第37卷 第3期陕西师范大学学报(自然科学版) 2009年5月Journal of Shaanxi Normal University (Nat ural Science Edition ) 文章编号:167224291(2009) 0320017203
Vol. 37 No. 3
May. 2009
特殊运动下的外汇期权定价
苗 芳, 刘新平3
(陕西师范大学数学与信息科学学院, 陕西西安710062)
摘 要:研究了外汇期权的定价问题. 在分形市场下, 以Black 2Scholes 模型的假设条件为基础, 利
用分形布朗运动的性质、微积分和偏微分方法, 得出在未定权益有红利支付且红利率和无风险利率为常数时, 外汇期权显式定价公式和平价公式. 关键词:分形布朗运动; 外汇期权; 红利中图分类号:O211. 6; F22417 文献标识码:A
movement
, L IU Xin 2ping 3
of Mat hematics and Information Science , Shaanxi Normal University , Xi ′an 710062, Shaanxi , China )
Abstract :A p ricing of foreign currency option is discussed. Under t he condition of f ractional market , using t he nat ure of fractional Brownian motion , calculus and partial differential , according to t he hypot hesis of Black 2Scholes model , prices of foreign currency options are given when t he asset has dividend paying and risk 2free interest rate and dividend rate are all constant. K ey w ords :f ractional Brownian motion ; foreign currency option ; dividend MR subject classif ication :91B28; 91B30
外汇期权是以货币为标的物的期权, 约定持有人在规定的时间内或规定到期日, 有权按照约定汇率向持有人购买或出售货币的有价证券[1]. 欧式看涨(看跌) 外汇期权, 赋予其持有人在期权到期日, 有权以预定汇率用即其本国货币购买(出售) 一定单位外国货币的权利. 1973年,Black 和Scholes 两位美国金融学家, 根据无套利原理, 在有效市场和股票价格满足几何Brown 运动的假设条件下推导出著名的Black 2Scholes 期权定价模型[2]. 在Black 2Scholes 模型下, Garman 和K ohlhagen 假定汇率服从几何布朗运动, 给出了相应的外汇期权定价公式[3]. 但是, 经过对金融市场的大量研究及实证检验, 表明金融资产并非遵循几何布朗运动, 金融资产的对数收益率并非服从正态分布, 而是服从一种“尖峰厚尾”的分布, 而且存在长期的相关性. Peters 称这种现象
收稿日期:2008208224
基金项目:国家自然科学基金资助项目(40271037) 作者简介:苗芳, 女, 硕士研究生, 研究方向为金融数学.
为资本市场的分形结构, 并由此提出分形市场假说, 指出利用分形布朗运动能更好地解释资本市场的这种现象.
分形布朗运动是高斯过程的一种, 其性质主要是加法不变性、自相似性、厚尾性、不连续性和长期相关性等, 这些性质使得分形布朗运动成为刻画金融市场的良好工具. 文献[426]研究了分形市场下一些外汇期权的定价; 文献[7]证明了在分形市场下欧式外汇期权的定价, 但没有考虑支付红利的情况. 本文在此前提下, 推导出有红利支付的外汇期权的一般定价公式, 从而推广了文献[7]的结果.
1 分形布朗运动的定义
定义1[8] 设(Ω, F H , P H ) 为概率空间, 常数H ∈(0, 1) . 具有Hurst 参数的H 的分形布朗运动是
3通讯作者:刘新平, 男, 教授. E 2mail :liuxinping@snnu.edu. cn.
18陕西师范大学学报(自然科学版)
d 珟V (t ) =σv (t ) 珟S (t ) d B ^H .
第37卷
(4)
一个满足下列条件的Gauss 过程{B H (t ) }t ∈R +:
(ⅰ) B H (0) =E P H [B H (t ) ]=0, 对所有t ∈
-rt -rt H
其中珟V t =e V t , 珟S (t ) =e S t , 珟P H 为(Ω, F ) 上的
R +;
(ⅱ) E P H [B H (t ) B H (s ) ]={|t |2H +
概率测度.
证明 由(3) 式可知
d V (t ) =ru (t ) d t +r f v (t ) S (t ) d t +
v (t ) d S (t ) +ρv (t ) S (t ) d t =ru (t ) d t +r f v (t ) S (t ) d t +v (t ) S (t ) [μd t +σdB
H
2
|s |
2H
-|t -s |
2H
}, s 、t ∈R .
+
) 表示随机变量在概率测度P H 下的期其中E P H (・
望, F H =σ{B H (s ) , s >0}.
(t ) ]+
2 分形外汇市场的模型假设
给定概率空间(Ω, F , F , P H ) 及其上的分形布朗运动{B H (t ) }t ∈R +, 其中F t H =σ{B H (s ) , 0≤s ≤
H
H
t
ρv (t ) S (t ) d t =rv (t ) d t +σv (t ) S (t ) B H (t .
[) d
t +
t}, 且F T =F . H H
下假设:
(ⅰ) (t ) r r f ;
(ⅱ) 分形外汇市场无摩擦, 即不存在交易费用
d (t ) =σV (t ) 珟S (t ) d 珟B H (t ) ,
d B ^H (t ) =d t +d B H (t ) ,
σ且存在(Ω, F H ) 上的测度^P H , 使得B ^H (t ) 为^P H 下的分形布朗运动.
定理2[7] 分形外汇市场(1) 是完备的, 即对任
H 意未定权益F ∈L 2(P H ) , 若F 是F T 可测的, 则F 是
和税收;
(ⅲ) 分形外汇期权支付红利率, 红利率为ρ; (ⅳ) t 时刻的本币兑外币汇率S (t ) 服从几何分
形布朗运动, 其微分形式为
S (0) =x >0,
可贴现的, 且未定权益F 的价格为
g (t ) =e
(1)
H
珟E P H [F |F t ], t ∈[0, T ].-r (T-t )
d S (t ) =S (t ) (μd t +σd B H (t ) ) ,
(5)
0≤t ≤T.
σ≠0为常其中, {B H (t ) }t ∈R +为分形布朗运动, μ、数, 且σ>0. 随机方程的解为
22H
B H (t ) +μt -t S (t ) =x exp σ,
2
0≤t ≤T.
H H
其中珟E P H [F |F t ]为F 在测度P H 下关于F t 的拟条件希望.
4 分形布朗运动下的
欧式外汇期权定价
下面考虑当未定权益为欧式外汇期权的定价公式.
定理3 设到期日为T , 执行价格为K 的欧式外汇期权的标的为本币兑换外币汇率S (t ) , 且本国汇率为r , 外国汇率为r f . 记欧式看涨外汇期权在t 时刻的价格为C t , 欧式看跌外汇期权在t 时刻的价格为P t , 则
(ⅰ) 对于欧式看涨外汇期权f (S T ) =(S T -(2)
+
K ) , t 时刻的价格为
3 分形外汇市场的未定权益
定价及套期保值
(t ) =(u (t ) , v (t ) ) , 其中 考虑一个资产组合θ
u (t ) 和v (t ) 分别表示t 时刻持有的外币和本币数
量, 并均为F 适应过程, 则t 时刻相应的资产组合用外币表示的价值为
V (t ) =u (t ) +v (t ) S (t ) .
(t ) =(u (t ) , v (t ) ) 称为自定义2 资产组合θ
融资的, 如果满足:
H t
C t =S (t ) e
K e
-r f (T-t )
N (d 1) -(6)
-r (T-t )
N (d 2) , t ∈[0, T ].
d V (t ) =ru (t ) d t +r f v (t ) S (t ) d t +
v (t ) d S (t ) +ρv (t ) s (t ) d t ,
0≤t ≤T. (3)
定理1 存在(Ω, F H , F t H , P H ) 下的分形布朗运动B ^H (t ) , 使得
) 为累积正态分布函数, 其中N (・
) (T -t ) +d 1={ln (S (t ) /K ) +(r -r f -ρ
2σ
(T 2H -t 2H ) }/(σ2H -t 2H ) , 2
) (T -t ) -d 2={ln (S (t ) /K ) +(r -r f -ρ
第3期苗芳等:特殊运动下的外汇期权定价 19
2(T 2H -t 2H ) }/(σ2H -t 2H ) . 2(ⅱ) 对于欧式看跌外汇期权f (S T ) =(K -
∫
d 1
∞
3
π(T 2H
-t )
2H
・
S T )
+
, t 时刻价格为P t =K e
-r (T-t )
-N (-d 2) -S (t ) e
r f (T-t )
exp d x =N (d 1) .
2(T 2H -t 2H )
N (-d 1) .
其中
d 1=
T
2H
(ⅲ) 欧式外汇看涨期权与欧式外汇看跌期权
3
平价公式为
C t +K e
-r (T-t )
-t
2H
=
=S t e
-r f (T-t )
+P t .
证明 欧式看涨外汇期权在t 时刻的价格为
2r (T-t ) +H
C t =e 珟E P H [(S (T ) -K ) |F t ]
=
e -r e -r
(T-t ) (T-t )
{ln
(S (t ) /K ) +(r -r f -ρ) ・
珟E P H [S (T ) I {S (T ) :
K 珟E P H [I {S (T ) :
K}
K}
(B H ) |P t H ]-
2
(T -t ) +(T 2H -t 2H 2
/
(B H ) |F t H ].
2H
t
2) .
令 B ^H (t ) =
μρt +) ,
σ
由定理t ) H 知{B ^H (t ) t +, 令
22H
) (T -t ) +ln (K /x) -(r -r f -ρT
d 23=.
σ
珟E P H [I {S (T ) :
K}
, (ⅰ) 、(ⅱ) 可证明6(.
5 结语
本文以Black 2Scholes 模型为基础, 根据分形市场的假设, 研究了外汇期权的定价问题, 给出外汇期权在支付红利的条件下的定价公式. 但是, 在现实的金融市场中, 期权的价格会和波动率、交易成本及时间有关, 价格会出现泊松跳等现象, 这些复杂的情况有待进一步研究. 参考文献:
[1]John C Hull. 期权、期货和其它衍生产品[M ].张陶伟
(B H (T ) ) |F t H ]=
3
d 2}
H
(B ^H (T ) ) |F t ]=
珟E P H [I {B ^H (T ) :
∫
d
∞
3
π(T 2H -t 2H ) ・
exp 其中d 2=
-d x =N (d 2) .
2(T 2H -t 2H )
T
2H
3
2H
-t
=
译. 北京:华夏出版社,2000:2042222.
[2]Black F ,Scholes M. The pricing of option and corporate
liabilities [J ].Journal of Political Economy , 1973, 81:6372654.
[3]姜礼尚. 期权定价的数学模型和方法[M ].北京:高等教
{
3
) ・ln (S (t ) /K ) +(r -r f -ρ
2
σ
(T -t ) -(T 2H -t 2H ) 2
}
/
育出版社,2003:80291.
[4]张敏, 李昶, 何穗. 几何分形Brown 运动的外汇期权定
(σ
2H
-t
2H 2H
) .
3
令B H (t ) =B ^H (t ) -σt , 则{B H (t ) }t ∈R +为Gauss
33
过程, 且存在(Ω, F H ) 上的测度P 3H 使B H (t ) 为P H 下的分形布朗运动. 令
22H
B ^H (t ) -t Z (t ) =exp σ,
2
(ρ)
则 S (t ) =x e r-r f -t Z (t ) . 令
22H
() (ρ) () ln K /x-r -f f -T -t -T
3
d 1=.
σ
珟E P H [I {S (T ) :
K}
价[J].湖北工业大学学报,2006,21(6) :75277.
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Finance [J ].
Infinite Dimensional
Analysis , Quantum Probability and Related Topics ,
(B H (T ) ) |F t H ]=
3
d 1}
H
(B ^H (T ) ) |F t ]=
珟E P H [I {B ^H (T ) :
〔责任编辑 张惠民〕