五矿期货有限公司
MINMETALS FUTURES CO..Ltd 许彬彬 研究员
从业资格号：F0280770
Tel ：0755-83002989 新品种研究7/17/2014期权希腊字母（下篇） ——股指期权研究系列之三
摘要 希腊字母的应用，最主要的有两个方向。第一个方向是如何应用希腊字母来管理期权投资组合的各项风险。使用希腊字母来管理组合本质上是一种降维处理。第二个方向是用于期权复制。如果将期权定价公式按泰勒展开，便能得到期权价格不同字母风险的部分。通过复制对应的风险头寸便可以复制期权。 Delta 中性对冲是期权复制的一个办法。它同时也被称作Gamma 交易。对于一个风险中性的组合而言，盈亏将取决于Gamma 部分的大小。
当持有期权做空标的期货，是Gamma 多头或者波动率多头。反之持有标的期货多头做空期权，是Gamma 空头或者称波动率空头。
虽然截至本篇未提及波动率的影响。因为标的资产波动率在现实中并非一个固定不变的常数，引发了和波动率有关的各种各样问题。如果对波动率的估计是错误的，那么不仅期权价格会估计错误，希腊字母也会计算错误。同时波动率曲面有斜偏、凸性以及期限结构，这为期权定价以及交易都带来了额外的风险。关于波动率的讨论将在后面的系列中展开。在这里我们只需要了解，波动率不变的假设在此非常重要。
上篇中介绍了期权希腊字母以及各自的特点。看着似乎和交易关系不大，实际情况却是对交易非常重要。对于一般的个人投资者，如果持有的头寸不是太复杂，那么可以不需要了解希腊字母的持仓头寸，而注重关心到期日标的指数的走势即可。然而一旦盘中多次来回交易，由于每个期权的风险不同，当头寸变得日
益复杂以后，管理便成了一个难题。将期权换算成希腊字母的形式，实际就是将期权价格的不同风险统一起来用某个值来衡量，是一种降维的办法。如果持有的期权合约超过5个以上，这种降维处理就是节约成本的。在本篇内容里面，你将会看到使用期权希腊字母来管理头寸的好处。
二、希腊字母的应用 希腊字母的应用主要分两个方向，一是头寸管理或者称辅助交易，二是期权复制或者希腊字母风险中性对冲。 （一）通过希腊字母管理期权头寸
考虑这样一种情形。假设当天股指期货主力合约是IF1407，合约的价格是2200点，某投资者觉得目前指数价格属于历史低点，于是计划买入较长期限的实值看涨期权，假设买入的是1412C2100合约。然而该投资者又同时觉得指数在短期内可能还要下跌，于是就卖出1407C2250，即2250执行价7月到期的看涨期权合约。随后他又觉得价格可能不会跌到2100点以下，所以他又果断卖出7月到期的执行价2100点的看跌期权。但是他又担心指数万一真跌到这个位置，他将面临看跌期权被执行的风险，于是同时又做空了1手股指期货主力合约IF1407。
图1 情形一交易盈亏曲线图
图来源：五矿期货
1、通过盈亏曲线图判断组合的持仓风险 这位投资者既持有期权又持有期货，同时方向也不同，甚至到期期限也不同。如果仅仅按照传统的交易方法，是无法立即判断指数上涨或下跌时，持有组合的价值是上升还是下降。这个时候如果要分析，首先可以通过到期盈亏图来判断。 参考图1，可看到这位投资者实际的风险将会转化为指数大幅上涨的风险。然而具体组合的价值会随着指数上升而上升还是下降，取决于指数目前的水平。当指数在2100点以下的时候，组合价值随着指数上升而增加；但指数超过2100以后，组合价值将会开始下降；当指数进一步上涨到2250以上时，组合价值减少的速度会更快。 2、从希腊字母处获得的信息 从以上的例子可以看出，盈亏图确实可以帮助我们理解面临的方向性风险。可是要具体回答以下的问题“如果指数今天上涨到2250点，那么头寸将会盈利或是亏损多少”，仅有盈亏图可能就显得捉襟见肘。而使用希腊字母，这个问题将变得非常简单。首先可以从Delta 的图上辨别这个组合持有的在标的指数方向上头寸是多方还是空方。 图2 情形一交易Delta 与标的价格之间关系
图来源：五矿期货 可以看到这个头寸目前的Delta 值位于负值区域，说明这个头寸是做空指数的。这符合该投资者认为指数将会下跌的预期。利用市场信息，可以计算出这个头寸目前持有的Delta 水平是
-50.6%。意味着，如果指数当天从2200点上涨到2250点时，组合价值将会减少50 x 50.6% = 25.3 个基点价值。
《上篇》中提到，使用Delta 可能会产生误差。一个简单的修正办法是计算Gamma 效应。从这个组合的Gamma 可以看到，该
组合实际上是出售了一款产品，是Gamma 的空头。Gamma 效应对多方而言是好东西，因为它相当于方向正确时自动加仓，方向错误时自动减仓。但是对于Gamma 的空方就是坏处，这意味着当方向错误的时候，亏损速度将会变得更快，因此Gamma 空头在设置止损水平的时候就要加倍留意。 通过计算或者从软件中可得到Gamma 值是-0.0034，那么当指数上涨50点时，Gamma 效应将会亏损 1/2 x 50^2 x 0.0034 ≈4.3 基点。因此可以推算，当指数上涨50点时，头寸价值将会减少29.6个基点。这个近似和真实值相差不远。同时可以从希腊字母上也可以得到以下的信息：这个头寸持有波动率多头，其他参数不变，当波动率上升1个百分点时，组合价值将增加1.1个基点；如果这天大盘没有大幅变动，而波动率又不变的话，这一天过去头寸价值将增加1.1个基点；如果无风险利率上升1%，这个组合价值将增加4个基点。 3、如何管理头寸 假设现在投资者觉得，当天指数将会大幅上涨，对持仓组合将构成非常大的威胁，希望持有正的Delta。这时候可以通过买入看涨期权，但是买入不同的看涨期权，所需数量却不同。 表1 不同执行价的Delta 以及对冲后Delta 的情况
数据来源：五矿期货 从表中可以看到，当购入的执行价在2200点以下的看涨期权
时，所需的数量只需要1手就可以使Delta 由负转正。而随着执行价上升，需要购入的期权合约数量至少要2手。
现在考虑更一般的情形。在5个主要的希腊字母中，Rho和Theta 都是相对确定的。Vega的风险一般不会在短时间内体现出来。在日常的短线交易中，Delta 和Gamma 就成为主要的风险来源。实际上，如果我们将期权投资组合以泰勒公式展开会有以下结果
1δ∏=θ×δt +Δ×δS +Γ×δS 2+ν×δσ··············（1）2
通过这个等式就可以设计出不同场景，判断交易的盈亏情况。从公式可以看到，Theta是确定性的，而Vega 项在短时间内变化不大。所以某个时点上，收益就会取决于Delta 和Gamma 项的情
况。这里我们列出了若干种情况下，单边交易所持有头寸的情况。 表2 不同策略下的希腊字母持仓方向
来源：五矿期货
从上面的表可以清楚看到。同样是认为价格会上涨，可以买入看涨，也可以卖出看跌，二者的Delta 都是正的。然而其余三项却完全不同。如果认为波动率不会发生太大变动，剩下的工作就是要考量Theta 和Gamma 项的情况。 同时又注意到，不管是上面哪一种单边策略，Theta 项和Gamma 项的符号始终是相反的。这里面有很大的学问。Theta 是期权时间价值的衰减快慢程度。平日里总是以买入期权和买保险做类比，此处也可借用保险的例子做说明。一年的保费，实际上是摊销到每天来计算。如果这一天投保的事件没有发生，那么相当于损失了一天的保费。而Theta 正正代表了一天的权利价值。如果这一天波动非常小甚至没有波动，那么Theta 就是投资期权一天所损失的“保费”。 拿Theta 和Gamma 项做个说明。以买入期权为例。如果这天波动非常小或者没有波动，那么购买期权就会损失Theta 项。如果这天波动非常大，那么Gamma 项上的收益就会超过Theta 项。因此针对行情的不同判断。有以下的简单结论 表3 不同情形下的最优交易策略 下跌 中性 上涨 买入看跌买入跨式组合卖出看涨卖出跨式组合注：跨式组合指同执行价同期限的看涨和看跌期权组合
上述结论有个假设是波动率不会发生太大变动。实际交易中，如果波动率曲线存在负偏现象，即价格上涨波动率下降，那么买入看涨期权实际上要比理论值便宜，买入看跌期权会比理论值贵。如果说一旦价格发生突破上涨，往往波动率会大幅下降，这时候买入看涨期权有可能得不偿失。由此看出，考虑波动率变化的情况以后，期权交易就会变得非常复杂。关于波动率，将来还会进一步阐述。
（二）希腊字母中性交易 1、Delta中性对冲 Delta 的含义是，标的资产价格每变动1单位引起的期权价值变动的幅度。Delta中性，意思是使投资组合的Delta 值保持在0
或者0附近。即不管标的资产价格如何变动，投资组合的价值都相对保持不变。如果借用公式（1）做说明，就是使式子中的Delta 项为0。
从理论上来说，借用看涨期权图形的例子作说明。如果要使得Delta 调整至0，可以通过卖出Delta 份的股指期货（实际中需要考虑合约价值和乘数等细节）。在某个时刻上，不管期指价格涨跌，由1份看涨和Delta 份期货空头部位构建的这个组合价值都不会发生变化。
图3 Delta中性对冲原理展示
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这里如果要持续保持Delta 中性，那么将需要不断进行Delta 对冲。但是由于交易成本存在，以及价格非连续和非无限可分，实际只能进行离散地对冲。但这时候就会产生一个Gamma 的误差。对于期权多头而言，同时是Gamma 的多头。因此当指数大幅波动时候，保持Delta 中性的期权组合就会产生盈利。
使用公式（1）来做说明也许更加直接。对于保持Delta 中性的期权期货投资组合，进一步假设它的Vega 项为0或者波动率保持不变，那么组合的价值就可以表示为
1δ∏Delta =0=θ×δt +Γ×δS 2·············（2）2
从公式（2）可以看出。Delta 中性交易的盈亏将取决于额Theta 项和Gamma 项的大小。对于单一期权而言，如果时刻保持Delta
中性，当天的盈利将取决于Gamma 项大小。如果不考虑Theta 项，那么期权多方一直在赚取Gamma 的收益。相对的，空方将会损失Gamma。相当于多方预先支付了Theta，换取了Gamma 的收益。 另一个用法是，对于保持Delta 中性的组合，通过反推可算出当天盈亏平衡时波动的大小。比如以（一）中的组合为例，如果用股指期货对冲Delta 之后，这个头寸的Theta 是6个点（每过一天，头寸价值增加6个点），Gamma 值是-0.0276（相当于净卖出期权），利用式子（2）可计算得，当这个组合日波动超过1%时，就会产生亏损，否则始终处于盈利状态。 在《上篇》中给出过Theta 和Gamma 的不同执行价下的关系曲线图。二者在图像上近乎关于X 轴对称。这点从公式（2）也可以看出来。对于Delta 中性的组合头寸，Theta 和Gamma 项互为相反数。最终Delta 中性组合的盈亏，就是Theta 和Gamma 二者的PK。 2、希腊字母中性对冲 实际交易中，有些时候不仅仅希望实现Delta 对冲，而且还会有更高的对冲要求。比如除了保持Delta 中性，还要求保持Gamma 中性。借用前面的例子，投资者除了希望Delta 中性外，还希望Gamma 也保持中性。产生这种想法的原因有很多，比如短期对波动大小也无法判断的时候，就会想锁定Gamma 风险。 在那个例子中，头寸的Gamma 值为-0.0276，假设使用IO1407P2100做对冲，通过计算可以得到，需要购入8手该期权才能使Gamma 降低到满意水平。然而此时又需要保持Delta 中性，还需要做多3手IF1407合约。由于取整的缘故，这里不能使结果达到0。具体什么样的标准才能达到中性，依赖于交易员自身的判断。 除了保持Gamma 中性以外，还可以要求Vega、Theta和Rho 保持中性。从理论上来说，保持Delta 中性只需要单一期权和期货。每增加一个希腊字母中性的要求，就需要额外增加某一期权来实现。如果要同时使5个希腊字母保持中性，那至少需要5个期权合约才能实现。然而这时候需要注意，不管是任何交易，收益总是要通过主动承担风险才能获得。当实现Delta 中性，那主要目的是为了交易Gamma。当同时实现Delta 和Gamma 中性，主要的风险将会转变为波动率风险，即获得纯波动率的头寸。 另外需要注意的是，上述所有的希腊字母中性都是瞬时的概念，即某一个时点上是中性的。一旦发生价格大幅波动，这些希腊字母就会偏离中性。因此要实现绝对中性，就要不断进行调整。 3、期权复制 Delta 中性对冲或者称Gamma 交易，另一个重要的应用是用于期权复制。从理论上来说，只要用于复制的投资组合具有与期权
完全一致的收益结构，都可以称为期权复制策略。
最简单的复制方法是01策略。具体来说，以看涨期权为例，
如果标的价格大于K，那么持有标的指数，反之则空仓。这个策略可视作强制止损策略，而止损线就是K。这种方法的弊端是显而易见的。首先这个方法在方向上并非净头寸，在期权实值状态的时候过度复制，在期权虚值状态时候复制不足。其次是，注意到，那么在K 以下卖出K 以上买入，实际操作是高买低卖。如果指数持续在执行价附近震荡，那么这种复制策略成本将非常巨大。最后还有展期的问题。如果希望构建期限较长的合约，则可以选择远月指数期货合约来作为复制的工具。然而远月合约的流动性可能很差，这就会迫使需要用近月合约来进行复制。于是其中就会涉及到展期的问题。如果远月是升水，对冲看涨期权的空头需要买入期货合约。展期损益则取决于远近月升贴水结构，不必然是亏损。
用Delta 中性对冲复制可以弥补01复制策略的致命缺点。在BSM 公式诞生以前，交易员就已经知道可以利用现货标的来对冲期权价格的波动。而BSM 公式解决了对冲比率方面的问题。通过BSM 公式可求出期权对标的价格的敏感性，也即Delta。BSM公式的推导过程本身就是Delta 中性对冲的演绎。Delta 中性对冲复制策略的思路非常简单，通过持有Delta 量的标的资产，构造和期权价格相同表现的投资组合。由于Delta 本身也在变化，因此需要通过不断调整Delta 来拟合期权价格的变化。相比于01复制策略，除了弥补过度复制的问题，还大大降低了交易成本。因此Delta 中性对冲复制效率要大大优于01复制策略。
但是Delta 对冲有一个问题无法避免，那就是Gamma 风险。在前面讲到，Delta 中性对冲又叫做Gamma 交易。持有期权的一方拥有Gamma 多头。假设我们卖出一个股指期权，然后使用期货合约去对冲期权头寸。此时虽然对冲了Delta 风险，但是我们持有了Gamma 空头。这意味着，如果价格大幅波动，我们将面临着一定的风险，同时这个复制方法的有效性将极大降低。实际上，如果价格本身大幅波动，这一事实意味着我们对波动率的估计是错误的，一开始所卖出的期权价格可能偏低。
前面公式（1）在理论上提供了更理想的复制办法。如果期权价格可以分解成n 个因素变化的结果，那只需要n 个不完全相同的资产，分别对冲掉所有因素的变动，便可完全复制这一期权价格的表现。比如可以通过其他含权价格的产品，例如转债或者分级基金甚至场外产品，来对冲其他字母的风险。遗憾的是，都要求这些资产必须具有良好的流动性。如果达不到要求，对冲本身可能就是在亏损的。如果复制的风险非常大，甚至标的资产流动性都非常差，那么期权价格也应当更贵。这些因素在初始定价时必须考虑周全。
三、希腊字母扩展
（一）再论Delta 的含义
1、Delta可近似视作期权被执行的概率
通过观察BSM 公式的推导过程，研究者发现N （d2）表示的是风险中性测度下的期权被执行的概率。所谓风险中性，意味着投资者的风险态度是中性的，即投资只取决于预期收益，风险补偿为0。因为真实世界并非风险中性的，所以不能因此认为N（d2）表示期权未来被执行的概率。值得一提的是，N(d1)是在标的资产波动率为市场风险价格的测度下期权被执行的概率。N（d1）即本篇中反复提及的Delta 值。Baz和Strong 的研究结果表明，看涨期权的Delta 一般会高估期权被执行的概率。
2、用于奇异期权的定价
将公式转化为一系列产品，这是现代金融工程的一大应用。由期权定价公式可得知，看涨期权可表示为一个资产或有期权多头（Asset or Nothing）和一个现金或有期权空头（Cashor Nothing）的组合。而Delta 可用于后两种期权的定价。所谓现金或有期权，即如果到期时价格超出障碍水平（此处为看涨期权的执行价），那么期权持有方可得到固定金额的现金。
（二）波动率的影响
1、Delta对冲面临的Vega 风险
因为期权价格本身会受到波动率的影响。所以说进行Delta 对冲，本身也面临着波动率变化的风险。此时可通过交易另一种期权或者波动率指数期货来对冲Vega 的风险。
2、波动率曲面
后面将会讲到，由期权价格可以反向推导隐含的波动率大小。如果将不同执行价和不同到期期限的期权隐含波动率以3维图形展示，得到的是一个曲面而非一个平面。这说明BSM 模型关于固定波动率的假设是不正确的。而在现实世界中，波动率更像是一随机过程。而隐含波动率曲面也许仅仅是这一随机过程的某种表现形式。
当波动率并非常数，所有简单的问题都会变得极为麻烦。比如说波动率发生变化的时候，Delta 值也会变化。哪怕是保持Delta 中性和Gamma 中性，此时也需要对头寸做出调整。又比如波动率的斜率和凸性。假设波动率曲线是负偏的，那意味着当标的资产价格上升时，波动率可能会下降。如果此时对冲的期权是一虚值看涨期权，由于标的资产价格是上升的，Delta 会随着增加。但是波动率的下降导致Delta 也相应减少。如果仅仅只考虑标的资产价格变动，那么错误估计波动率导致Delta 被高估。
（三）其他希腊字母介绍 1、Volga Volga 是期权价格关于标的资产隐含波动率的二阶偏导，它衡量的是Vega 关于隐含波动率变动的敏感性。如果某期权具有Volga 值，那说明它具有Vega 凸性，即Vega 关于波动率的关系并非线性。比如在《上篇》中描述的平值、实值和虚值期权Vega 曲线，平值期权没有Vega 凸性，但实值和虚值期权都具有Vega 凸性。当一份期权具有Vega 凸性的时候，意味着Vega 会随着波动率的变化而变化。一旦出现Vega 凸性，波动率的上升或者下跌将带来盈利或亏损，这和Gamma 的情况相类似。 2、Vanna Vanna 是期权价格关于隐含波动率以及价格的二阶混合偏导数，它衡量Vega 关于标的资产价格变动的敏感程度，也可以用来衡量Delta 关于波动率变化的敏感程度。对于Delta 对冲来说，Vanna 可以用来估计当波动率变化的时候，Delta变化的情况。如果Vanna 比较大，那么当波动率变化很大的时候，进行Delta 中性调整时就要更加谨慎。
附录：希腊字母的推导
看涨期权的布莱克公式
其中
首先我们证明以下等式（*）成立
······························（*）
其中
要证明等式（*）成立，等价于
代入d2
可得到
从d1可知，最后的等式恒成立，因此等式（*）恒成立
接下来我们逐一求出各希腊字母公式
(a)Delta
由d2
可知
因此
利用等式(*)
（b）Gamma
（c）Vega
由d2
可知
代入可得
(d)Theta
其中
因此
(e)Rho
代入
可得
接下来可通过期权平价关系求出看跌期权希腊字母值