第十五章《分式》教案
一、教学目标：
1、知识与技能：
①、使学生了解分式的概念，能求出分式有意义的条件。
②、使学生掌握分式的基本性质，并能熟练的运用基本性质进行分式的变形。 ③、使学生掌握分式的乘除、乘方法则既加减运算法则，会进行简单分式运算。 ④、掌握整数指数幂的概念及其性质并能熟练的运用其计算。
⑤、理解分式方程的概念、解分式方程的过程，会解决可化为一元一次方程的分式方程。
⑥培养学生观察、分析、比较的思维能力；培养学生的运算能力以及逻辑思维能力；提高学生分析问题和解决问题的能力。 2、过程与方法:
能将实际问题抽象出具体的数学模型，会分析题意，找出等量关系，列出分式方程解决简单的应用题。使学生通过分数与分式比较培养学生良好的类比联想的思维习惯和思想方法。
3、情感态度与价值观：
让学生体会到数学的应用价值。提高学生学习数学的兴趣，将数学很好的与生活联系起来。
二、教学重点：
使学生掌握分式的基本概念、基本性质、基本运算、分式方程的基本解法以及利用分式方程解决实际问题。
三、教学难点：
（1）熟练的运用基本性质进行分式变形。 （2） 在通分时正确的找出最简公分母。
（3）利用分式方程解决实际问题时正确的找出等量关系，建立数学模型。
四、教学策略：
1、重视分数与分式的联系，注意通过分数认识分式：
在学习本章前，我们已经学习了分数的概念、性质、约分、通分以及加减乘除和正整数指数幂，在此基础上学习分式，通过分数与分式的联系会使学生更容易理解，进而掌握这部分知识。
2、重视分式与实际的联系，体现数学建模思想：
我们学习数学就是为了更好的服务于生活，通过实际问题联系分式学习本章内容，能够更好的实现本章教学目标，激发学生思维的灵活性以及学习兴趣。 3、重视分式方程的特殊性，突出其解法的关键步骤：
解分式方程就是将分式方程转化为整式方程，与整式方程相比分式方程的特殊性是分母中含有未知数，因此分式方程与整式方程解法的区别是：
（1）解分式方程时去分母将分式方程转化为整式方程去分母时，分式方程的两边同乘一个含未知数的式子，这样可保证新方程与原方程同解。
（2）通过去分母得出的解必须经过检验，当这个解使得分式方程的分母不为零时，它才是分式方程的解。
五、教具准备：课件 电子白板 远程教育资源网 六、课时安排：本章教学时间约15课时
15.1 分式 --------------------------------------3课时
15.2 分式的运算 --------------------------------------6课时 15.3 分式方程 --------------------------------------3课时 数学活动 ---------------------------------------1课时 小结 ---------------------------------------2课时
15.1.1 从分数到分式
一．教学目标
1、知识与技能：
掌握分式概念，学会判别分式何时有意义，能用分式表示数量关系。 2、过程与方法：
经历分式概念的自我建构过程及用分式描述数量关系的过程，学会与人合作，并获得代数学习的一些常用方法：类比转化、合情推理、抽象概括等。 3、情感与态度：
通过丰富的数学活动，获得成功的经验，体验数学活动充满着探索和创造，体会分式的模型思想。 二．教学重点：分式的概念
三．教学难点：识别分式有无意义；用分式描述数量关系 四．教法与学法：
本节课主要采用“引导—发现教学法”，借助于计算机课件，通过“问题情境—建立模型—解释、应用与拓展”的模式展开教学。 五. 教具准备：课件 电子白板 远程教育资源网 六．教学程序：
（一）创设情境 引入新知： 1、课本127页引例：
①. 长方形的面积为10cm ², 长为7cm ，宽应为____cm;长方形的面积为S, 长为a, 宽应为______.
②. 把体积为200cm ³的水倒入底面积为33cm ²的圆柱形容器中，水面高度为____cm；把体积为V 的水倒入底面积为S 的圆柱形容器中，水面高度为______. 2、课本127页思考：
V S , 有什么特点？ 请大家观察式子 和 S a
60100
请大家观察式子 和 20 -u ，有什么特点？ 20+u
它们与分数有什么相同点和不同点？
【针对学生的发现，采用“议一议”的方式引导学生观察新式子的特征，类比分数，
合理联想，从而获得分式的概念及一般表示形式，可谓水到渠成。通过列举具体例子，互说判别过程，鼓励学生积极参与活动，在活动过程中强化分式概念，并及时纠正学生可能因分数负迁移所造成的认知障碍，注意辨析含有字母。】
（二）探索新知 培养能力
1、分式的概念：一般地，如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子叫做分式. 其中A 叫做分子，B 叫做分母(B≠0).
2的分母有什么条件限制？ 当B=0时，分式无意义. 当B ≠0时，分式.
B B
3. 当时分子和分母应满足什么条件？
当A=0且B ≠0时，分式 【学生在自主完成的基础上同桌交流，然后师生评述，使全体学生特别是学有困难的学生都能达到基本的学习目标，获得成功感。“你知道吗”采用组内合作然后组间抢答的形式开展活动，激发兴趣，加深学生对新知识的理解，强调分数线的括号作用，强化分母的整体意识，从而进一步改善学生原有的认知结构。】 4、学生练习：
①、指出下列代数式中，哪些是整式，哪些是分式？
x 2x +11x +1x 2a 2-2ab +b 2, , (a+b), , ,
23x 2πx a -b
（三）范例选讲 运用提高
例1：下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义？ x +y 1x 2 x -1x -y 5-3b 3x
例2：跟踪训练
x 2-4已知分式x+2
(1) 当x 为何值时，分式无意义? (2) 当x 为何值时，分式有意义?
x -1的值为零. 例3：当 时，分式 x +1
【关于分式概念的理解，应注意以下几点：（1）只有B 中含有字母，式子才是分式，若分母中只含有数而不含字母，则为整式；（2）因为除数为0没有意义，随意必须强调分母B 不为0，即当B=0时，分式无意义；（3）分式是两个整式相除的商，分数线具有括号作用；（4）分子A 可以是数，也可以是字母，还可以是多项式，总之可以是任何整式。】 （四）应用迁移，巩固提高
+3有意义，则（ ） 1. 若分式：x x -2
s s
与的本质区别，强调分式的分母中必须300t
A ．x ≠2 B．x ≠-3 C．x ≠-3或x ≠2 D．无法确定 2. 下列式子是分式的是（ ）
x x x x A 、、 C、、+y 2x +1π2
x 3. 使分式 有意义，则x 的取值范围是（ ）
2x -1
1111
x >x ≠C. D.
22224. 若 的值为零，则x ＝
【课堂中通过练习学生自评、互评，可以使学生全面地了解自己的学习过程，感受自己的成长与进步，这不仅有利于培养学生的自信心，也为教师全面了解学生的学习状况、改进教学、实施因材施教提供了重要依据。】 （五）课堂小结，归纳提高
通过本课时的学习，需要我们
1. 知道分式的概念，会辨别分式与整式. 2. 会求分式有意义时字母的取值范围. 3. 会求分式值为零时的字母的取值. （六）布置作业：
1、课本133页2、3、8、13题 2、长江作业
x ≥x ≤A.
15.1.2 分式的基本性质（1）
一．教学目标
1、知识与技能：
①、理解分式的基本性质。
②、了解运用分式的基本性质进行分式的变形。 2、过程与方法：
通过类比分数的基本性质，探索分式的基本性质，初步掌握类比的思想方法。通过探索分式的基本性质，积累数学活动经验。 3、情感与态度：
通过研究解决问题的过程，培养学生合作交流意识与探究精神。 二．教学重点：理解分式的基本性质。
三．教学难点：运用分式的基本性质进行分式化简。 四．教法与学法：
课堂教学采用了“问题—观察—思考—提高”的步骤，使学生初步体验到数学是一个充满着观察、思考、归纳、类比和猜测的探索过程。 五. 教具准备：课件 电子白板 远程教育资源网 六．教学程序：
（一）创设情境 引入新知：
1、复习巩固 温故知新
①、下列两式成立吗？为什么？
5c 533c == (c≠0) (c≠0) ；
6c 64c 4
a a ·c a a ÷c =(c≠0) =(c≠0) ②、分数的基本性质是什么？
【通过具体例子，引导学生回忆前面学段学国的分数通分、约分的依据——分数的基本性质，再用类比的方法得出分式的基本性质。在这个活动中，首先激活了学生原有的知识，体现了学生的学习是在原有知识上自我生成的过程。】 （二）探索新知 培养能力
b b ·c b b ÷c
n a 1n
1、你认为分式“”与“”；分式“”与“”相等吗？（a 、m 、n 均不
2a 2m m n
为零）
2、类比分数的基本性质，你能得到分式的基本性质吗？说说看！
分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于０的整式，分式的值不变。
用式子表示为：
2
A A ∙C A A ÷C =, =.(C ≠0) B B ∙C B B ÷C
（三）范例选讲 运用提高
例1、怎样从左边得到右边的等式？
2b 2ab 4ab
(1) 2=223ac 3a c
(2)
6b a -1)
=
2a
3(a -1)
(3)
(a -1) a +1) (a +1)
=
ab a -1) ab
例2 填空：
x 2()
xy y
1( ) 2a -b ( ) ( 2 ) ==
ab a 2b a 2a 2b
【观察分子分母如何变化】
x
例3 若把分式中的x 和y 都扩大两倍, 则分式的值( )
x +y
A. 扩大两倍 B.不变 C.缩小两倍 D.缩小四倍
【让学生研究每一题的特点，紧扣“性质”进行分析，以期达到理解并掌握性质的目的。鼓励学生勇于探索、实践，灵活运用分式基本性质进行分式的恒等变形。】 （四）应用迁移，巩固提高
1. 填空: y +21
(1) =
3x 2+3xy x +y
=6x 2( )
[]2x (2)
=
.
2、下列分式的右边是怎样从左边得到的？
3 x a ac (2)(1)=(c≠0);
2b
3. 若把分式 中的x 和y 都扩大3倍, 那么分式 的值( )
x +y
A. 扩大3倍 B.扩大9倍 C.扩大4倍 D.不变 4. 不改变分式的值，使下列分子与分母都不含“-”号
xy
2bc
x 2
=x ≠0）. xy y
-5b (1) -6a
(2)
x -3y
(3)
-3b a
(4)-
-2m
. n
【在活动中教师要关注：学生能否紧扣“性质”进行分析思考；学生能否逐步领会分式的恒等变形依据。】
（五）课堂小结，归纳提高
通过本课时的学习，需要我们
1. 掌握分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以) 同一个不等于0的整式 ，分式的值不变.
2. 能利用分式的基本性质对分式进行恒等变形.
3. 在对分式进行变形时要注意乘（或除以) 的整式是同一个并且不等于0. （六）布置作业
1、课本133页4、5、12题 2、长江作业
15.1.2 分式的基本性质（2）
一．教学目标
1、知识与技能：
①、使学生明确分式的约分和通分概念和理论依据，掌握约分和通分的方。 ②、通过与分数的约分和通分作比较，学习分式的约分和通分，渗透“类比”的思想方法。 2、过程与方法：
①. 让学生通过回忆分数的约分和通分，类比探索分式约分和通分的方法； ②. 经历分式约分与通分的实际操作过程，感悟分式基本性质是分式约分与通分的依据，体会约分时的公因式与通分时的最简公分母的寻找策略． 3、情感与态度：
通过研究解决问题的过程，培养学生合作交流意识与探究精神。
二．教学重点：1. 分式约分和通分的方法． 2. 确定最简公分母。
三．教学难点：1. 分式约分时分式的分子或分母中的因式的符号变化及找出公因式．
2. 分母是多项式的分式的通分及确定公分母。
四. 教具准备：课件 电子白板 远程教育资源网 五．教学程序：
（一）创设情境 引入新知： 1、复习提问：
①. 分式的基本性质：一个分式的分子与分母___________（或除以）一个 的整式，分式的值不变。 用字母表示为： ②. 分式的符号法则：
-a -a a
（1=？（2==？ -b b -b 【偶数个为“正”；奇数个为“负”；】 2、探索问题：
①. 观察下列式子，到底是多少呢？
224x x y （1（3
（222
8a x 2-2x 2x y z
（二）探索新知 培养能力 探究：问题1：下面的等式中右式是怎样从左式得到的？这种变换的根据是什么？
【 问题1；这种变换的根据是分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变．】
【问题2：这种运算是分数的约分，运算的依据是分数的基本性质．分数的约分是把一个分数化为与它相等，但是分子、分母都比较小的分数．对于一个分数进行约分的方法是：把分子、分母都除以它们的公约数（1除外）．约分的目的是把一个分数化为既约分数．分式的约分和分数的约分类似，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．
【问题3分数通分的依据是分数的基本性质．分数的通分是把几个异分母的分数分别化为与原来的分数相等的同分母的分数．分数通分的关键是确定最简公分母．类似地，把几个异分母的分式分别化成与原来分式相等的同分母的分式，叫分式的通分．分式通分的依据是分式的基本性质．分数通分的关键是确定最简公分母．】 结论：
1、把一个分式的分子和分母的公因式约去, 不改变分式的值，这种变形叫做分式的约分.
2、分子和分母没有公因式的分式称为最简分式
3、把几个异分母的分式分别化成与原来分式相等的同分母的分式，叫分式的通分． （三）范例选讲 运用提高
问题1：如何找分子分母的公因式？
-25a 2bc 3(1 ) 15ab 2c
问题2：化简或求值：
6x 2-12xy +6y 2(3)
3x
-3y a 2-9 (2) 2
a -6a +9 a =-5
2b 23
(3)()
-3cd x 2-5x x -9x -3(4) 2÷⋅
x -6x +92x -6x +9
3a -b (2) 22
2a b ab c 2c 3ac 2 bd 4b
问题3：练找习：最简公分母
3b (1) 22a 3ac
(1) 问题3：通分：
(3)
23x
x (x -5) x +5
(2)
【(1)分式的约分：当分子与分母都是单项式时，公因式是系数的最大公约数与相同字母的最低次幂的乘积；当分子与分母都是单项式时，公因式是系数的最大公约数与相同字母的最低次幂的乘积．约分后为最简分式或整式．(2)分式通分的关键是确定最简公分母．几个分式的最简公分母，通常取各分母系数的最小公倍数与所有因式的最高次幂的积】 （四）课堂小结，归纳提高
1、把各分式化成相同分母的分式叫做分式的通分. 2、最简公分母：（1）系数：最小公倍数 （2）字母：相同字母取高最次幂 3、把一个分式的分子和分母的公因式约去, 不改变分式的值，这种变形叫做分式的约分。 4. 约分的依据是：分式的性质（除法）
5. 约分的基本方法是：(1)先因式分解，找出公因式；(2)约去公因式，化为最简分式； （五）布置作业
1、课本133页6、7、9、11题 2、长江作业
2xy x
(x +y ) 2x 2-y 2
15.2.1 分式的乘除（1）
一．教学目标
1、知识与技能：
①、通过类比分数的乘、除运算，探索出分式的乘、除运算法则，并理解其算理。 ②、理解并掌握分式的乘除运算法则，并会运用法则进行分式的乘除运算。 2、过程与方法：
通过分式乘、除运算法则的探索，感受类比的思想方法；通过运用分式的乘除法解决实际问题，体会数学与实际生活的紧密联系. 3、情感与态度：
通过对分式乘、除及混合运算法则合理性的验证，进一步培养学生" 猜想需要验证" 的数学素养和以理服人的良好个性品质． 二．教学重点：分式的乘除法法则的探索及其应用。 三．教学难点：分子、分母为多项式的分式乘除运算。 四. 教具准备：课件 电子白板 远程教育资源网 五．教学程序：
（一）创设情境 引入新课
问题1 ： 一个长方体容器的容积为V, 底面的长为a, 宽为b, 当容器内的水占容积的 时, 水高多少？
问题2 ： 大拖拉机m 天耕地a 公顷, 小拖拉机n 天耕地 b公顷, 大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍?
【大拖拉机的工作效率是 公顷/天, 小拖拉机的工作效率是 公顷/天, 大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的( )倍. 】 （二）探索新知 培养能力
1、分式的乘除法则： 242⨯4525⨯224252⨯5
(1 ) ⨯= (2 ) ⨯ = (3 ) ÷ =⨯=
35 3⨯5797⨯935343⨯4
（1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的
分母. 用符号语言表达： a ⨯c =ac
b d bd
（2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.
a c a d ad
用符号语言表达： ÷=⨯=
b d b c bc
【用类比的方法总结出分式的乘除法的法则】 （三）范例选讲 运用提高
4x y ab 3-5a 2b 2
例1 计算： 1⋅；（2÷．
3y 2x 32c 24cd
【小结：分子和分母都是单项式的分式乘除法的解题步骤是：
①含有分式除法运算时，先用分式除法法则把分式除法运算变成分式乘法运算； ②再用分式乘法法则得出积的分式；
③用分式符号法则确定积的符号；
④用分式约分法则使积化成最简分式或整式(一般为单项式) ．】
a 2-4a +4a -1
例2：计算：（1） ⋅2. 2
a -2a +1a -4
11
÷（2）
49-m 2m 2-7m
【小结：分子或分母是多项式的分式乘除法的解题步骤是：
①将原分式中含同一字母的各多项式按降幂(或升幂) 排列；在乘除过程中遇到整式则
视其为分母为1，分子为这个整式的分式； ②把各分式中分子或分母里的多项式分解因式； ③应用分式乘除法法则进行运算得到积的分式；
④应用分式约分法则使积化成最简分式或整式】 例3：“丰收1号”小麦的试验田是边长为a m （a ＞1）的正方形去掉一个边长为1 m 的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为（a －1） m 的正方形，两块试验田的小麦都收获了500kg. （1）哪种小麦的单位面积产量高？
（2）高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？
（四）应用迁移，巩固提高
例1、下面的计算对吗？如果不对，应该怎样改正？
-x 6b 3b 4x a 2 (1) ∙2=(2) ÷=
2b x x 3a 2x 3
2x 3x .
÷⋅例2、计算： :
5x -325x 2-95x +3
【先分析：本题是分子或分母为多项式的分式乘除法混合运算，运算过程从左至右依次进行；因此，分式乘除法法则也适用于两个以上的分式相乘除．然后让学生自己做，教师巡视，并找出得出正、反两个结果的学生上台板书，让大家判断正误】 （五）课堂小结，归纳提高
（1）分式的乘法法则和除法法则
（2）分子或分母是多项式的分式乘除法的解题步骤是：
①将原分式中含同一字母的各多项式按降幂(或升幂) 排列；在乘除过程中遇到整式则视其为分母为1，分子为这个整式的分式； ②把各分式中分子或分母里的多项式分解因式；
③应用分式乘除法法则进行运算；(注意:结果为最简分式或整式)
（六）布置作业
1、课本146页1、2题 2、长江作业
15.2.1 分式的乘除（2）
一、教学目标
1、知识与技能：
理解分式乘方的运算法则，熟练地进行分式乘方的运算. 2、过程与方法：
经历探索分式乘方运算法则的过程，培养学生能灵活应用分式的乘除法法则进行分式的乘除乘方混合运算。 3、情感与态度：
通过学习课堂知识使学生懂得任何事物之间是相互联系的，理论来源于实践，服务于实践。
二、教学重点：熟练地进行分式乘方的运算。
三、教学难点：熟练地进行分式乘、除、乘方的混合运算。 四、教具准备：课件 电子白板 远程教育资源网 五、教学程序：
（一）创设情境 引入新课
2m 2n 5p 2q 5mnp
（⋅÷；1、计算： 1
3q 3pq 24mn 2
2
m 2-n 2（n -m ）m +n
（2⋅÷； 2
m （m -n ）m 2n 2
16-a 2a -4a -2
（32÷⋅． 2a +8a +2a +8a +16
2、幂的乘方运算法则是什么？
3、分数混合运算的顺序.
①：先乘除，再加减；
②：有乘方的最先算乘方，再算乘除，最后算加减。
（二）探索新知 培养能力
1、探究分式的乘方法则：
a 2
（）=？ （
a 3a 10
）=？ （）=？
b b b
n
⎛a ⎫a a n 观察、思考、猜想：n 为正整数时； ⎪= （）=n . ⎝b ⎭b b
n
写你能出推导过程吗？试试看．
你能用文字语言叙述得到的结论吗？
分式的乘方法则：一般地，当n 是正整数时 这就是说，分式乘方要把分子、分母分别乘方． 2、知识运用：
2 a 2b 32a c 2⎛-2a 2b ⎫
（）÷⋅（）. 例1计算： (1) 3 3c ⎪⎪（2）-cd 32a d ⎝⎭
（三）课堂练习 运用提高
-2x 4y 23
1、计算： （）（1）；
3z
34
2ab 6a -3c 32 （2）（2）÷3⋅（2）．-c d b b
16-a 2a -4a -22m 2n 5p 2q 5mnp
÷⋅⋅÷2222、练习 a +8a +162a +8a +23pq 4mn 3q
3
3、计算 （1（）-6x 3y 4）÷（-2xy ）；(2)5x 4y 2-x 2y 4+3x 2y 2÷-4x 2y 2.
11x (-) ÷, 4、先化简x -1x +12x 2-2然后从-1，1，2中选取一个数作为x 的值代入
求值.
5、一条船往返于水路相距100 km 的A,B 两地之间，已知水流的速度是每小时2 km ，船在静水中的速度是每小时x km （x>2），那么船在往返一次过程中，顺流航行的时间与逆流航行的时间比是______.
（四）课堂小结，归纳提高
1. 理解并掌握分式乘除法的法则，会进行分式乘除运算.
2. 理解并掌握分式乘方的运算法则，熟练地进行分式乘方的运算. 3. 熟练地进行分式乘、除、乘方的混合运算. 4. 能解决一些与分式乘除法有关的实际问题. （五）布置作业
1、课本146页第3、10题 2、长江作业
()()
15.2.2 分式的加减（1）
一、教学目标
1、知识与技能：
①、能运用分式加减运算的法则正确地进行运算。
②、明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算. 2、过程与方法：
①让学生经历探索分式加减运算法则的推导过程；
②通过数学建模，让学生体会分式知识与实际生活的紧密联系。 3、情感与态度：
①能用类比的方法得出同分母分式加减运算的法则； ②能用化归的方法得出异分母分式加减运算的法则；
③通过合作探究，设疑，激发学生学习数学的兴趣，重视学习过程中对学生观察﹑思考﹑归纳﹑概括﹑描述﹑交流等能力的培养。
二、教学重点：探究分式加减运算的法则并能运用法则进行正确的运算。 三、教学难点：异分母分式加减运算法则的探究及运用。 四、教具准备：课件 电子白板 远程教育资源网 五、教学程序：
（一）创设情境 引入新课 问题1：甲工程队完成一项工程需n 天, 乙工程队要比甲工程队多用3天才能完成这项
工程, 两队共同工作一天完成这项工程的几分之几? 分析：甲工程队一天完成这项工程的____,
乙工程队一天完成这项工程的_______ ,
两队共同工作一天完成这项工程的 ____________.
问题2：2010年,2011年,2012年某地的森林面积(单位：公顷) 分别是S1，S2，S3，
2012年与2011年相比, 森林面积增长率提高了多少? 分析：2012年的森林面积增长率是___________,
2011年的森林面积增长率是__________,
2012年与2011年相比, 森林面积增长率提高了___________
问题3:课本P 140思考探究【参课本】
提问：1、同分母分数加减法的法则如何叙述？
2、猜一猜, 同分母的分式应该如何加减?
（二）探索新知 培养能力
1、同分母的分数加减法的法则：同分母的分数相加减，分母不变, 把分子相加减. 2、同分母的分式加减法的法则：同分母分式相加减，分母不变, 把分子相加减. a b a ±b
±=. c c c
3、练习： 222
5x +3y 2x 5a b +33a b -58+a b ①、P 140例6 计算： --. -. 2222222
ab ab ab x -y x -y
②、跟踪训练：【参课件】
4、异分母的分数如何加减？
①、异分母的分数加减法的法则：先通分，变为同分母的分数，再加减. ②、异分母的分式加减法的法则：先通分，变为同分母的分式，再加减。
a c ad bc ad ±bc
±=. 符号表示： ±=
b d bd bd bd
（三）课堂练习 运用提高
1a -1. 计算的 结果为 a -1a -1
2、阅读下面题目的计算过程.
2(x -1)x -32x -3
① -=-2
x -11+x x +1x -1x +1x -1
= ②
= ③
-x -1= ④
（1）上述计算过程，从哪一步开始错误，请写出该步的代号_______； （2）错误原因___________；
（3）本题的正确结果为： .
a 2-b 22ab+b23. 先化简： 当b=-1时，再从-2
÷(a+),
a 2-ab a 适的整数a 代入求值.
【加深学生对异分母分式加减运算法则的理解和运用。引导学生突破对分母是多项式的异分母分式加减运算的难点，归纳运算步骤。】 （四）课堂小结，归纳提高
1. 学习了分式的加减法法则.
同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母分式相加减，先通分，变
为同分母的分式，再加减.
２. 注意的几点：
（１）异分母分式相加减，关键是先要找准最简公分 母转化为同分母分式相加减； （２）如果分子是多项式，在进行减法时要先把分子用括号括起来； （３）加减运算完成后，能化简的要化简，最后结果化成最简分式. （五）布置作业
1、课本146页第4、5题 2、长江作业
x -3-2(x -1)
x -3-2x +2
15.2.2 分式的加减（2）
一、教学目标
1、知识与技能：
①、能熟练地进行同分母，异分母分式的加减运算；培养学生分式运算的能力。 ②、会进行简单的分式四则混合运算。能灵活运用运算律简便运算。 ③、渗透类比、化归数学思想方法，培养学生的数学思想。 2、过程与方法：
①经历异分母分式的加减运算和通分的过程，训练学生的分式运算能力。 ②培养数学学习中转化未知问题为已知问题的能力。 3、情感与态度：
①在学生已有数学经验的基础上，探求新知，从而获得成功的快乐。 ②进一步培养学生严谨的治学态度，实事求是的精 二、教学重点：灵活运用分式四则混合运算。 三、教学难点：分式四则混合运算综合运用。
四、教具准备：课件 电子白板 远程教育资源网 五、教学程序：
（一）创设情境 引入新课
1. 分式的加减法则： a c a ±c a c ad bc ad ±bc
b
±
b
=
b b
±
d
=
±=
bd bd
bd
2. 分式的乘除运算法则：
a c a c =b d b d
a c a d a d
÷==b d b c b c
3、计算：
（二）探索新知 培养能力
x y +
x +y x +y (2)3x +x +y -7y x -4y 4y -x x -4y (3)23-2x -1x -2x x -4x +41222(4) 2++
m -93-m 3+m
2b 2
(5) a -b +
a +b x 2
(6) -x -1x -1
(1)
1、课本例题：
2·-÷例7 计算: （b ）a -b b 4
2a 1a b
例8 计算：
(1)(m +2+(2)(
52m -4
) ∙2-m 3-m
x +2x -1x -4-) ÷x -2x x -4x +4x
【引导学生分析运算顺序，合作交流解法。代表板演，积极探求简便解法。】 2、跟踪训练
b 2a (a -) ∙①化简的结果是（ ） b a -b
1
D.
a -b
1a +
b
②用两种方法计算： 3x x x 2-4
(-) . x -2x +2x
【引导学生分析运算顺序，合作交流解法。积极探求简便解法。】
（三）课堂练习 运用提高
x 2-42-x x (2+) ÷, 其结果是( ) 2. 化简x -4x+4x+2x -2
8888--
x+2x -2x -2x+2
1 (1-) ÷a 3、化简
a +1x y
-）4、已知：x2-4x+4与|y-1|互为相反数，则式子（÷（x+y）的值等于_______. y x
1x 2-2x +1(1-) ÷5、先化简，再求值其中 x =2x x 2-1
6. 已知： A=
12x ,B=2,C=, x-2x -4x+2
将它们组合成（A-B ）÷C 或A-B ÷C 的形式，请你从中任选一种进行计算，先化简，再求值, 其中x=3.
（四）课堂小结，归纳提高
1. 分式的混合运算运算顺序：
（1）先乘方，再乘除，然后加减. 如果有括号，先算括号里面的. （2）分式的加减、乘除都是分式的同级运算，同级运算是按从左往右的顺序运算.
2、进行分式混合运算时注意： （1）正确运用运算法则；（2）灵活运用运算律； （3）运算结果要化简，使结果为最简分式或整式. （五）布置作业
1、课本146页第6题 2、长江作业
15.2 分式的混合运算
一、教学目标
1、知识与技能：
利用法则正确进行分式的加减、乘除、乘方运算；掌握运算顺序，进行分式的四
则混合运算.
2、过程与方法：
在学生掌握基本概念、基本方法的基本上将知识融会贯通，通过反思、反馈、的方法进一步提高运算能力。培养学生的分析和归纳能力。 3、情感与态度：
培养学生对知识综合掌握、综合运用的能力，提高学生的运算能力，培养学生乐于探究、合作学习的习惯，培养学生努力寻找解决问题的进取。 二、教学重点：熟练而准确地掌握分式四则混合运算。
三、教学难点：掌握运算顺序，熟练进行分式的四则混合运算. 四、教具准备：课件 电子白板 远程教育资源网 五、教学程序：
（一）创设情境 引入新课
计算:
2a
21a b
（二）探索新知 培养能力
1、通过上题探究归纳： 分式混合运算的法则：
(1)先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的。 (2)同级运算，按运算顺序进行。 (3)将结果化为最简分式或整式。 2、知识运用： 211111⎫x 2-x +1⎛(2) [-]÷(-) (1) 1- x -⎪÷222
(a+b) (a-b) a +b a -b 1-x ⎭x -2x +1⎝
a +ab -2a b a -b （3）先化简，再求值： b ⋅÷,
a -b b 3ab +b 2
2
a =, b =-3
3
32222
(4)
（三）课堂小结，归纳提高
谈谈本节课的收获？
(1)分式的混合运算注意运算顺序； (2)计算结果要化简。
（四）课堂练习 运用提高
1x +3 x 2-2x +11. -⋅
x +1x 2- 1x 2+4x +3
⎛x +2 x -1⎫÷x -42. 2-2⎪
x ⎝x -2x x -4x +4⎭
⎫⎛⎛4xy 4xy ⎫
⎪ ⎪3. x -y ＋x +y - ⎪ ⎪x -y x +y ⎝⎭⎝⎭
x y 2x 4y x 2
4. ⋅-÷x -y x +y x 4-y 4x 2+y 2
2
a +2⎛3a ⎫⎛11⎫
6. ⋅ -⎪- ⎪
3a ⎝a +2⎭⎝a -2a +2⎭
（五）布置作业 长江作业
2a 1a b
5. () 2⋅-÷
b a -b b 4
15.2.3 整数指数幂
一、教学目标
1、知识与技能：
理解负整数指数幂的性质，正确熟练地运用整数指数幂公式进行计算． 2、过程与方法：
通过幂指数扩展到全体整数，培养学生抽象的数学思维能力，运用公式进行计算， 培养学生综合解题的能力和计算能力． 3、情感与态度：
在数学公式中渗透公式的简洁美、和谐美，随着学习的知识范围的扩展，产生对新知识的渴望与追求的积极情感，让学生形成辩证统一的哲学观和世界观． 二、教学重点：理解负整数指数幂的性质，会应用性质进行计算。 三、教学难点：理解负整数指数幂公式中字母的取值范 四、教具准备：课件 电子白板 远程教育资源网 五、教学程序：
（一）创设情境 引入新课
1、复习知识：正整数指数幂有哪些运算性质?
m n m+n
（1）a ·a=a ( m、n 为正整数)
m n mn
（2）(a) =a( m、n 为正整数)
n n n
（3）(ab)=ab ( m、n 为正整数)
m n m-n
（4）a ÷a =a (a≠0 m、n 为正整数且m>n) a n a n
() =n （ b≠0 ，n 是正整数 （5）b b 0
(6) 当a ≠0时，a =1。（0指数幂的运算） 2、探究问题; m m
a 中指数m 可以使负数吗？如果可以，那么负整数指数幂a 表示什么？ （二）探索新知 培养能力
1、探究新知： 由分式的约分可知，当a ≠0时
a 3a 335
a ÷a ==a ∙a =a a
m n m-n
另一方面，如果把正整数指数幂的运算性质a ÷a =a (a≠0 m、n 为正整
35
数m>n)中的条件m ＞n 去掉，即假设这个性质对于像a ÷a 的情形也能使用， 则有，
3535-2a ÷a =a-=a
a -2=(a ≠0) 由上述两式，我们想到如果规定5
3
就能使 am÷an=am-n这一性质也适用于 a÷a 这样的情形 2、负指数的意义： 1
a -n =n (a ≠0)
一般地，当n 时正整数时： a
－n n
这就是说：a （a ≠0) 是a 的倒数。
3、引入负整数指数和0指数后，am·an=am+n ( m、n 为正整数) ，这条性质能否推广到m 、n 是任意整数的情形？ 4、探索整数指数幂的性质
问题：能否将整数指数幂的5条性质进行适当合并？
根据整数指数幂的运算性质，当m ，n 为整数时， a m ÷a n =a m -n
（-n ）m -n
a m a -n =a m +=a ， 因此， a m ÷a n =a m -n
m -n 可以转化 a m ÷a n 即同底数幂的除法 a a
m n m+n
5、归纳：a ·a=a 这条性质对于是任意整数的情形仍然适用。 6、整数指数幂的性质：这样，整数指数幂的运算性质可以归结为：
m n m +n （m ，n 是整数）（1） ；
m n mn
（2） （m ，n 是整数）；
n （3） ． （ab ）=a n b n （n 是整数）
（三）课堂练习 运用提高 3
b -21、 计算： （）1a -2÷a 5；（2）（2）；a
3-3 （3）（a -1b 2）；（4）a -2b 2⋅（a 2b -2）．
2、跟踪练习：
-123-222-2-3
(1) (ab ) ; (2) ab · (ab )
2-3-132-3-2-23
(3) xy (xy) ； (4) (2abc ) ÷(ab) 3. 计算：
m+1n-12223345
（1）(a+b)·(a+b); (2) (-ab) ·(-a b ) ÷(-ab)
3224042324
(3) (x) ÷(x) ·x (4) (-1.8xy z ) ÷(-0.2xy z) ÷(-1/3xyz)
（四）探索新知 培养能力
85
1、科学计数法：光速约为3×10米/秒，太阳半径约为6.96×10千米。目前我国
9
人口约为6.1×10
2、用科学记数法表示下列各数：
300000 =_______, -5230000=_______ 12600=_________.
3、如何用科学记数法表示一个数？
n
一个数M 的绝对值大于1，这个数M 可表示为 形式，，a 其中⨯10 1≤a
4、自主探究：尝试：我们已经知道一些绝对值较大的数适合用科学记数 法表示，例如： 300000000=3⨯108-696000=-6. 96⨯105； 你能利用10的负整数指数幂，将绝对值较小的数表示成类似形式吗？
a a =a （a ）=a
0.01= ; 0.000 001= ; 0.000 0257= = ; 0.000 000 125= ,
5、归纳： 绝对值小于1的数可以用科学记数法表示为 a ⨯10-n 的形式，
其中a 是整数数位只有一位的正数，n 是正整数，n 等于这个数从左边第一个不是零
的数字算起前面零的个数（包括小数点前面的零）。
（五）知识运用 反馈提高
1、用科学记数法表示下列各数：
-52-92(1) 0.000 001 (2) -0.000 000 567 (3) (3×10) ×(3×10)
-93 2、纳米（nm ）是非常小的长度单位，1 nm =10 m．把1 nm的物体放到乒乓球v
33 上，就如同把乒乓球放到地球上．1 mm 的空间可以放多少个1 nm的物体
（物体之间的间隙忽略不计）？
3、计算：（1） （2⨯10-6）⨯（3. 2⨯103）； -6243（2⨯10）÷（10）. （2）
（六）课堂小结，归纳提高
1、整数指数幂的运算性质
m n mn n n n m n m +n
2、绝对值小于1的数可以用科学记数法表示为 的形式，其中a 是a ⨯10-n
整数数位只有一位的正数，n 是正整数，n 等于这个数从左边第一个不是零的数字
算起前面零的个数（包括小数点前面的零）。
（七）布置作业
1、课本147页第7、8、9题
2、长江作业 a a =a （a ）=a （ab ）=a b
15.3 分式方程(1)
一、教学目标
1、知识与技能：
①经历分式方程概念、分式方程的解法过程，会解可化为一元一次方程的分式方程
的解法，会检验根的合理性；
②了解分式方程的概念, 和产生增根的原因.
2、过程与方法：
在学生掌握基本概念、基本方法的基本上将知识融会贯通，通过反思、反馈、的方
法进一步提高运算能力。培养学生的分析和归纳能力。
3、情感与态度：
①培养学生对知识综合掌握、综合运用的能力，提高学生的运算能力，培养学生乐
于探究、合作学习的习惯，培养学生努力寻找解决问题的进取。
②进一步发展符号感，通过类比分数研究分式的教学，引导学生运用类比转化的思
想方法研究解决问题．
二、教学重点：会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根.
三、教学难点：会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根.
四、教具准备：课件 电子白板 远程教育资源网
五、教学程序：
（一）创设情境 引入新课
1、创设问题情境：一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时, 它沿江以最大航
速顺流航行90千米所用时间, 与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等, 江水的流
速为多少? 9060解:设江水的流速为 v 千米/时，根据题意，得 =30+v 30-v （二）探索新知 培养能力
1、分式方程的概念：像这样，分母里含有未知数的方程叫做分式方程。
【以前学过的分母里不含有未知数的方程叫做整式方程。】
2、下列方程中，哪些是分式方程？哪些整式方程.
43x (x -1) 13 x -2=x +=7(2)(4)=-1=(1) x y x 23x -2x
3-x x 12x +1x -1(3)= 5 x -=2+3x =1 6 2x +=10 π2x x 5
3、探究如何解分式方程： 9060=下面我们一起研究下怎么样来解分式方程： 30+v 30-v
90(30-v ) =60(3 0+v ) 方程两边同乘以（30+v）（30-v ） ，得：
v =6
检验：将v=6代入分式方程，左边= =右边，所以v=6是原分式方程的解。
【在解分式方程的过程中体现了一个非常重要的数学思想方法：转化的数学思想
（化归思想）。通过复习分式方程的解法深入理解把分式方程“转化”为整式方程，
再利用整式方程的解法求解的一般思路】
=24、解分式方程： x -5x -25
解：方程两边同乘以最简公分母（x-5）（x+5），得：
x+5=10
解得：x=5
检验：将x=5代入x-5、x2-25的值都为0，相应分式无意义。所以x=5不是原
分式方程的解。
∴原分式方程无解。【为什么会产生增根？】
【在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根产生
增根的原因：在把分式方程转化为整式方程时，分式的两边同时乘以了零验根：把求得的根代入最简公分母，看它的值是否为零。使最简公分母值为零的根是增根。】
110
5、范例选讲：解分式方程
3x 32 2 =-1（1） =x x -3(x -1)(x +2) x -1
6、小结：
解分式方程的思路是：去分母，化分式方程为整式方程。
解分式方程的一般步骤
① 在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程.
②解这个整式方程.
③把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解
是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解，必须舍去.
④写出原方程的解.
解分式方程容易犯的错误有：
(1)去分母时，原方程的整式部分漏乘．
(2)约去分母后，分子是多项式时， 没有注意添括号．(因分数线有括号的作用）
(3)方程的解不检验。
（三）知识运用 反馈提高
解方程： 1. x -5-x +1=0x -3x -1
x -282. -1= x +2x 2-4 31-x 3. +2= 4-x x -4
2y -53y -3 4. =-3y -2y -2
（四）课堂小结，归纳提高
小组讨论、相互交流，大家畅所欲言，表达自己的收获。
1、解分式方程的思路：去分母，化分式方程为整式方程。
2、解分式方程的一般步骤：
① 在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程.
②解这个整式方程.
③把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解
是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解，必须舍去.
④写出原方程的解.
解分式方程容易犯的错误有：
(1)去分母时，原方程的整式部分漏乘．
(2)约去分母后，分子是多项式时， 没有注意添括号．(因分数线有括号的作用）
(3)方程的解不检验。
（五）布置作业
1、课本154页第1题
2、长江作业
15.3 分式方程(2)
一、教学目标
①能将实际问题中的等量关系用分式方程表示，体会分式方程的模型作用．
③了解分式方程的概念, 和产生增根的原因.
2、过程与方法：
经历“实际问题－分式方程方程模型－求解－解释解的合理性”的过程，发展学 生分析问题、解决问题的能力，渗透数学的转化思想人体，培养学生的应用意识。
3、情感与态度：
在活动中培养学生乐于探究、合作学习的习惯，培养学生努力寻找解决问题的进 取心，体会数学的应用价值。
二、教学重点：利用解分式方程的一般步骤解分式方程以及用分式方程解决实际问题。
三、教学难点：正确分析实际问题中的等量关系，正确求解方程，判断解的合理性。
四、教具准备：课件 电子白板 远程教育资源网
五、教学程序：
（一）创设情境 引入新课
引例： 甲、乙两人做某种机器零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个零件所
用的时间和乙做60个零件所用时间相等，求甲、乙每小时各做多少个零件？
解：设甲每小时做x 个零件，则乙每小时做（ x －6）个零件，
经检验X=18是原分式方程的根, 且符合题意。
由x ＝18得x －6=12
答：甲每小时做18个，乙每小时12个
（二）探索新知 培养能力
1、列分式方程解应用题的一般步骤
①. 审:分析题意, 找出数量关系和相等关系.
②. 设:选择恰当的未知数, 注意单位和语言完整.
③. 列:根据数量和相等关系, 正确列出方程.
④. 解:认真仔细解这个分式方程.
⑤. 验:检验. （是否是分式方程的根， 是否符合题意）
⑥. 答:注意单位和语言完整.
2、范例选讲：
1、课本P 152例3：两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成
9060=依题意得：x x -6解得： x =18
总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成.
【分析：甲队1个月完成总工程的 ,设乙队如果单独施工1个月完成总
工程的 ,那么甲队半个月完成总工程的_____,乙队半个月完成总工程的
_____,两队半个月完成总工程的_______.】
2、课本P 152例4：某次列车平均提速v 千米/小时，用相同的时间，列车提速前行
驶s 千米，提速后比提速前多行驶50千米，提速前列车的平均速度为多少？
【分析：这里的v 、s 表示已知数据，设提速前列车的平均速度为x 千米/时，先
考虑下面的填空：提速前列车行驶s 千米所用的时间为 小时，提速后列车的平
均速度为 千米/时，提速后列车运行 千米 所用时间为 小时。】
（三）课堂练习 运用提高
1、农机厂到距工厂15千米的向阳村检修农机，一部分人骑自行车先走，过了40
分钟，其余人乘汽车去，结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车的3倍，求两车的速度。
2、甲乙两班参加校园植树活动，已知甲班每天比乙班多植树10棵，甲班植100
棵树所用的天数与乙班植80棵所用的天数相等。若乙班每天植树x 棵，根据题意列方程是 。
（四）课堂小结，归纳提高
列分式方程解应用题的一般步骤：
1. 审:分析题意, 找出数量关系和相等关系.
2. 设:选择恰当的未知数, 注意单位和语言完整.
3. 列:根据数量和相等关系, 正确列出方程.
4. 解:认真仔细解这个分式方程.
5. 验:检验. （是否是分式方程的根， 是否符合题意）
6. 答:注意单位和语言完整
（五）布置作业
1、课本154页第3、4、7题
2、长江作业
本章复习与小结（2课时）
一、教学目标
1、知识与技能：
会进行分式的基本运算（加、减、乘、除、乘方），熟练掌握分式方程的解法，能
应用“建模”思想解决实际问题．
2、过程与方法：
经历回顾分式概念、计算、应用的过程，提高观察、类比归纳、猜想等能力，．领
会其算理．
3、情感与态度：
培养学生的自主、合作、交流的意识，和严谨的学习态度，让学生体会知识的内在价值．
二、教学重点：通过理解分式的基本性质，掌握分式的运算、应用．
三、教学难点：分式的通分以及分式方程的“建模”．
四、教具准备：课件 电子白板 远程教育资源网
五、教学程序：
（一）本章知识框架：
（二）本章知识回顾
A 1、形如B 的式子叫做分式，其中A 、B 是整式，B 中必须含有字母。对于任意一个分式，分母都不能为零。
2、分式的加减法则：
(1)a +b =a +b (2)a +c =ad +bc
c c c b d bd
3、分式的乘除法则：
(1)b ⨯d =bd (2)b ÷d =b ⨯c =bc
a c ac a c a d ad
n b ⎛⎫4、分式的乘方法则： ⎪
b n ⎛b ⎫⎛a ⎫=n ; ⎪= ⎪⎝a ⎭a ⎝a ⎭⎝b ⎭-n n
5、解分式方程的思路是：去分母，化分式方程为整式方程。
6、解分式方程的一般步骤：
①、 在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程.
②、解这个整式方程.
③、 把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解，必须舍去.
④、写出原方程的根.
7、请同学总结列分式方程应注意的问题：
①、列分式方程解应用题，应该注意解题的五个步骤。
②、列方程的关键是要在准确设元（可直接设，也可间接设）的前提下找出等量关
系。
③、解题过程注意画图或列表帮助分析题意找等量关系。
④、注意不要漏检验和写答案。
（三）课堂练习 运用提高
1、下列各有理式中，哪些是分式？哪些是整式？
1m 3x 112x 2-4 , , -, (a -b ), , , 3x 22+y 36πx -2
m 2-92、当 m 取何值时，分式有意义？ 值为零？ m -3
2x +y x y 3、计算： -+2x x -y x -xy
x +14x 3x -33-2=1=-2+1=4、解方程： x -1x -1x -12x -2x -22-x
5、甲乙两队人员搬运一些电力器材上山，甲队单独完成任务比乙队单独完成任务少用50分钟，若甲、乙两队一起搬运1小时可以完成，问甲、乙两队单独搬运，各需几分钟完成？
6、甲、乙两地相距150千米，一轮船从甲地逆流航行至乙地，然后又从乙地返回甲地，已知水流的速度为3千米/时，回来时所用的时间是去时的四分之三，求轮船在静水中的速度。
7、甲加工180个零件所用的时间，乙可以加工240个零件，已知甲每小时比乙少加工5个零件，求两人每小时各加工的零件个数.
8、某工人师傅先后两次加工零件各1500个，当第二次加工时，他革新了工具，改进了操作方法，结果比第一次少用了18个小时. 已知他第二次加工效率是第一次的2.5倍，求他第二次加工时每小时加工多少零件?
9、某人骑自行车比步行每小时多走8千米，如果他步行12千米所用时间与骑车行36千米所用的时间相等，求他步行40千米用多少小时?
（四）课堂小结，归纳提高
1. 通过本节课的学习，你在知识上有什么收获？还有哪些困惑？
2. 在思想方法上有哪些收获？
3.你对自己本节课的表现满意吗？为什么？
（五）讲评《长江作业》复习与小结
（六）布置作业：
《长江作业》本章测试题。