-
2a
2a
电子能带的三种图示法
1、 费米能级(等于这个系统中电子的化学势) ，它的意义是在体积不变的条件下，系统增加一个电子所需的自由能。它是温度T 和晶体自由电子总数N 的函数。 2、电子比热与晶格振动比热相比很小，如何解释呢?
这是因为尽管金属中有大量的自由电子，但只有费米面附近 k B T 范围的电子才能受热激发而跃迁至较高的能级，对金属的热容量有贡献。所以电子的热容量很小。 3、晶格的周期性势场
(1)在晶体中每点势能为各个原子实在该点所产生的势能之和；
(2)每一点势能主要决定于与核较近的几个原子实(因为势能与距离成反比) ； (3)理想晶体中原子排列具有周期性，晶体内部的势场具有周期性；
(4)电子的影响：电子均匀分布于晶体中，其作用相当于在晶格势场中附加了一个均匀的势场，而不影响晶体势场的周期性。
4、 布洛赫定理说明了一个在周期场中运动的电子波函数为：一个自由电子波函数e 与一个具有晶体结构周期性的函数
i k ⋅r
u k ()
的乘积。
（1）它是按照晶格的周期a 调幅的行波。
（2）这在物理上反映了晶体中的电子既有共有化的倾向，又有受到周期地排列的离子的束缚的特点。 （3）只有在
u k ()
等于常数时，在周期场中运动的电子的波函数才完全变为自由电子的波
函数。
（4）因此，布洛赫函数是比自由电子波函数更接近实际情况的波函数。
5、晶体的宏观特征：自限性、晶面角守恒、解理性、均匀性、晶体的各向异性、对称性、固定的熔点。 晶体的宏观特性是由晶体内部结构的周期性决定的，即晶体的宏观特性是微观特性的反映。 6、晶格： 晶体的内部结构可以概括为是由一些相同的点子在空间有规则地做周期性无限分布，这些点子的总体称为晶格。 7、基元： 在晶体中适当选取某些原子作为一个基本结构单元，这个基本结构单元称为基元。基元在空间周期性重复排列就形成晶体结构。 8、格点： 晶格中的点子代表着晶体结构中相同的位置，称为格点。一个格点代表一个基元，它可以代表基元重心的位置，也可以代表基元中任意的点子。 9、 晶格+基元=晶体结构
10、配位数: 一个原子的周围最近邻的原子数。描写晶体中粒子排列的紧密程度。可能的配位数。 有：12、8、6、4、3、2 。
11、密堆积 ：晶体由全同一种粒子组成，将粒子看作小圆球，这些全同的小圆球最紧密的堆积 密堆积所对应的配位数 最大，为12
12、布拉伐格子：由同种原子组成，而且每个原子周围的情况都一样的晶格，称为布拉伐格子。或者说，格点在空间中周期性重复排列所构成的阵列称为布拉伐格子（Bravais lattice）。即有
R l =l 1a 1+l 2a 2+l 3a 3确定的空间格子。
13、晶体可以看作是在布拉伐格子（Lattice ）的每一个格点上放上一组原子（Basis 基元）构成的。
14、晶列及晶列指数：通过晶格中任意两个格点连一条直线称为晶列，晶列的取向称为晶向，描写晶向的一组数称为晶向指数(或晶列指数) 。
[l 1l 2l 3]若遇负数，则在该数上方加一横线
15、晶面及晶面指数：在晶格中，通过任意三个不在同一直线上的格点作一平面，称为晶面，描写晶面方位的一组数称为晶面指数。
(h 1h 2h 3)
16、以布拉伐原胞基矢, b 为坐标轴来表示的晶面指数称为密勒指数，用(hkl)表示。 17、晶体X 射线衍射：（1）. 晶体衍射：X 射线衍射，电子衍射和中子衍射。（2）X 射线衍射的实验方法：劳厄法，转动单晶法，粉末法。
18、原子散射因子 定义: 原子内所有电子的散射波的振幅的矢量和（几何和）与一个电子的散射波的振幅比。
19、几何结构因子 原胞内所有原子的散射波在所考虑的方向上的振幅与一个电子的散射波的振幅之比。
20、各种不同的晶体，其结合力的类型和大小是不同的。但是在任何晶体中，两个粒子的相互作用力和相互作用能与它们间的距离的关系在定性上是相同的。
21、电离能：中性原子失去1个电子成为+1价离子时所需要的能量为第一电离能，从+1价离子再移去一个电子所需能量为第二电离能。
22、电子亲和能：中性原子获得电子成为-1价离子时所放出的能量。
23、电负性：电负性=0.18(电离能+亲和能) 原子的电负性的大小表示原子得失电子能力的强弱。
24、格波：晶体中的原子都在它的平衡位置附近不断地作微振动，由于原子间的相互关联，以及晶体的周期性，这种原子振动在晶体中形成格波。 25、晶格振动的波矢数目 =晶体的原胞数N ， 格波振动频率数目=晶体的自由度数mNn ， 独立的振动模式数=晶体的自由度数mNn 。
N 是晶体的原胞个数， n 是原胞内原子个数， m 是维数。 26、声子：晶格振动的能量量子。能量为 ω, 准动量为 q 27、长声学支格波可以看成连续波，晶体可以看成连续介质。
∙∙
2ωT ε∞0
=2
=b +b (2) ε(0) ω2122L 28、黄昆方程：LST 关系：0
=b 11+b 12 (1)
29、 极化声子： 因为长光学波是极化波，且只有长光学纵波才伴随着宏观的极化电场，所
以长光学纵波声子称为极化声子。
30、电磁声子： 长光学横波与电磁场相耦合，它具有电磁性质，称长光学横波声子为电磁声子。
31、确定晶格振动谱的实验方法：中子的非弹性散射、光子散射、X 射线散射。
P ' 2P 2
-=±() 2M n 2M n
32、 “+”表示吸收一个声子
' -=±+n “-”表示发射一个声子
ω1+ω2=ω3
33、声子与声子相互作用：
(1) (2)
1+2=3+n
⎛d U ⎫d ln ωi
P =- ⎪+γ-=γd V ⎭T V ⎝34、晶体的状态方程(格林艾森方程) ： d ln V
35、晶体的热膨胀现象：
δe ⎰=
⎰e
-∞∞-∞
∞
-u k B T
d δ
-u B T
3g =k B T d δ4c 2
36、晶体的热传导现象：
κ=C V λ1
3
κ∝
高温时：
1
T 低温时：κ∝T 3
37、 在晶格周期性势场中运动的电子的波函数是按晶格周期调幅的平面波。具有此形式的波函数称为布洛赫波函数。
38、 假定周期场起伏较小，而电子的平均动能比其势能的绝对值大得多。作为零级近似，用势能的平均值V0代替V(x)，把周期性起伏V(x)-V0作为微扰来处理。 39、 每一个布里渊区的体积相同，等于倒格子原胞的体积
V (r -R m ) 的
40、 紧束缚近似： 晶体中的电子在某个原子附近时主要受该原子势场
作用，其他原子的作用视为微扰来处理，以孤立原子的电子态作为零级近似。
dZ =
41、 E~E+dE之间的能态数目：
V
dSdk 8π3⎰
dZ =(
V
8π3
⎰
dS
) dE ∇k E
dk =
∆E ∇k E
N (E ) =
42、能态密度：
V 8π3
⎰
dS ∇k E
考虑自旋乘以2
43、费米面是K 空间占有电子与不占有电子的分界面。固体中有N 个自由电子按照泡利原理，它们的基态是N 个电子由低到高填充能量尽可能低的量子态。
k =
44、电子运动速度：
1
∇k E ()
a =
45、电子的有效质量：
11∂2E =2*
m αβ ∂k α∂k β
1F m *
46、在恒定磁场作用下，电子在k 空间的图象：电子在k 空间中的运动轨迹是垂直于磁场的平面与等能面的交线，即电子在垂直于磁场的等能线上运动。 47、实空间中电子的运动图象：沿磁场方向（z 方向），电子作匀速运动，在垂直于磁场的平面内，电子作匀速圆周运动。
48、满带：能带中所有电子状态都被电子占据。
49、导带：能带中只有部分电子状态被电子占据，其余为空态。
50、近满带：能带中大部分电子状态被电子占据，只有少数空态。 51、空带：能带中所有电子状态均未被电子占据。
52、空穴： 满带中少数电子受激发而跃迁到空带中去，使原来的满带变成近满带，近满带中这些空的状态，称为空穴。
53、自由电子气(自由电子费米气体) ：自由的、无相互作用的 、遵从泡利原理的电子气。 54、特鲁特— 洛伦兹金属电子论： 平衡态下电子具有确定平均速度和平均自由程；电子气体服从麦克斯韦— 玻尔兹曼统计分布规律。 55、索末菲模型：(1)金属中的价电子彼此之间无相互作用； (2)金属内部势场为恒定势场(价电子各自在势能等于平均势能的势场中运动) ；(3)价电子速度服从费米—狄拉克分布。 56、费米分布函数： 电子气体服从泡利不相容原理和费米— 狄拉克统计，在热平衡时，能
f (E ) =
量为E 的状态被电子占据的几率为
1e (E -E F ) k B T +1
57、费米能量E F ：在体积不变的条件下，系统增加一个电子所需的自由能。是温度T 和晶体自由电子总数N 的函数。
58、费米面：E=EF 的等能面。K 空间占有电子与不占有电子的分界面。
59、功函数： 电子在深度为χ的势阱内，要使费米面附近的电子逃离金属，至少使之获得W=χ－ＥＦ的能量，W 称为脱出功又称为功函数。 脱出功越小，电子脱离金属越容易。 60、真空能级：χ，即电子跑到无穷远处所具有的势能， χ也可看成是势阱的深度。 61、热电子发射：电子从外界获得热能逸出金属的现象
2-W k B T
j =AT e 62、发射电流密度： ---里查孙－德西曼公式
63、接触电势:两块不同的金属A 和Ｂ相接触，或用导线连接起来，两块金属就会彼此带电
产生不同的电势V A 和V B ，这称为接触电势。
V A -V B =
64、接触电势差：
1
(W B -W A ) q 接触电势差来源于两块金属的费米能级不一样
高，电子从费米能级较高的金属流向费米能级较低的金属，达到平衡时，两块金属的费米能
级相同，接触电势差补偿了原来两块金属的费米能级差。 65、弛豫时间就是电子的自由碰撞时间。
66、杂质与缺陷的存在可以改变金属电阻率的数值，但不改变电阻率的温度系数d ρ/dT。 67、共价键具有饱和性和方向性
4.4、
解：我们求解面心立方，同学们做体心立方。
（1）如只计及最近邻的相互作用，按照紧束缚近似的结果，晶体中S 态电子的能量可表示成：
E (k ) =εs -J 0-
s
Rs =近邻
∑
-ik ⋅(R s ) J (R s ) e
在面心立方中，有12个最近邻，若取R m =0，则这12个最近邻的坐标是：
①
a a a a
(1,1,0),(1, 2222a a a a
(0,1,1),(0,1,(0,(0, 2222a a a a
(1,0,1)(1,0, 2222
②
③
由于S 态波函数是球对称的，在各个方向重叠积分相同，因此J (R S ) 有相同的值，简
单表示为J 1=J (R S ) 。又由于s 态波函数为偶宇称，即ϕs (-r ) =ϕs (r )
*
∴在近邻重叠积分-J (R s ) =⎰ϕi (ξ-R s ) ⎡波函数的贡献⎣U (ξ) -V (R s ) ⎤⎦ϕi (ξ) d ξ中，
为正
∴J 1＞0。
于是，把近邻格矢R S 代入E s (R S ) 表达式得到：
s
E (k ) =εS -J 0-J 1
Rs =近邻
a a a
(k x +k y ) -i (k x -k y ) -i (-k x +k y ) -i (-k x -k y ) ⎡-i a 222
+e +e +e 2=εS -J 0-J 1⎢e
⎣
∑
e
-ik ⋅R s
+e e
a
-i (k y +k z ) 2
+e
a
-i (k y -k z ) 2
+e
a
-i (-k y +k z ) 2
+e
a
-i (-k y -k z ) 2
+
a
-i (k x +k z ) 2
+e
a
-i (k x -k z ) 2
+e
a
-i (-k x +k z ) 2
+e
a
-i (-k x -k z ) 2
⎤⎥ ⎦
=
εS -J 0-2J 1⎨⎢cos (k x +k y ) +cos (k x -k y ) ⎥+⎢cos (k y +k z ) +cos (k y -k z ) ⎥
⎩⎣
⎦
⎧⎡
a 2a 2
⎤⎡⎦⎣
a 2a 2
⎤
a ⎡⎤⎫+⎢cos (k z +k x ) +cos(k z -k x ) ⎥⎬
2⎣⎦⎭
↓cos(α+β) +cos(α-β) =2cos αcos β
=εs -J 0-4J 1⎢cos
⎡
⎣a a a a a a ⎤k x cos k y +cos k y cos k z +cos k z cos k x ⎥ 222222⎦
（2）对于体心立方：有8个最近邻，这8个最近邻的坐标是：
a a a a
(1,1,1),(1,1,(1, 2222
a a a a
(1, 2222
a a a E (k ) =εs -J 0-8J 1(cosk x cos k y cos k z )
222
s
4.7、有一一维单原子链，间距为a ，总长度为N a 。求（1）用紧束缚近似求出原子s 态能级对应的能带E(k)函数。（2）求出其能态密度函数的表达式。（3）如果每个原子s 态只有一
00个电子，求等于T=0K的费米能级E F 及E F 处的能态密度。
ika -ika
＜解＞(1), E (k ) =εs -J 0-J 1(e +e ) =εs -J 0-2J 1cos ka =E 0-2J 1cos ka
⎡ -ik ⋅R s ⎤⎢E (k ) =E -J 0-∑J (p s ) e ⎥ ⎣⎦
(2) ,N (E ) =2⨯
L dk 2Na 1N
⨯2=⨯=
2πdE π2J 1a sin ka πJ 1sin ka
(3), N =
⎰
k F
0 2Nak F Na π00
2ρ(k ) ⋅2dk =2⋅⋅2k F =∴k F =
2ππ2a
00
E F =E (k F ) =E -2J 1cos
π
2a
⋅a =E s , N (E F ) =
N
πJ 1sin
2a
=⋅a
N
πJ 1