《概率论与数理统计》
第一章随机事件及其概率
§1.1 随机事件
一、给出事件描述，要求用运算关系符表示事件： 二、给出事件运算关系符，要求判断其正确性：
§1.2 概率
古典概型公式：P （A ）=
A 所含样本点数Ω所含样本点数
实用中经常采用“排列组合”的方法计算
补例1：将n 个球随机地放到n 个盒中去，问每个盒子恰有1个球的概率是多少？解：设A ：“每个盒子恰有1个球”。求：P(A)=？
Ω所含样本点数：n ⋅n ⋅... ⋅n =n
Α所含样本点数：n ⋅(n -1) ⋅(n -2) ⋅... ⋅1=n ! ∴P (A ) =
n ! n
n
n
补例2：将3封信随机地放入4个信箱中，问信箱中信的封数的最大数分别为1、2、3的概率各是多少？
解：设A i ：“信箱中信的最大封数为i”。(i =1,2,3)求：P(Ai )=？
3
Ω所含样本点数：4⋅4⋅4=4=64
A 1所含样本点数：4⋅3⋅2=24
∴P (A 1) =
2464
=38
1
A 2所含样本点数： C 2
3⋅4⋅3=36
∴P (A 2) =
3664
=
916
A 3所含样本点数：C 3
3⋅4=4
∴P (A 13) =
464
=
16
注：由概率定义得出的几个性质： 1、0
§1.3 概率的加法法则
定理：设A 、B 是互不相容事件（AB=φ），则： P （A ∪B ）=P（A ）+P（B ） 推论1：设A 1、 A 2、…、 A n 互不相容，则 P(A1+A2+...+ An )= P(A1) + P(A2) +…+ P(An ) 推论2：设A 1、 A 2、…、 A n 构成完备事件组，则
P(A1+A2+...+ An )=1
推论3： P （A ）=1－P （A ）
推论4：若B ⊃A ，则P(B－A)= P(B)－P(A) 推论5（广义加法公式）：
对任意两个事件A 与B ，有P(A∪B)=P(A)+P(B)－P(A B)补充——对偶律：
A 1⋃A 2⋃... ⋃A n =A 1⋂A 2⋂... ⋂A n
2
A 1⋂A 2⋂... ⋂A n =A 1⋃A 2⋃... ⋃A n
§1.4 条件概率与乘法法则
条件概率公式：
P(A/B)=P (AB ) （P(B)≠0）
P (B )
P(B/A)=
P (AB ) P (A )
（P(A)≠0）
∴P （AB ）=P（A /B ）P （B ）= P（B / A）P （A ）
有时须与P （A+B）=P（A ）+P（B ）－P （AB ）中的P （AB ）联系解题。
全概率与逆概率公式：
全概率公式：
n
P (B ) =
逆概率公式：
∑P (A ) P (B /A )
i
i
i =1
P (A i /B ) =
P (A i B ) P (B )
(i =1, 2,..., n )
（注意全概率公式和逆概率公式的题型：将试验可看成分为两步做，如
果要求第二步某事件的概率，就用全概率公式；如果求在第二步某事件发生条件下第一步某事件的概率，就用逆概率公式。）
§1.5 独立试验概型
3
事件的独立性： A 与B 相互独立
⇔P (AB ) =P (A ) P (B )
贝努里公式（n 重贝努里试验概率计算公式）：课本P24
另两个解题中常用的结论——
1、定理：有四对事件：A 与B 、A 与B 、A 与B 、A 与B ，如果其中有一对相互独立，则其余三对也相互独立。
2、公式：P (A 1⋃A 2⋃... ⋃A n ) =1-P (A 1⋅A 2⋅... ⋅A n )
第二章 随机变量及其分布
一、关于离散型随机变量的分布问题
1、求分布列：⑴确定各种事件，记为ξ写成一行；
⑵计算各种事件概率，记为p k写成第二行。得到的表即为所求的分布列。注意：应符合性质——
1、p k ≥0（非负性） 2、∑p k =1（可加性和规范性）
k
补例1：将一颗骰子连掷2次，以ξ 表示两次所得结果之和，试写出ξ的概率分布。解：Ω所含样本点数：6×6=36
所求分布列为：
补例2：一袋中有5只乒乓球，编号1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以ξ表示取出3只球中最大号码，试写出ξ的概率分布。
4
解：Ω所含样本点数：C 5=10 所求分布列为：
3
2、求分布函数F(x)：
分布函数
F (x ) =P {ξ≤x }=
∑
x k ≤x
p k
二、关于连续型随机变量的分布问题：
∀
x
x ∈R ，如果随机变量ξ的分布函数F （x ）可写成F （x ）
=⎰-∞φ(x ) dx ，则ξ为连续型。φ(x ) 称概率密度函数。
解题中应该知道的几个关系式：
φ(x ) ≥0 ⎰-∞φ
+∞
(x ) dx =1
P {a ≤ξ≤b }=P {a
⎰φ(x ) dx
a
b
第三章 随机变量数字特征
一、求离散型随机变量ξ 的数学期望E ξ =？
数学期望（均值）
E ξ=
∑x
k
k
p k
5
二、设ξ 为随机变量，f(x)是普通实函数，则η=f(ξ) 也是随机变量，求E η=?
以上计算只要求这种离散型的。 补例1：设ξ的概率分布为：
2
求：⑴η=ξ-1，η=ξ的概率分布；⑵E η。
解：因为
所以，所求分布列为： 和：
6
当η=ξ－1时，E η=E（ξ－1）
=－2×+(－1) ×+0×+1×+×
5101010210 =1/4
当η=ξ时，E η=E ξ=1×+0×+1×+4×+
5101010
=27/8
三、求ξ 或η的方差D ξ =？ D η=？
22
实用公式D ξ=E ξ－E ξ
222
其中，E ξ=(E ξ) =(∑x k p k )
k
22
x E ξ =∑k p k
k
111333
221113254
×
310
补例2：
求：E ξ 和D ξ
解：E ξ=－2×0.4+0×0.3+2×0.3=－0.2
E ξ2=（－2）2×0.4+02×0.3+22×0.3=2.8 D ξ=E ξ2－E ξ=2.8－（－0.2）2=2.76
2
第四章 几种重要的分布
常用分布的均值与方差（同志们解题必备速查表）
．．．．．．．．．．
7
解题中经常需要运用的E ξ 和D ξ 的性质（同志们解题必备速查表） ．．．．．．．．．．
8
第八章 参数估计
§8.1 估计量的优劣标准（以下可作填空或选择） ⑴若总体参数θ的估计量为θˆ，如果对任给的ε>0，有
lim
P {ˆ-θ
n →∞
⑵如果满足E (θˆ) =θ，则称θ是θ的无偏估计；
⑶如果θˆ1和θˆ2均是θ的无偏估计，若D (θˆ1)
1、设总体分布含有一位置参数，若由样本算得的一个统计量
θˆ1(x 1，... ，x
n
ˆ
) 及θˆ2(x 1，... ，x
n
) ，对于给定的α（0
9
P {θˆ1(x 1，... ，x
n
)
n
)}=1-α
则称随机区间（θˆ1，θˆ2）是θ的100（1－α）％的置信区间，θˆ1和θˆ2称为θ的100（1－α）％的置信下、上限，百分数100（1－α）％称为置信度。
一、求总体期望（均值）E ξ 的置信区间 1、总体方差σ2已知的类型
①据α，得Φ0(U α) ＝1－，反查表（课本P260表）得临界值U α；
2
α
②x =
1n
n
∑
i =1
x i ③求d=U α⋅σ ④置信区间（x
n
x +d）-d ，
补简例：设总体X ~N (μ, 0. 09) 随机取4个样本其观测值为12.6，13.4，12.8，13.2，求总体均值μ的95%的置信区间。 解：①∵1－α=0.95，α=0.05
∴Φ（U α）=1－=0.975，反查表得：U α=1.96
2
α
②X
=
1
4
∑4
i =1
X i =
14
(12. 6+13. 4+12. 8+13. 2) =13
=0.29
③∵σ
=0.3，n=4 ∴d=U α⋅
σ
n
=1. 96⨯
0. 34
④所以，总体均值μ的α=0.05的置信区间为：
（X －d ，X ＋d ）=（13－0.29，13＋0.29）即（12.71，13.29） 2、总体方差σ未知的类型（这种类型十分重要！务必掌握！！） ①据α和自由度n －1（n 为样本容量），查表（课本P262表）得
t α(n -1) ；
2
10
②确定x =
1
n
i
x ∑n
i =1
和s =
s n
2
(x -x ∑n -1
i =1
1
n
i
)
2
③求d=t α(n -1) ⋅
④置信区间（x -d ，x +d）
注：无特别声明，一般可保留小数点后两位，下同。 二、求总体方差σ2的置信区间
①据α和自由度n －1（n 为样本数），查表得临界值： ②确定X =
1
n
i
χα(n -1)
2
2
2
和χ
21-
α2
(n -1)
2
x ∑n
i =1
2
和s =
(X ∑n -1
i =1
1
n
-x i )
2
(n -1) s
1-2
(n -1) s
2
③上限χ2(n -1) 下限χ2(n -1)
αα④置信区间（下限，上限） 典型例题：
补例1：课本P166之16 已知某种木材横纹抗压力的实验值服从正态分布，对10个试件作横纹抗压力试验得数据如下（单位：kg/cm2）: 482 493 457 471 510 446 435 418 394 469 试对该木材横纹抗压力的方差进行区间估计（α＝0.04）。 解：①∵α=0.04，又n=10，自由度n －1=9
χ(n -1) χ2(9) α∴查表得，=0. 02=19.7
2
2
χ
21-
α
2
(n -1) =χ2(9) =2.53 0. 98
11
②X =
2
∑10
i =1
2
1
10
x i
=
19
110
(482+493+... +469)
=457.5
s =
19
10
∑
i =1
(X -x i )
=[(457. 5-482) 2+(457. 5-493) 2+…+(457. 5-469) 2]
=1240.28
(n -1) s
2
2
③上限χ2(n -1) =2=
χ(9) α0. 981-
(n -1) s
2
2
9s
2
9⨯1240. 28
2. 53
=4412.06
下限χ2(n -1) =2=χ0. 02(9) α
9s
2
9⨯1240. 28
19. 7
=566.63
④所以，所求该批木材横纹抗压力的方差的置信区间为（566.63，4412.06）
第九章 假设检验
必须熟练掌握一个正态总体假设检验的执行标准 一般思路：
1、提出待检假设H 0 2、选择统计量
3、据检验水平α，确定临界值 4、计算统计量的值 5、作出判断
检验类型⑵：未知方差σ2，检验总体期望(均值) μ
①根据题设条件，提出H 0:μ= μ0(μ0已知) ； ②选择统计量T
=X -μs /
n
~t (n -1) ；
12
③据α和自由度n －1（n 为样本容量），查表（课本P262表）得t α(n -1) ；
④由样本值算出X ＝？和s ＝？从而得到T 0⑤作出判断
=
X -μs /
n
；
⎧⎪若T 0
⎨ 若T >t (n -1) ，则拒绝H ⎪0α0⎩
典型例题：
对一批新的某种液体的存贮罐进行耐裂试验，抽查5个，得到爆破压力的数据（公斤/寸2 ）为：545，545，530，550，545。根据经验爆破压认为是服从正态分布的，而过去该种液体存贮罐的平均爆破压力为549公斤/寸2 ，问这种新罐的爆破压与过去有无显著差异？（α=0.05） 解：H 0:μ= 549
选择统计量T =
X -μs /
n
~t (n -1)
∵α=0.05，n －1=4，∴查表得：t 0. 05(4) =2.776
又∵X =
s 2=
15
14
(545+... +545) =543
2
[(545-545) +... +(543-545) ]=57.5
2
∴0=
X -μs /
n
=
543-54957. 5/
5
=1.77
∴接受假设，即认为该批新罐得平均保爆破压与过去的无显著差异。
检验类型⑶：未知期望(均值) μ，检验总体方差σ2
①根据题设条件，提出H 0:σ= σ0(σ0已知) ；
13
②选择统计量χ
2
(n -1) =
(n -1) ⋅s
2
σ
2
；
③据α和自由度n －1（n 为样本容量），查表（课本P264表）得临界
值：χ
2
1-
α2
(n -1) 和χ
2
α2
(n -1) ；
2
④由样本值算出X ＝？和s ＝？从而得到χ0⑤若χ
2
1-
(n -1) =
(n -1) ⋅s
2
σ
2
；
α2
(n -1)
2
α2
(n -1) 则接受假设，否则拒绝!
补例：某厂生产铜丝的折断力在正常情况下服从正态分布，折断力方差σ2=64，今从一批产品中抽10根作折断力试验，试验结果（单位：公斤）：578，572，570，568，572，570，572，596，584，570。 是否可相信这批铜丝折断力的方差也是64？（α=0.05） 解： H 0:σ=64
选择统计量χ
2
(n -1) =
(n -1) ⋅s
2
σ
2
∵α=0.05，n －1=9，∴查表得：
χχ
2
1-
α2
(n -1) =χ
2
0. 975
(9) =2.7
2
α2
(n -1) =χ
2
0. 025
(9) =19
又∵X =
s 2=
110
(578+... +570)
=575.2
2
19
2
[(575. 2-578) +... +(575. 2-570) ]=75.73
2
∴χ0(n -1) =
9⨯75. 73
64
=10. 65
14
∴χ
2
0. 975
(9) =2.7
2
(n -1) =10. 65
2
0. 025
(9) =19
∴接受假设，即认为这批铜丝折断力的方差也是64。
15