ：g (x , z ) 的方程中的z
代换为三. 柱面
1. 柱面的定义(参见P314) 2. 四种常见的柱面:
=0绕Ｘ轴旋转所成旋转曲面S x 的方程只要将平面曲线Ｃ：g (x , z ) =0
=0．
S
x 的方程为g (x , x 2y 2x 2y 22
①圆柱面x +y =a ; ②椭圆柱面2+2=1; ③抛物柱面y =2px ; ④双曲柱面2-2=1
a b a b
2
2
2
3. 二元方程在空间直角坐标系中的几何意义:
二元方程在空间直角坐标系中的总表示一个母线平行于坐标轴的柱面. 例如:方程平面内的曲线Ｃ：四. 二次曲面
1. 九种二次曲面的标准方程及其大致的曲面形状
2. 掌握运用对旋转曲面伸缩变形来认识一般的二次曲面形状的思想方法;
f (x , y ) =0表示的就是一个以xoy 坐标
f (x , y ) =0为准线，母线平行于Ｚ轴的柱面．
x 2y 2x 2y 222
例如： 2+2=z 的大致形状可以按如下方式分析：首先将曲面方程中的a 改成b ，2+2=z
a b a a
x 22
表示的是一个旋转曲面，且它可以由xoz 平面内的两条对称直线：2=z ⇔x =±az 绕Ｚ轴旋转来生成；进而把
a b
此旋转曲面沿y 轴方向伸或缩
a
x 2y 22
倍，即得椭圆锥面：2+2=z 的形状！
a b
§4 空间曲线及其方程
一. 空间曲线的一般方程：即将空间曲线看成两张曲面的交线形式．
设F (x , y , z ) =0和G (x , y , z ) =0是某两张曲面的方程，则它们的交线为⎨
⎧F (x , y , z ) =0
；
⎩G (x , y , z ) =0
⎧x =x (t ) ⎪
二. 空间曲线的参数方程⎨y =y (t ) ，（有关定义参见Ｐ３２０）
⎪z =z (t ) ⎩
三. 空间曲线向坐标平面的投影曲线与投影柱面（定义参见Ｐ３２３） 四. 二个三元方程联立消元的几何意义
联立消元的几何意义：实际上就是在求这两个方程联立的方程组所表示的空间曲线向某个坐标面内的投影柱面的方程． 例如：试求球面x
2
+y 2+z 2=9与平面x +z =1的交线在xoy 坐标面上的投影柱面与投影曲线的方程？
⎧x 2+y 2+z 2=9
解：即需求空间曲线⎨，向xoy 坐标面内的投影柱面与投影曲线的方程．
⎩x +z =1
为此，只要在上述方程组中消去变量Ｚ，得x
2
而上述空间曲线向xoy +y 2+(1-x ) 2=9即为所需求的投影柱面的方程，
⎧x 2+y 2+(1-x ) 2=9坐标面的投影曲线的方程为⎨．
⎩z =0
§5平面及其方程
一. 平面的点法式方程 设某平面过一定点M 0(x 0, y 0, z 0) 且以n ={A , B , C }为其法向量，
则所求平面的点法式方程为：
A (x -x 0) +B (y -y 0) +C (z -z 0) =0
二. 平面的一般式方程：Ax +By +Cz +D =0 （应知此平面是以向量n ={A , B , C }为其法向量的某一张平面）
三. 平面的截距式方程：四. 两个平面的夹角
两个平面的夹角是指这两个平面的法向量之间的夹角（当其是锐角时），或者是指这两个平面的法向量之间的夹角的补角（当其是钝角时）． 五. 点到面的距离公式
设P 0(x 0, y 0, z 0) 是空间中的任意一点，记其到平面π：
x y z
++=1； a b c
数值a , b , c 分别称为该平面在Ｘ，Ｙ，Ｚ轴上的截距．
Ax +By +Cz +D =0的距离为d
．
，
则d
§6 空间直线及其方程
=
一. 空间直线的一般方程(或称交线式方程) ：⎨
⎧A 1x +B 1y +C 1z +D 1=0
．
⎩A 2x +B 2y +C 2z +D 2=0
二. 空间直线的点向式方程(或称对称式方程) ：x -x 0y -y 0z -z 0==m n p ．
三. 空间直线的参数式方程 ⎧x =x 0+mt x -x 0y -y 0z -z 0⎪由空间直线的点向式方程：== t ，得⎨y =y 0+nt 此即为该直线的参数式方程； m n p ⎪z =z +pt 0⎩
四. 空间直线的两点式方程
设有直线过两点M 1(x 1, y 1, z 1), M 2(x 2, y 2, z 2) ，则此直线的两点式方程为
五. 两直线的夹角
两直线的夹角是指这两条直线的方向向量之间的夹角（当其是锐角时），或者是指这两条直线方向向量之间的夹角的补角（当其是钝角时）．
六. 直线与平面的夹角（定义参见Ｐ３３３）
七. 平面束的方程及其在解题中的运用
１．所谓＂平面束＂就是指经过某一定直线的所有平面的全体；平面束的方程可由此定直线的方程构造而得． x -x 1y -y 1z -z 1． ==x 2-x 1y 2-y 1z 2-z 1
⎧A 1x +B 1y +C 1z +D 1=0具体地说，若设直线Ｌ的方程为⎨，其中系数A 1, B 1, C 1与A 2, B 2, C 2不成比例， A x +B y +C z +D =0⎩2222
则以直线Ｌ为轴的平面束的方程为：α(A 1x +B 1y +C 1z +D 1) +β(A 2x +B 2y +C 2z +D 2) =0． （注：不同位置的平面对应于不同的参数α, β的取值．）
２．平面束的概念在解题中的运用 例１：参见Ｐ３３５例７．
例２：Ｐ３３６．８．求过点P (3,1,-2) 且过直线Ｌ：x -4y +3z ==的平面方程？ 521
解：由直线Ｌ的对称式：⎧2x -5y -23=0x -4y +3z ==，得直线Ｌ的一般式方程为⎨， 521⎩y -2z +3=0
从而由平面束的概念知：可设所求平面的方程为：
α(2x -5y -23) +β(y -2z +3) =0．（其中α, β为待定系数！）．．．．．．．．（１）
现由点P (3,1,-2) 在此平面上，所以应有α(2⋅3-5⋅1-23) +β⋅[1-2⋅(-2) +3]=0，解得 β/α最后，将此值代入方程（１）即得所需求的平面方程．
八．点到直线的距离公式
设点=11/4． M 0(x 0, y 0, z 0) 是直线Ｌ外一点， s 是直线Ｌ的方向向量且点M (x , y , z ) 是直线Ｌ上任意一点，则点
|M 0M ⨯s |（注：此式只要运用向量积模的几何意义即可证明！） M 0(x 0, y 0, z 0) 到直线Ｌ的距离ｄ的计算公式为：d =|s |
九．直线与平面的位置关系―――线与面的位置关系有如下四种：①线在面内；②线面平行；③线面垂直；④线面斜交． 现设直线Ｌ的方向向量为s ，平面π的法向量为n ，则有如下结论：
１．线在面内：L ⊂π⇔s ⊥n 且∃A (x 0, y 0, z 0) ∈L 但A (x 0, y 0, z 0) ∉π；
２．线面平行：L π⇔s ⊥n ，∃A (x 0, y 0, z 0) ∈L 且A (x 0, y 0, z 0) ∈π；
３．线面垂直： L ⊥π⇔s n ； ４．线面斜交：L ⊥π
不成立⇔s n 不成立；
十．本章有关的一些解题技巧
１．求交点类问题： 在此类问题中，运用直线的参数式方程来求解常常过程要简单一些． 例如：试求直线Ｌ：x -2y -3z -4==与平面2x +y +z -6=0的交点？ 112
⎧x =t +2⎪解：易知直线Ｌ的参数为⎨y =t +3，将其代入平面2x +y +z -6=0的方程，
⎪z =2t +4⎩
得2(t +2) +(t +3) +(2t +4) -6=0，解得t
２．求距离类问题有时也可用直线的参数式来求解． =-1，进而知交点的坐标为(1,2, 2) ．
⎧x +y -z +1=0例如：Ｐ３３６．１３．求点P (3,-1,2) 到直线Ｌ：⎨的距离ｄ＝？ 2x -y +z -4=0⎩
解：直线Ｌ：⎨⎧x +y -z +1=0⎧x +y -z +1=0⎧x +y -z +1=0⎧y +2=z ， ⇔⎨⇔⎨⇔⎨⎩2x -y +z -4=0⎩3x -3=0⎩x =1⎩x =1
⎧x =1x -1y +2z -0⎪⇔⎨y =t -2； ⇔==011⎪z =t ⎩
设点Ｍ为直线Ｌ上的一动点其坐标可设为M (1,t -2, t ) ， 23292222则有|MP |=(1-3) +(t -2+1) +(t -2) =2t -6t +9=2(t -) +， 22 313M (1,t -2, t ) =(1,-, ) ． 知当t =
时，距离222
―――(注：本题中也演示了空间直线的三种方程形式之间的互化技巧，以后可做参考！)
３．已知平面上一点时求平面的方程时，点法式写方程是我们求解平面方程的基本思路．
例如：Ｐ３３６．１１．求过点⎧x +2y -z +1=0⎧2x -y +z =0A (1,2,1)而与直线L 1:⎨和L 2:⎨都平行的平面方程？
⎩x -y +z -1=0⎩x -y +z =0
分析：现已知平面上一点A (1,2,1)，所以只需求得此平面的一个法向量来即可得此平面的点法式方程．
解： 记这两条直线的方向向量分别为n 1, n 2，而所以平面的法向量设为n ，
则由n 1={1,2, -1}⨯{1, -1,1}={1, -2, -3},n 2={2,-1,1}⨯{1, -1,1}={0,-1, -1}，
进而n =n 1⨯n 2={-1,1, -1}，所以所求平面的方程为：-(x -1) +(y -2) -(z -1) =0．