2因式分解

第二讲 因式分解

因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用．是一种重要的基本技能．

因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等等．

因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．

一、公式法(立方和、立方差公式)

在第一讲里，我们已经学习了乘法公式中的立方和、立方差公式：

(ab)(a2abb2)a3b3 (立方和公式) (ab)(a2abb2)a3b3 (立方差公式)

由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，就得到：

a3b3(ab)(a2abb2) a3b3(ab)(a2abb2)

这就是说，两个数的立方和(差)，等于这两个数的和(差)乘以它们的平方和与它们积的差(和)． 运用这两个公式，可以把形式是立方和或立方差的多项式进行因式分解． 【例1】用立方和或立方差公式分解下列各多项式：

(1) 8x

3

3

(2) 0.12527b

3

3

3

3

分析： (1)中，82，(2)中0.1250.5,27b(3b)． 解：(1) 8x2x(2x)(42xx)

(2) 0.12527b0.5(3b)(0.53b)[0.50.53b(3b)]

3

3

3

2

2

3

3

3

2

(0.53b)(0.251.5b9b2)

33

3

说明：(1) 在运用立方和(差)公式分解因式时，经常要逆用幂的运算法则，如8ab(2ab)，这里逆用了法则(ab)ab；(2) 在运用立方和(差)公式分解因式时，一定要看准因式中各项的符号． 【例2】分解因式：

(1) 3ab81b

3

4

nnn

(2) aab

6

6

76

分析：(1) 中应先提取公因式再进一步分解；(2) 中提取公因式后，括号内出现ab，可

32

32

23

23

看着是(a)(b)或(a)(b)．

解：(1) 3a3b81b43b(a327b3)3b(a3b)(a23ab9b2)．

(2) a7ab6a(a6b6)a(a3b3)(a3b3)

a(ab)(a2abb2)(ab)(a2abb2)a(ab)(ab)(aabb)(aabb)

2

2

2

2

二、分组分解法

2．提取公因式法与分组分解法

例2 分解因式：

（1）x393x23x； （2）2x2xyy24x5y6． 解： （1）x393x23x=(x33x2)(3x9)=x2(x3)3(x3)

=(x3)(x23)． 或

x393x23x＝(x33x23x1)8＝(x1)38＝(x1)323

＝[(x1)2][(x1)2(x1)222] ＝(x3)(x23)．

（2）2x2xyy24x5y6=2x2(y4)xy25y6 =2x2(y4)x(y2)(y3)=(2xy2)(xy3)．

或

2x2xyy24x5y6=(2x2xyy2)(4x5y)6

=(2xy)(xy)(4x5y)6 =(2xy2)(xy3)．

从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式．而对于四项以上的多项式，如mambnanb既没有公式可用，也没有公因式可以提取．因此，可以先将多项式分组处理．这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键在于如何分组．

1．分组后能提取公因式

【例3】把2ax10ay5bybx分解因式．

分析：把多项式的四项按前两项与后两项分成两组，并使两组的项按x的降幂排列，然后从

两组分别提出公因式2a与b，这时另一个因式正好都是x5y，这样可以继续提取公因式．

解：2ax10ay5bybx2a(x5y)b(x5y)(x5y)(2ab)

说明：用分组分解法，一定要想想分组后能否继续完成因式分解，由此合理选择分组的方法．本题也可以将一、四项为一组，二、三项为一组，同学不妨一试．

【例4】把ab(cd)(ab)cd分解因式．

2

2

2

2

分析：按照原先分组方式，无公因式可提，需要把括号打开后重新分组，然后再分解因式． 解：ab(c2d2)(a2b2)cdabc2abd2a2cdb2cd

(abc2a2cd)(b2cdabd2)

ac(bcad)bd(bcad)(bcad)(acbd)

说明：由例3、例4可以看出，分组时运用了加法结合律，而为了合理分组，先运用了加法交换律，分组后，为了提公因式，又运用了分配律．由此可以看出运算律在因式分解中所起的作用．

2．分组后能直接运用公式

【例5】把x2y2axay分解因式．

分析：把第一、二项为一组，这两项虽然没有公因式，但可以运用平方差公式分解因式，其中一个因式是xy；把第三、四项作为另一组，在提出公因式a后，另一个因式也是xy.

解：x2y2axay(xy)(xy)a(xy)(xy)(xya)

【例6】把2x24xy2y28z2分解因式．

分析：先将系数2提出后，得到x22xyy24z2，其中前三项作为一组，它是一个完全

平方式，再和第四项形成平方差形式，可继续分解因式．

解：2x24xy2y28z22(x22xyy24z2)

2[(xy)2(2z)2]2(xy2z)(xy2z)

说明：从例5、例6可以看出：如果一个多项式的项分组后，各组都能直接运用公式或提取公因式进行分解，并且各组在分解后，它们之间又能运用公式或有公因式，那么这个多项式就可以分组分解法来分解因式．

三、十字相乘法

1．十字相乘法

例1 分解因式：

（1）x2－3x＋2； （2）x2＋4x－12； （3）x2(ab)xyaby2； （4）xy1xy．

解：（1）如图1．2－1，将二次项x2分解成图中的两个x的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x，就是x2－3x＋2中的一次项，所以，有

x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)．

1 x x 1 －1 －2 －ay －1

x

－2 1

－2

1

图1．2－3

6 x

－by

图1．2－1

图1．2－2 图1．2－4

说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．2－1中的两个x用1来表示（如图1．2－2所示）．

（2）由图1．2－3，得

x2＋4x－12＝(x－2)(x＋6)． （3）由图1．2－4，得

x2(ab)xyaby2＝(xay)(xby) （4）xy1xy＝xy＋(x－y)－1

＝(x－1) (y+1) （如图1．2－5所示）．

1．x2(pq)xpq型的因式分解

这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：

(1) 二次项系数是1；(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和．

x y

图1．2－5

－1 1

x2(pq)xpqx2pxqxpqx(xp)q(xp)(xp)(xq)

因此，x2(pq)xpq(xp)(xq)

运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式． 【例7】把下列各式因式分解：

(1) x7x6

2

(2) x13x36

2

解：(1)

6(1)(6),(1)(6)7

2

 x7x6[x(1)x][(6)x](2)

．(x1)( 6)

3649,4913

2

 x13x36x(4x)( 9)

说明：此例可以看出，常数项为正数时，应分解为两个同号因数，它们的符号与一次项系数

的符号相同． 【例8】把下列各式因式分解：

(1) x5x24

2

(2) x2x15

2

解：(1)

24(3)8,(3)85

2

 x5x24x[(3)x]( 8)x(x3)(8)

(2)

15(5)3,(5)32

3)x(x5)(

 x22x15x[(5)x](

3)

说明：此例可以看出，常数项为负数时，应分解为两个异号的因数，其中绝对值较大的因数

与一次项系数的符号相同． 【例9】把下列各式因式分解：

(1) x2xy6y2

(2) (x2x)28(x2x)12

分析：(1) 把x2xy6y2看成x的二次三项式，这时常数项是6y2，一次项系数是y，

把6y2分解成3y与2y的积，而3y(2y)y，正好是一次项系数．

2

(2) 由换元思想，只要把xx整体看作一个字母a，可不必写出，只当作分解二次三

2

项式a8a12．

解：(1) x2xy6y2x2yx62(x3y)(x2y)

(2) (x2x)28(x2x)12(x2x6)(x2x2)

(x3)(x2)(x2)(x1)

2

2．一般二次三项式axbxc型的因式分解

大家知道，(a1xc1)(a2xc2)a1a2x2(a1c2a2c1)xc1c2． 反过来，就得到：a1a2x2(a1c2a2c1)xc1c2(a1xc1)(a2xc2) 我们发现，二次项系数a分解成a1a2，常数项c分解成c1c2，把a1,a2,c1,c2写成

2

a1

a2c1

，这c2

里按斜线交叉相乘，再相加，就得到a1c2a2c1，如果它正好等于axbxc的一次项系数b，那么axbxc就可以分解成(a1xc1)(a2xc2)，其中a1,c1位于上一行，a2,c2位于下一行． 这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．

必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解． 【例10】把下列各式因式分解：

(1) 12x5x2

2

2

(2) 5x6xy8y

22

解：(1) 12x5x2(3x2)(4x1)

2

3

4



2 1

(2) 5x6xy8y(x2y)(5x4y)

22

1 2y54y



说明：用十字相乘法分解二次三项式很重要．当二次项系数不是1时较困难，具体分解时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法”凑”，看是否符合一次项系数，否则用加法”凑”，先”凑”绝对值，然后调整，添加正、负号．

四、其它因式分解的方法 1．配方法

【例11】分解因式x6x16

解：x26x16x22x3323216(x3)252

2

(x35)(x35)(x8)(x2)

说明：这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后将二次三项式化为两个平方式，然后用平方差公式分解．当然，本题还有其它方法，请大家试验．

2．拆、添项法

【例12】分解因式x3x4

3

2

分析：此多项式显然不能直接提取公因式或运用公式，分组也不易进行．细查式中无一次项，如果它能分解成几个因式的积，那么进行乘法运算时，必是把一次项系数合并为0了，可考虑通过添项或拆项解决．

解： x3x4(x1)(3x3)

3

2

3

2

(x1)(x2x1)3(x1)(x1)(x1)[(x2x1)3(x1)] (x1)(x24x4)(x1)(x2)2

说明：本解法把原常数4拆成1与3的和，将多项式分成两组，满足系数对应成比例，造成可以用公式法及提取公因式的条件．本题还可以将3x拆成x4y，将多项式分成两组

2

22

(x3x2)和4x24．

一般地，把一个多项式因式分解，可以按照下列步骤进行： (1) 如果多项式各项有公因式，那么先提取公因式；

(2) 如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解；

(3) 如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组或其它方法(如十字相乘法)来分解； (4) 分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止．

A 组

1．把下列各式分解因式：

(1) a27 (4) 

3

(2) 8m (5) 8xy

3

3

3

(3) 27x8 (6)

3

1313pq 864

1

12513313

xyc 21627

2．把下列各式分解因式：

(1) xy3x4

(2) xn3xny3 (4) y2(x22x)3y2

(3) a2(mn)3a2b3

3．把下列各式分解因式：

(1) x3x2 (4) x6x27

22

(2) x37x36

2

2

2

(3)x11x26

(6) (ab)211(ab)28

2

(5) m4mn5n

4．把下列各式分解因式：

(1) ax10ax16ax (2) a(4) x7x18

2

4

2

5

4

3

n2

an1b6anb2 (3) (x22x)29

2

(5) 6x7x3

2

(6) 8x226xy15y2

2

(7) 7(ab)5(ab)2 (8) (6x7x)25

5．把下列各式分解因式：

(1) 3ax3ayxyy

2

2

2

2

(2) 8x4x2x1 (3) 5x15x2xy6y

4

32

22

4

32

22

(4) 4a20ab25b36 (5) 4xy14xy (6) abababab

6

6

3

2

(7) xy2x1 (8) x(x1)y(xyx)

B 组

1．把下列各式分解因式：

(1) ab(cd)cd(ab) (3) x64 2．已知ab

4

3

2

2222

(2) x4mx8mn4n

(5) x4xy2xy8y

3

2

2

3

22

(4) x11x31x21

2

,ab2，求代数式a2b2a2b2ab2的值． 3

5

3

3．证明：当n为大于2的整数时，n5n4n能被120整除．

3223

4．已知abc0，求证：aacbcabcb0．

第二讲 因式分解答案

A组

1．(a3)(a23a9),(2m)(42mm2),(23x)(46x9x2),



11211(2pq)(4p22pqq2),(2xy)(4x2y2xy),(xy2c)(x2y22xyc4c2)645525216

2．x(xy)(y2xyx2),xn(xy)(x2xyy2),

a2(mnb)[(mn)2b(mn)b2],y2(x1)2(x44x33x22x1)

3．(x2)(x1),(x36)(x1),(x13)(x2),(x9)(x3) 4

(x9)(x3),(m5n)(mn),(ab4)(ab7)

．

ax3(x2)(x8),an(a3b)(a2b),(x3)(x1)(x22x3),(x3)(x3)(x22)

1)x,(2y

x)(4y15a),(b7

7a2b)(

x1),(x2

2

(2x3)(x31)x(35．x5)(675

(xy)(3ay),(2x1)2(2x1),(x3)(5x2y),(2a5b6)(2a5b6)

(12xy)(12xy),ab(ab)2(ab),(x31y3)(x31y3),x(xy)(xy1)．

B组

1．(bcad)(acbd),(x4m2n)(x2n),(x4x8)(x4x8), (x1)x(3)x(2．

2

2

7x),(2y2x)(．y 2)

28

3

5

3

3．n5n4n(n2)(n1)n(n1)(n2) 4．aacbcabcb(aabb)(abc)

3

2

2

3

2

2