一、小学数学思想与方法的内涵
1．数学思想。所谓数学思想是指人们从某些具体数学内容和对数学的认识过程中抽象概括出来的, 对数学知识内容的本质认识, 对所使用的方法和规律的理性认识。它具有普遍的指导意义和相对稳定的特征, 是研究数学理论和运用数学解决实际问题的指导思想。数学思想是数学的灵魂，是数学内容和数学方法的升华与结晶。它支配着数学的实践活动。
2．数学方法。所谓数学方法是指解决数学具体问题时所采用的方式、途径、程序和手段。是指某一数学活动过程的途径、、手段, 它是有过程性、层次性和可操作性等特点。数学思想是数学方法的灵魂, 数学方法是数学思想的表现形式和得以实现的手段, 因此, 两者往往结合在一起, 习惯上把它们称为数学思想方法。
3．小学数学思想方法。小学数学思想方法就是对小学数学知识有本质的认识，从方法论的角度来研究掌握小学数学中分析问题、思考问题的方法。它是以具体数学内容为载体, 又高于具体数学内容的一种指导思想和普遍适用的方法。在小学数学教育中有意识地向学生渗透一些基本数学思想方法能使学生领悟数学的真谛, 懂得数学的价值, 学会数学地思考和解决问题, 能把知识的学习与培养能力、发展智力有机地统一起来, 且它本身也蕴涵了情感素养的熏染, 这也正是新课程标准充分强调的。
《九年制义务教育全日制小学数学课程标准》( 实验稿) 提出:“学生通过学习, 能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识以及基本的数学思想方法。”因此, 在小学数学教学中有意识地向学生渗透一些基本数学思想方法, 可以加深学生对数学概念、公式、定理、定律的理解, 是提高学生数学能力和思维品质的重要手段, 是数学教育中实现从传授知识到培养学生分析问题、解决问题能力的重要途径, 也是小学数学教学进行素质教育的真正内涵之所在。 数学思想方法是人类在长期的数学活动中发展和积累起来的。它作为学生形成良好认知结构的纽带，是由知识转化为能力的桥梁，也是学生智能发展和数学素养提高的重要因素。因此在小学数学教学中渗透数学思想方法是实施素质教育的一个突破口。《数学课程标准》也明确指出：通过义务教育阶段的数学学习，学生能够“获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识# 包括数学事实、数学活动经验，以及基本的数学思想方法和必要的应用技能。”可见，数学思想方法的渗透作为小学数学教学的一个重要组成部分，其地位及重要性都得到了正式的确认。
二、小学数学教学主要渗透的数学思想与方法
（一）小学数学教学中主要渗透的数学思想。
由于小学生认知能力和小学数学教学内容的限制, 只能将部分重要的数学思想方法落实到数学教学过程中, 而对有些数学思想方法不宜要求过高。我们认为, 在小学数学中应予以重视的数学思想主要有: 集合思想、符号思想、对应（一一对应、单值对应）思想（主要体现在：数形结合思想、函数思想、变换的思想等）、化归思想、分类思想、统计思想、类比思想、优化思想、概率思想（随机思想）、建模思想（模型化思想）等。其理由是:( 1) 这些数学思想几乎包摄了全部小学数学内容;( 2) 符合小学生的思维能力及他们的实际生活经验, 易于被他们理解和掌握;( 3) 在小学数学教学中, 有机地渗透这些数学思想可以为进一
步学数学打下较好的基础。
1．集合思想。
集合思想创建者是德国数学家G •康托尔于1874年提出的，我国在1978年以后编的小学数学教材中也渗透了集合思想。
（1）集合概念渗透。
（2）集合关系的渗透。
包括等价关系和包含关系。
（3）集合运算的渗透。
包括并集思想、交集思想、差集思想、空集思想
(加法) (公约数) (减法) （0的认识）
2．对应思想。
是指人的思想对两个集合元素之间联系的把握。许多具体的数学思想来源于对应思想。对应思想主要体现在：数形结合思想、函数思想、变换的思想。
（1）数形结合的思想。在小学数学中的主要体现在：
a. 利用图形的“一一配对”来理解数学概念。
b. 利用“数”与“形”的对应，让学生理解数与式的概念。
c. 用“数轴”渗透数集与直线上的点集对应的思想。
d. 通过数形对应，分析应用题。
（2）函数思想。
a. 函数概念的渗透。
小学数学教材从低年段开始，如一个加数不变时，“和”随“另一个加数”变化而变化，也是找出其对应关系。正、反比例这部分内容更是集中渗透了函数概念。教师处理这部分教材时，应通过画图、列表等直观形式，画龙画晴地强调量的“变化”，突出“两种相关联的量”之间的对应关系。
b. 函数表示法的渗透。
小学数学中几何图形的周长，面积和体积公式，实际上就是用解析法来表示变量之间关系的函数关系式。如圆面积公式S=πr2，圆面积随着半径的变化而变化。
（3）变换思想。
在小学数学思考题中通过运算中的恒等变换，几何图形的平移、旋转、对称等变换渗透了变换思想。
3. 符号化思想。
符号化思想。最早发明符号的数学家是韦达。英国著名哲学家，数学家罗素说过：什么是数学？数学就是符号加逻辑。
用符号化的语言( 包括字母、数字、图形和各种特定的符号) 来描述数学的内容, 这就是符号思想方法。在数学中各种量的关系、量的变化以及量与量之间进行的推导和演算, 都是用小小的字母表示数, 以符号的浓缩形式来表达大量的信息, 把复杂的语言文字叙述用简洁明了的字母公式表示出来, 便于记忆, 便于运用, 正如华罗庚所说的“数学的特点是抽象, 正因为如此, 用符号表示就更具有广泛的应用性与优越性”。这种用符号来体现的数学语言
是世界性语言, 是一个人数学素养的综合反映。数学的符号化思想随着数学发展的需要逐步形成，而符号化思想的发展又成为数学发展的重要推动因素。由记数符号化开始，它逐步形成结构和谐的系统，它分为三个层次构成：
（1）基本符号的约定。
如表示图形符号Δ，⊙，□等，表示已知量和未知量的符号a,x 等。
又如在教学人教版课标教材第五册《搭配》一课时, 一位教师设计了这样一个环节, 在学生初步能够表示多种搭配方案后, 出示生活中的例子: 衣服搭配、早餐搭配、奖品搭配(本质上用符号来表示是相同的), 请学生选择其中的一幅图, 用自己喜欢的方式把搭配方案表示出来。学生反馈时, 如果是用文字等表示, 一看就知道学生表示哪幅图; 当一位学生用符号或数字来表示时, 教师提问: 你猜这位同学表示的是哪幅图? 引起了学生的思考, 也使学生了解了用符号表示的优点, 原来用符号可以表示这三幅图, 不仅如此, 还可以表示更多其他的搭配。
（2）组合符合的约定。
由若干基本符号的组合就构成组合符号。如“3×2”、“n ”！，如果组合符号再与“>”、“=”、“≠”表示关系的基本符号，按照一定规则相联接，就构成公式符号，如3×2=6；ab=ba等
（3）公式符号的约定。
数学语言所包含的信息量的大小，直接影响着数学思维的效率，符号化思想以浓缩的形式表达大量信息，大大简化了数学运算或推理的过程，加快的数学思维的速度。简洁、准确的符号化思想还排除了普通语言的含混性，使数学思维活动能够清晰，准确地进行，这对简化数学运算或推理过程具有重要意义。
（4）符号化思想是以下方式在小学教学中体现：
①小学数学教材中常用的数学符号。
a. 元素符号 b. 运算符合 c. 关系符号
d. 结合符号 e. 约定符号
②符号化思想在小学数学中渗透
a. 变化思想。
6-□>4 ；4×( )
b. 用字母表示数的思想。
如简易方程。
c. 列方程解应用题的思想。
主要体现在三个方面：代数设想，代数翻译解代数方程。
5. 化归思想。
数学研究中, 解决数学问题, 往往不是直接解决原问题, 而是将问题进行变换, 使其转化为一个或几个已经能够解决的问题, 这样的思想方法叫做化归思想方法。利用化归法转化而得到的新问题与原问题相比较, 应该为已解决的或较容易解决的问题。所以, 化归的方向应该是化隐为显、化繁为简、化难为易、化未知为已知。
6. 类比思想。
数学上的类比思想是指依据两类数学对象的相似性, 有可能将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象上去的思想, 它能够解决一些表面上看似复杂困难的问题。就迁移过程来分, 有些类比十分明显、直接, 比较简单, 如由加法交换律a+b=b+a 的学习迁移到乘法交换律a ×b=b×a 的学习; 而有些类比需建立在抽象分析的基础上才能实现, 比较复杂。
7. 分类思想。
数学中每一个概念都有其特有的本质特征, 它又是按照一定的规律扩展变化的, 它们之间都存在着质变到量变的关系。要正确认识这些概念, 就需要具体的概念依据、具体的标准、具体的分析, 这就是数学的分类思想方法, 即指按某种标准, 将研究的数学对象分成若干部分进行分析研究。一般我们分类时要求满足互斥、无遗漏、最简便的原则。如在教学分数意义时可让学生辨析提问: 一根小棒的1/2 与1/2 米哪个更长? 学生就要分类说明: 如果这根小棒比1 米短, 那么1/2 米长; 如果这根小棒正好1 米, 那么一样长; 如果这根小棒比1 米长, 那么1/2 米短。
8．统计思想。
统计的基本思想是：从局部观察资料的统计特征来推断整个系统的状态，或判某某一论断能以多大的概率来保证其正确性，或算出错误判断的概率。统计方法是由“局部到整体”、“由特殊上升到一般”的科学方法。
如“简单的统计”、“统计表”、“统计图”。
9．极限思想。
①从“数量”上看“无限多”如2的倍数有“无限多”个。
②从“图形”上看“无限延伸性”如角的两条边可无限延长。
③从“方法”上看“无限逼近”。如，1÷3=0.333„„
10. 模型化思想。
“数学模型”是针对或参照某种事物系统的特征或数量关系, 采用形式化的数学语言, 概括或近似地表达出来的数学结构。模型化思想就是针对要解决的问题, 构造相应的数学模型, 通过对数学模型的研究来解决实际问题的一种数学思想方法。 利用模型化思想解决实际问题, 一般分三个步骤:
(1) , 恰当构造数学模型。
(2) 在建立的数学模型上进行推理或运算, 求得解答。
(3)
以上三个步骤缺一不可, 其中构造数学模型是关键的一步。模型化思想的基本模式为: 因此, 模型化思想实质上是体现出一种化归方法: 现实问题 转化 数学问题 翻译 现实问题。
运用数学建模思想方法，主要是把现实世界中有待解决或未解决的问题, 从数学的角度发现问题、提出问题、理解问题, 通过转化过程, 归结为一类已经解决或较易解决的问题中去, 并综合运用所学的数学知识与技能求得解决的一种数学思想方法。如握手的次数（或打电话次数）、打乒乓球的次数问题可以通过建模成组合的问题等。 （二）小学数学中常用于解决问题的思想方法。
1某种转化过程，归结为一类已经解决或容易解决的问题。其实质就是对问题进行变形，促使矛盾转化。
例如：完全归纳法（数学归纳法）与不完全归纳法。
2条件进行推算，根据数量上出现矛盾，加在适当调整，最后找到正确答案的一种解题思想方法。如“鸡兔同笼”问题。
3．逆推法。采用与事情发生过程相反的顺序思考的解题方法做做逆推法。
4．列举筛选法。解某些数学题时，有时要根据题目的一部分条件，把可能的答案一一列举出来，然后根据另一部分条件检验，筛选出题目的答案。
5图等图形反映上来，使我们能借助图形进行分析、推理，寻找解题途径，这种方法叫图解法。
6．类比法。
“类比”是根据两个或两类事物有些属性相同，推测它们另一些属性也可能相同的推理。在解题中，根据题中所求问题与已知条件相类似的关系，利用类比推理，找类比模型，从而寻找解题途径的方法叫类比法。
7．小学数学中常用逻辑推理法。
1) 分析与综合法
分析法是从需证的结论出发，以一系列已知定义、定理为依据逐步逆溯，从而达到已知条件的推理方法。特别是应用题，几何证明题等。
综合法是从题设条件出发，以一系列已知定义、定理为依据，逐步推演出所需证明的结论的推理方法。
(2)归纳与演绎法
归纳与演绎是相互联系着的，归纳得出的结论，可以用演绎法去验证，演绎的前提是通过归纳得出的。
由特殊性前提引出一般性结论的推理叫做归纳推理。以归纳推理为主要内容的科学研究方法叫做归纳法。一般地，在小学数学课中，运算定律，基本性质，法则等都是运用不完全归纳让学生从头从一般原理到特殊事例的推理叫做演绎推理。以演绎推理的主要内容的科学研究方法叫演绎法。一般地，在小学数学教材中，当以归纳推理的形式得出运算定律，基本性质、法则、公式后，都再以演绎推理的形式进行计算。如三段论（由大前提、小前提、结论构成）
(3) 观察与实验法
(4)联想法
(5)猜想法
(6)对应法
三、在小学教学中应有效地渗透数学思想方法
1. 在确定教学目标、实施教学过程、落实教学效果中, 有意识地体现数学思想方法。 加强数学思想方法的教学, 首先要有意识地从教学目标的确定、教学过程的实施、教学
效果的落实等各个方面来体现, 使每节课的教学目标在基础知识与基本技能、基本的数学思想与方法和基本的数学活动经验的达到和谐统一的获得。因而在备课时就必须把数学思想方法的教学从钻研教材中加以挖掘。例如, 在备《工程问题》这一课时, 就要挖掘假设思想方法的教学目标, 要明确为什么可以把工程问题假设成为“1”; 在备《除数是小数的除法》这一课时, 就要挖掘化归思想方法的教学目标, 要明确如何把除数是小数除法转化成已经会的除数是整数除法等等。
2. 在掌握重点、突破难点中, 有意识地运用数学思想方法。
数学教学中的重点, 往往就是需要有意识地运用或揭示数学思想方法之处。数学教学中的难点, 往往与数学思想方法的更新交替、综合运用、跳跃性较大有关。因此, 突出重点、突破难点, 教师更要有意识地运用数学思想方法来指导和组织教学。如“圆的面积”教学, 重点是化归思想的渗透, 难点是极限思想的渗透。因此, 我们是这样设计的:
( 1) 能不能用数方格的方法推导圆面积计算?( 回忆长方形面积公式推导)
( 2) 能不能用几个相同圆拼成我们已学图形?( 三角形、梯形面积公式推导)
( 3) 能不能把圆剪拼割补成我们已学图形?( 平行四边形、三角形、梯形面积公式推导) 前两个问题学生异口同声: 不能! 而第三个问题一提出, 学生有的说行, 有的说不能, 教师就与学生做了一个小实验: 折纸剪纸—— 利用化直为圆( 与推导方法逆向) , 使学生看到直能变圆, 同时渗透极限思想, 接着问学生: 圆能不能剪拼成我们学过的图形? 学生都点头说:“能。”那么如何分比较好? 为什么? 一学生答:“平均分成16 份。”( 这位同学已预习过) 另一学生回答:“平均分得越多越好, 越多拼成的图形越像我们已学过图形。”
教师说实际上我们做不到分得多, 教师请四人小组为单位, 一人平均分4 份, 一人平均分8 份, 两人合作平均分16 份, 然后拼成已学图形。通过这样的过程, 学生有的拼成近似长方形, 有的拼成近似三角形、近似梯形等。然后让学生闭上眼睛想, 如果分的份数越来越多, 这条线将怎么样? 这个图形将怎么样? 再多呢? 再多呢?.. 无限多呢? 这样的教学虽然练习做得很少, 但学生对极限思想、化归思想领悟较深。因为“不管学生将来从事什么工作, 惟有深深铭刻于头脑中的数学观念、思维方法、研究方法以及使用数学的意识等能随时随地发生作用, 使他们终身受用”。
3. 在小结、复习中, 有意识地画龙点睛, 突出数学思想方法。
适时地对某种数学思想方法进行揭示概括和强化, 对它的名称、内容、规律、运用等有意识地进行点拨, 不仅可以使学生从数学思想方法的高度, 把握知识的本质和内在的规律, 而且可使学生逐步体会数学思想方法的精神实质。
4. 设计一些渗透数学思想方法的题目。
如一年级设计下题: 写出和是6 的加法算式, 比一比谁写得又多又好! 以此来渗透有序的数学思想方法; 二年级没有学过两位数乘法时, 要求学生计算: 99×2=?来渗透化归思想方法; 在各年级设计数学判断题来渗透假设思想方法, 如: 甲数的2/3 等于乙数的3/4, 那么甲数小于乙数对不对; 在填写表格中可以渗透一一对应思想等等。
5. 引导学生在反思中领悟数学思想方法。
数学思想方法的获得, 一方面要求教师有意识地渗透和训练, 但更多的是要靠学生自身在反思过程中领悟, 这一过程是没人能够代替的。如果说数学思想方法是可以传授的话, 那
教师肯定是把其中富有思考意义的东西机械化了, 这样就失去了它应有的价值。
在数学学习过程中, 要引导学生自觉地检查自己的思维活动, 反思自己是怎样发现和解决问题的, 运用了哪些基本的思考方法、技能和技巧, 走过哪些弯路, 有哪些容易发生( 或发生过) 的错误, 原因何在, 该记住哪些经验教训等。只有这样, 才能对数学思想方法有所认识, 由此对数学的理解一定会由量的积累发展到质的飞跃。
6. , 重点渗透数学思想方法。 在课外兴趣小组辅导时, 可以专门开设一讲《数学思想方法》, 重点渗透一些数学思想方法, 并向学生介绍数学史, 让学生了解数学发展过程。
通过学习数学史, 了解数学思想方法的来龙去脉, 能更深刻地体会数学思想方法在数学发展中的作用, 也为我们提供数学创造的经验和教训。
小学数学思想方法的内涵极为丰富, 在数学过程中，数学思想方法的渗透与形成是循环往复、螺旋上升的过程, 往往是几种数学思想方法交织在一起, 在教学过程中依据具体情况在一段时间内突出渗透与明确一种数学思想或方法, 效果将更好些。 四、在教学中渗透数学思想方法应注意的问题
渗透数学思想方法时要防止负面影响。如在渗透化归思想方法时, 如果我们在研究数学问题时一味地寻找旧的模式和解题经验, 容易阻碍新方法和新策略的产生, 对发展学生的数学创新意识产生消极影响。这如同“教育” 一样, 《学会生存》一书中指出, 教育具有培养创造精神和压抑创造精神的双重力量。也就是说, 好的教育能够充分施展培育创新的力量, 提升受教育者的创新素养, 而不当的教育可能构成对创新的打击与窒息。“化归”在数学理论研究以及数学教学中也是集保守与创新于一体。
这就需要我们在利用“化归”时注意它的“双重身份”, 切忌面对新的数学问题生搬硬套原来的解题模式、方法, 要灵活地运用这种思想方法。我们应该抑制它的保守性, 克服它的负面效应, 发扬它的创新精神, 展示它的优势。
五、教师研究与掌握小学数学思想方法的重要的意义
①有利于教师正确地把握教材体系。
小数教材体系包括两条主线：其一数学知识；其二，数学思想。教者只要看教材，就能明确前者；后者有掌握小学数学思想方法，才能明确为什么要这样写，才能从整体上、本质去理解教材，也才能科学地、灵活地设计教学方法，提高课堂教学效率。
②有利于培养学生思维能力。
严密的思维、灵活的思考，初步的分析综合、归纳、类比、抽象概括等能力，都应着力培养。
③有利于对小学生进行辩证唯物主义的启蒙。
如教圆的周长和面积，用“化曲为直”的“极限”思想指导教学。同时进行了“有限和无限”、“量变到质变”的辩证唯物主义思想的启蒙。
④有利于对学生进行美育的渗透.