3π
【1】 判断下面的序列是否是周期的，若是周期的，确定其周期。（1）x (n ) =A cos(πn -) ，A
78
是常数；
32π14
=，这是有理数，因此是周期序列，周期是T=14； 解：w =π,
7w 3
【2】. 设系统分别用下面的差分方程描述，x (n ) 与y (n ) 分别表示系统输入和输出，判断系统是否是线性非时变的。（1）y (n ) =x (n ) +2x (n -1) +3x (n -2) ； 解 令：输入为x (n -n 0) ，输出为故该系统是时不变系统。
y ' (n ) =x (n -n 0) +2x (n -n 0-1) +3x (n -n 0-2)
y (n -n 0) =x (n -n 0) +2x (n -n 0-1) +3x (n -n 0-2) =y ' (n )
y (n ) =T [ax 1(n ) +bx 2(n )]
=ax 1(n ) +bx 2(n ) +2(ax 1(n -1) +bx 2(n -1)) +3(ax 1(n -2) +bx 2(n -2))
T [bx 2(n )]=bx 2(n ) +2bx 2(n -1) +3bx 2(n -2)
T [a 1x (n ) +
b (n ) =]2x a 1T [x (+n ) ]
2
b T [故该系统是线性系统。x (n ) ]
（2）y(n)=x(n)sin(ωn) 解：令输入为x(n－n0) 输出为 y ′(n)=x(n－n0) sin(ωn)
y(n－n0)=x(n－n0) sin［ω(n－n0) ］≠y ′(n) 故系统不是非时变系统。 由于 T ［ax1(n)+bx2(n)］=ax1(n) sin(ωn)+bx2(n) sin(ωn)
=aT［x1(n)］+bT［x2(n)］ 故系统是线性系统。
【3】. 给定下述系统的差分方程， 试判定系统是否是因果稳定系统， 并说明理由。 y(n)=x(n)+x(n+1)
解： 该系统是非因果系统， 因为n 时间的输出还和n 时间以后（（n+1）时间）的输入有关。如果|x(n)|≤M, 则|y(n)|≤|x(n)|+|x(n+1)|≤2M, 因此系统是稳定系统
【4】. 用微处理机对实数序列作谱分析， 要求谱分辨率F ≤50 Hz ， 信号最高频率为 1 kHz ， 试确定以下各参数：(1) 最小记录时间Tp min ；(2) 最大取样间隔Tmax ； (3) 最少采样点数Nmin ； (4) 在频带宽度不变的情况下，使频率分辨率提高1倍（即F 缩小一半）的N 值。 解：（1）已知F=50 Hz，因而T p min =
11
==0. 02s F 50
（2）T max =
1f s min
T p min 0. 02s 11
==40 ===0. 5ms （3）N min =3
2f max 2⨯10T max 0.5ms
0. 04s
=80 0.5ms
（4）频带宽度不变就意味着采样间隔T 不变，应该使记录时间扩大1倍，即为0.04 s， 实现频率分辨率提高1倍（F 变为原来的1/2）。N min =
【5】设线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)和输入序列x(n)如题7图所示， 要求画出y(n)输出的波形。
x (n ) =-δ(n +2) +δ(n -1) +2δ(n -3)
按照图写出x(n)和h(n)的表达式:h (n ) =2δ(n ) +δ(n -1) +1
2
δ(n -2)
x (n ) *y (n ) =x (n ) *δ[2n +(δ)
-n (1
2
1δ)
n -(因为 δ(n =) x (n )
x (n ) *A δ(-n k =) A x (-n k )
所以
= x n 2+(x ) n -(1
2
1) x n -(
2)
将x(n)的表达式代入上式，得到y (n ) =-2δ(n +2) -δ(n +1) -0.5δ(n ) +2δ(n -1) +δ(n -2)
+4.5δ(n -3) +2δ(n -4) +δ(n -5)
【6】两个有限长序列x(n)和y(n)的零值区间为 x(n)=0 n
对每个序列作20点DFT ， 即 X(k)=DFT［x(n)］ k=0, 1, …, 19 Y(k)=DFT［y(n)］ k=0, 1, …, 19 试问在哪些点上f(n)与x(n)*y(n)值相等, 为什么？
解: 如前所述， 记fl(n)=x(n)*y(n)，而f(n)=IDFT［F(k)］=x(n) 20 y(n)。 fl(n)长度为27，长度为20。 由教材中式（3.4.3）知道f(n)与fl(n)的关系为
∞
f (n ) =
f l
(n +20m ) R
20(n )
m ∑=-∞
只有在如上周期延拓序列中无混叠的点上， 才满足f(n)=fl(n),
所以 f(n)=fl(n)=x(n)*y(n) 7≤n ≤19 ) ]
f(n)2
【7】设系统由下面差分方程描述： y(n)=y(n－1)+y(n－2)+x(n－1) （1） 求系统的系统函数H(z)， 并画出极零点分布图；
（2） 限定系统是因果的， 写出H(z)的收敛域， 并求出其单位脉冲响应h(n)； （3） 限定系统是稳定性的， 写出H(z)的收敛域， 并求出其单位脉冲响应h(n)。 解：（1）y(n)=y(n－1)+y(n－2)+x(n－1) 进行Z 变换，得到 Y(z)=Y(z)z－1+Y(z)z－2+X(z)z－1
因此
) =z -1H (z z
1-z -1-z -2=
z 2-z -1，零点为z=0 1+ 令z2－z －1=0， 求出极点： z 1=
2
，
z 2=
1-52
(2) 由于限定系统是因果的，收敛域需选包含∞点在内的收敛域，即
z >(1+5) /2
。
h (n ) =Z -1T [H (z )]=
1
2πjc
H (z ) z n -1d z H (z ) =
z z 2-z -1=z
z -z
由
，得
1z -z 2
F (z ) =H (z ) z n -1
=z n 1+z 1- 令
z -z 21z -z 2z ，得1=
2=，2 n≥0时，h(n)=Res［F(z), z1］+Res［F(z), z2］
=
z n z n
z -z (z -z 1)z =z 1z -z 21+z -z -z (z -z 2z =z 1z 22n
n
=z ⎡1z 21⎢⎛1+5n n
z z += ⎫⎪⎛ 1-5⎫⎪⎤⎥1-2z 2-z 1⎢⎣ ⎝2⎪-
⎭ ⎝2⎪⎭⎥⎦
h (n ) =1⎡⎢⎛ 1+5⎫n ⎪-⎛ 1-5⎫n
⎪⎤
⎥u (n ) 因为h(n)是因果序列，n
（3）由于限定系统是稳定的，收敛域需选包含单位圆在内的收敛域，即|z2|
n
F (z ) =H (z ) z
n -1
=
z
z -z 1z -z 2
h (n ) =Re s [F (z ), z 2]=-
1
(
1-n
① n≥0时，c 内只有极点z 2，只需求z 2点的留数，
52) 。 ②n
n
h (n ) =-Re s [F (z ), z 1⎛1]=- 1+⎫⎪ 留数，圆外极点只有一个，即z 1, 那么
5 ⎝2⎪⎭。 y (n ) =-
1⎛1-
⎫n
⎪1⎛1⎫
n
最后得：
5 ⎪⎝2⎪u (n ) -+
5 ⎪u (-n -1) ⎭ ⎝2
⎭。
【8】频域循环移位定理证明 ：DFT 的频域循环卷积定理重写如下:
设h(n)和x(n)的长度分别为N 和M
y m (n)=h(n)x(n)
H(k)=DFT[h(n)]L L ，X(k)=DFT[x(n)]
11L -1
则Y m (k ) =DFT [y m (n )]L =H (k ) OX (k ) =∑H (j ) X ((j -k )) L R L (k ) ，
L L j =0
其中 L≥max ［N ，M ］
根据DFT 的惟一性，只要证明y m (n)=IDFT[Ym(k)，就证明了DFT 的频域循环卷积定理。 ]=h(n)x(n)
⎡1L -1⎤
y m (n ) =IDFT [Y m (k )]=IDFT ⎢∑H (j ) X ((j -k )) L R L (k ) ⎥
⎢⎥⎣L j =0⎦⎤-kn 1N -1⎡1L -1
=∑⎢∑H (j ) X ((k -j )) L ⎥W N
L k =0⎢⎥⎣L j =0⎦
N -11L -1-jn 1-(k -j ) n
=∑H (j ) W N X ((k -j )) L W N ∑L j =0L k =0
令m =k -j
=
1N -1-j 1N -1-mn -mn
h (n ) ∑X ((m )) L W N =h (n ) ∑X ((m )) L W N
L m =-j L m =0
1N -1-mn
=h (n ) ∑X (m ) L W N =h (n ) x (n )
L m =0
【9】已知模拟滤波器的系统函数：H a (s ) =其转换为数字滤波器。设T=2 s。 解：①用脉冲响应不变法： H a (s ) =
1
，试采用脉冲响应不变法和双线性变换法将
2s 2+3s +1
11-1
=+
2s 2+3s +1s +s +1
2
T =2=
H (z ) =
11-e
1-T 2
+z -1
-11-e -T z -11-1
+
1-e -1z -11-e -2z -1=
1
⎛1-z -1⎫1-z -12 1+z -1⎪⎪+31+z -1+1⎝⎭
-12-2
-122
H (z ) =H a (s )
②用双线性变换法：
s =
1-z -1
1+z
=
21+z -1
(1+z )
+31+z +1+z 2
1+2z -1+z -2=
6-2z -1
【10】已知f(n)=x(n)+jy(n)， x(n)与y(n)均为长度为N 的实序列。设F(k)=DFT［f(n)]n,0≤k ≤N －1
1-b N 1-a N
F (k ) =+j k k
1-aW 1-bW N N (1)
a , b 为实数
(2) F(k)=1+jN
试求X(k)=DFT［x(n)］N ， Y(k)=DFT［y(n)］N 以及x(n)和y(n)。 解: 由DFT 的共轭对称性可知 x(n) X(k)=Fep(k) jy(n) jY(k)=Fop(k)
1-a N 1-b N
A (k ) =, B (k ) =j k -k
1-aW 1-bW N N 令
只要证明A(k)为共轭对称的，B(k)为共轭反对称， 则就会有
A(k)=Fep(k)=X(k), B(k)=Fop(k)=jY(k)
⎛1-a N
A (N -k ) = 1-aW (N -k )
N ⎝因为
*⎫1-a N
⎪⎪=1-aW k =A (k )
N ⎭，共轭对称
N N
⎛⎫1-a 1-b
B *(N -k ) = j 1-bW (N -k ) ⎪⎪=-j 1-bW k =-B (k )
N N ⎝⎭共轭反对称
1-a N
X (k ) =F ep (k ) =A (k ) =
1-aW N k
所以
111-b N
Y (k ) =F op (k ) =B (k ) =k
j j 1-bW N
H (z ) =
【11】已知FIR 滤波器的系统函数为
1
(1+0. 9z -1+2. 1z -2+0. 9z -3+z -4) 10试画出该滤
波器的直接型结构和线性相位结构。
解： 画出滤波器的直接型结构、 线性相位结构分别如题9解图(a)、 (b)所示。
【12】如果某通用单片计算机的速度为平均每次复数乘需要4 μs ， 每次复数加需要1 μs ， 用来计算N=1024点DFT ， 问直接计算需要多少时间。 用FFT 计算呢？照这样计算， 用FFT 进行快速卷积对信号进行处理时， 估计可实现实时处理的信号最高频率。
解: 当N=1024=210时， 直接计算DFT 的复数乘法运算次数为N2=1024×1024=1 048 576次 复数加法运算次数为 N（N －1）=1024×1023=1 047 552次
直接计算所用计算时间TD 为TD=4×10－6×10242+1 047 552×10－6=5.241 856 s 用FFT 计算1024点DFT 所需计算时间TF 为
T F =5⨯10-6⨯
N
lb N +N lb N ⨯10-621024
=5⨯10-6⨯⨯10+1024⨯10⨯10-6
2
=30.72 ms
快速卷积时， 需要计算一次N 点FFT （考虑到H(k)=DFT［h(n)］已计算好存入内存）、 N次频域复数乘法和一次N 点IFFT 。 所以， 计算1024点快速卷积的计算时间Tc 约为
T c =2T F +1024次复数乘计算时间
所以， 每秒钟处理的采样点数（即采样速率）
=71680 μs +4⨯1024 μs =65536 μs
F s
1024
=15 625 次/秒-6
65536⨯10
由采样定理知， 可实时处理的信号最高频率为
f max
F s 15625
应当说明， 实际实现时， fmax还要小一些。 这是由于实际中要求采样频率高于奈奎斯特速率，
而且在采用重叠相加法时， 重叠部分要计算两次。 重叠部分长度与h(n)长度有关， 而且还有存取数据和指令周期等消耗的时间。
【13】已知X(k)和Y(k)是两个N 点实序列x(n)和y(n)的DFT ， 希望从X(k)和Y(k)求x(n)和y(n)， 为提高运算效率， 试设计用一次N 点IFFT 来完成的算法。
解: 因为x(n)和y(n)均为实序列， 所以， X(k)和Y(n)为共轭对称序列， jY(k)为共轭反对称序列。 可令X(k)和jY(k)分别作为复序列F(k)的共轭对称分量和共轭反对称分量， 即 F(k)=X(k)+jY(k)=Fep(k)+Fop(k)
计算一次N 点IFFT 得到 f(n)=IFFT［F(k)］=Re［f(n)］+j Im［f(n)］
【14】已知x (n ) ={1，3，3，1}，求FFT[x (n ) ]4。
X 1(k ) =∑X 1(r ) W
r =0N
-12r =0
N -12
kr N 2
=∑x (2r ) e -j πkr =x (0) +(-1) k x (2)
r =01
1
k =0, 1
X 2(k ) =∑X 2(r ) W
kr N 2
=∑x (2r -1) e
r =0
-j πk
(2r -1) 2
=x (1) +(-1) k x (3)
k =0, 1
X 1(k ) ={x (0) +x (2), x (0) -x (2)}={4, -2} X 2(k ) ={x (1) +x (3), x (1) -x (3)}={4, 2} X 1(0) =4
X 1(1) =-2
X 2(0) =4
X 2(1) =2
X (k ) =X 1(k ) +W N k X 2(k )
X (k +
N
) =X 1(k ) -W N k X 2(k ) 2
k =0, 1
k =0, 1
X (0) =X 1(0) +W 40X 2(0) =8 X (1) =X 1(1) +W 41X 2(1) =-2-2j X (2) =X 1(0) -W 40X 2(0) =0
X (3) =X 1(1) -W 41X 2(1) =-2+2j
【15】设FIR 网络系统函数H (z ) 为H (z ) =0. 96+2. 0z -1+2. 8z -2+1. 5z -3，画出H (z ) 的直接型结构和级联型结构。
解：H (z ) =(0. 6+0. 5z -1)(1. 6+2z -1+3z -2) ，级联型结构和直接型结构如下： 级联型 直接型
311
y (n -1) -y (n -2) +x (n ) +x (n -1) ，试分别画出系483
统的直接型、级联型和并联型结构。式中x(n)和y(n)分别表示系统的输入和输出信号。
311
解：将原式移项：y (n ) -y (n -1) +y (n -2) =x (n ) +x (n -1)
483
311
将上式进行Z 变换：Y (z ) -Y (z ) z -1+Y (z ) z -2=X (z ) +X (z ) z -1
48311+z -1
则：H (z ) = -1-21-z +z 48
（1）可画出直接型结构
111+z -11+z -1
=（2）将H(z)的分母进行因式分解：H (z ) = -1-2-1-11-z +z (1-z )(1-z ) 4824
按照上式可以有两种级联型结构：
111+z -11+z -1
11⋅⋅ ①H (z ) =，级联型a ②H (z ) =，级联型b
-1-1-1-11-z 1-z 1-z 1-z 2442
11+z -1
（3）将H(z)进行部分分式展开：H (z ) = -1-21-z +z 48
1z +
H (z ) A B ==+
z (z -)(z -) z -z -2424
【16】已知系统用下面差分方程描述：y (n ) =
11z +z +17110；B = (z -) =-1A =(z -) 1=z =43112z =234(z -)(z -) (z -)(z -)
2424
107107
z z
H (z
) =-=+
1111z -z -1-z -11-z -1
2424
【17】已知FIR 滤波器的单位脉冲响应为：（1） h(n)长度N=6 h(0)=h(5)=1.5 h(1)=h(4)=2
h(2)=h(3)=3 试分别说明它们的幅度特性和相位特性各有什么特点。
解： 由所给h(n)的取值可知，h(n)满足h(n)=h(N－1－n) ， 所以FIR 滤波器具有A 类线性相位
θ(ω) =-ω
特性：
N -1
=-2. 5ω2
1
H (z ) =(1+0. 9z -1+2. 1z -2+0. 9z -3+z -4)
10 【18】设FIR 滤波器的系统函数为求出该滤波
器的单位脉冲响应h(n)， 判断是否具有线性相位， 求出其幅度特性函数和相位特性函数。
解: 对FIR 数字滤波器，其系统函数为
H (z ) =∑h (n ) Z -n =
n =0
N -1
1
(1+0. 9z -1+2. 1z -2+0. 9z -3+z -4) 10
1
h (n ) ={1, 0, 9, 2.1, 0.9,1}
10所以其单位脉冲响应为
由h(n)的取值可知h(n)满足： h(n)=h(N－1－n) N=5
所以， 该FIR 滤波器具有第一类线性相位特性。 频率响应函数H(ejω) 为
H (e j ω) =H g (ω) e j θ(ω) =
∑
n =0
N -1
h (n ) e -j ωm
1
=[1+0. 9e -j ω+2. 1e -j 2ω+0. 9e -j 3ω+e -j 4ω]10
1j 2ω
=(e +0. 9e j ω+2. 1+0. 9e -j ω+e -j 2ω) e -j 2ω10=
1
(2. 1+1. 8cos ω+2cos 2ω) e -j 2ω10
2. 1+1. 8cos ω+2cos 2ω幅度特性函数H g (ω) =
10相位特性函数为
θ(ω) =-ω
N -1
=-2ω2
【19】用矩形窗设计线性相位低通FIR 滤波器， 要求过渡带宽度不超过π/8 rad。 希望逼近的理想低通滤波器频率响应函数Hd(ejω) 为
-j ωa ⎧e ⎪
H d (e j ω) =⎨
⎪⎩0
0 |ω| ωc
ωc
（1） 求出理想低通滤波器的单位脉冲响应hd(n)；
（2） 求出加矩形窗设计的低通FIR 滤波器的单位脉冲响应h(n)表达式， 确定α与N 之间的关系；（3） 简述N 取奇数或偶数对滤波特性的影响。
解: （1）
h d (n ) =
1π1ωc -j ωαj ωn -j ωj ωn
H (e)e d ω=e e d ωd ⎰⎰-π-ωc
2π2πsin[ωc (n -α)]
=
π(n -α)
a =
N -1
2， N 为矩形窗函数长度。 因为要求过渡
（2） 为了满足线性相位条件， 要求
带宽度Δβ≤ rad, 所以要求π/8, 求解得到N ≥32。 加矩形窗函数, 得到h(n)： 4π/N 《 π/8
sin[ωc (n -a )]
h (n ) =h d (n ) ⋅R N (n ) =R N (n )
π(n -a )
⎧sin[ωc (n -a )]⎪
=⎨π(n -a ) ⎪0⎩
0 n N -1, a =其它n
N -12
(3)N取奇数时，幅度特性函数Hg(ω) 关于ω=0, π, 2π三点偶对称，可实现各类幅频特性； N 取偶数时,Hg(ω) 关于ω=π奇对称，即Hg(π)=0，所以不能实现高通、 带阻和点阻滤波特性。 【20】对下面的每一种滤波器指标， 选择满足FIRDF 设计要求的窗函数类型和长度。 （1） 阻带衰减为20 dB， 过渡带宽度为1 kHz， 采样频率为12 kHz； （2） 阻带衰减为50 dB， 过渡带宽度为2 kHz， 采样频率为20 kHz； （3） 阻带衰减为50 dB， 过渡带宽度为500 Hz， 采样频率为5 kHz。
（1） 矩形窗满足本题要求。 过渡带宽度1 kHz对应的数字频率为B=200π/12 000=π/60， 精确过渡带满足：1.8π/N≤π/60， 所以要求N ≥1.8×60=108。
（2） 选哈明窗， 过渡带宽度1 kHz对应的数字频率为B=4000π/20 000=π/5， 精确过渡带满足： 6.6π/N≤π/5， 所以要求N ≥6.6×5=33。
（3） 选哈明窗， 过渡带宽度1 kHz对应的数字频率为B=1000π/5000=π/5， 精确过渡带满足： 6.6π/N≤π/5， 所以要求N ≥6.6×5=33。