基于能量分布的轨道车辆动力学系统可靠性分析
郑明亮
(浙江理工大学 杭州 310018）
摘要：为研究轨道车辆随机振动系统动力可靠性，根据分析动力学中的Hamilton 正则方程，建立考虑轨道不平顺与结构自身参数随机因素共同作用的车轨悬挂2自由度复合随机振动模型。将系统的广义能量停留在安全域内的概率作为动力可靠性指标，运用拟不可积Hamilton 系统随机平均法，求出系统动力响应Hamilton 函数幅值的均值和方差。依据顺序统计理论和随机变量函数的矩法求出系统动力可靠度的均值和方差的计算公式。通过算例，分析轨道轨道不平顺和车辆物理参数的随机性对系统动力可靠度随机性的影响，为系统结构参数优化设计和最优控制策略等奠定基础，对保证高速列车更安全平稳运行提供参考。 关键字：轨道车辆；Hamilton ；均值和方差；动力可靠性
Reliability analysis of railway vehicle dynamics system
based on energy distribution
Zheng Ming Liang
(Zhejiang Sci-Tech University, Hangzhou 310018)
Abstract :In order to study the dynamic reliability of the random vibration system of the track vehicle, the random vibration model of the 2 degree of freedom of the vehicle rail suspension is established by considering the random factors of the track irregularity and the structural parameters. The generalized energy of the system is used as a dynamic reliability index, and the mean and variance of the amplitude of the system is obtained by using the stochastic averaging method of the Hamilton system. The calculation formula of the mean and variance of the system dynamic reliability based on the order statistics theory and the moment method of the random variable function. Effects of random through examples and analysis of track irregularity and vehicle physical parameters of the power system reliability degree of randomness, as the system structure parameters optimization design and optimal control strategy to lay a foundation, to ensure the high speed train more safe and stable operation of the reference.
Key words:Rail vehicles; Hamilton; mean and variance; dynamic reliability
0引言：
随着当前我国高速铁路和城市轨道交通的快速发展，车辆行驶安全可靠性是现代高速列车选择的基本指标之一，高速轨道车辆重载运行时，轮轨间作用力突增，车辆悬挂系统的垂向受迫振动加剧，当系统振动能量达到储存极限时，系统可靠性会被破坏，车辆发生首次穿越脱轨失效，严重会造成重大伤亡事故。因此，有必要对高速列车的可靠性展开深入研究，而车辆系统的参数分析对于改善其可靠性具有重要参考价值。目前轨道车辆系统的研究主要集中在列车-轨道各结构件的合理力学模型、系统耦合动力学方程的推导和高效数值计算方法以及应用虚拟样机的CAE 技术建模来研究系统的性能动力学仿真计算，如ADAMs/Rail建模、SIMPACK 建模、DADS 、以及软件联合建模等。翟婉明[1]完成了《车辆—轨道耦合动力学》一书，该书从最初的垂向耦合动力学研究，到后来的横向耦合动力学研究，再到随机振动研究，逐渐形成了完整的理论体系。国内还有曾庆元[2]、陈果[3]、雷晓燕[4]等众多学者也从不同的角度研究了铁路车辆系统动力学问题，并取得了一系列丰富成果。在轨道车辆系统的可靠性分析中，刘伟渭等[5-6]主要研究了铁路车辆约束轮对的随机稳定和随机可靠性，研究内容忽略列车轨道耦合作用。王长一和张义民[7]进行了高速动车组转向架构架可靠性及可靠性灵敏度分析，该文用NASTRAN 有限元和Monte-Carlo 方法计算了转向架的可靠度。王洪礼等[8]研究了带有记忆合金弹簧的汽车半主动悬架系统在随机激励作用下，稳定性被打
破后，系统发生的动力学行为以及相应需要采取的控制策略。含半主动悬架系统的车辆随机动力学和可靠性的研究还有文献[9-10]。
目前同时考虑轨道车辆结构参数和轨道不平顺荷载随机性的系统动力可靠性分析研究成果较为鲜见。本文研究了轨道车辆系统在轨道不平顺多谐波和平稳高斯白噪声随机激励作用下，车轨悬架系统广义能量的随机响应过程统计特性和系统发生首次穿越失效的寿命分布问题，还考虑了车辆本身结构参数的随机变异性对系统的动力可靠性的影响，这样的分析更能反映系统的真实行为，同时也是满足理论发展的需要。
1基于Hamilton 原理的列车随机动力学模型
研究表明，造成环境振动的主要原因是轨道车辆垂向荷载，而列车侧滚及横向振动荷载往往是忽略不计的。仅考虑列车系统的垂向动力响应，忽略碰撞及接触等非线性因素，并且假定钢轨是完全刚性的。通常车体在纵向和横向都是对称的，忽略轮轨之间的弹跳作用以及车体的摇摆和点头作用的影响[11]。建立轨道车辆系统随机几何模型见图1：
图1车辆悬架系统垂向振动简化模型
假定轮轨为绑定接触，建立系统Lagrange 方程为：
2+c 2(y 2-y 1) +k 2(y 2-y 1) =0y ⎧m 2 （1） ⎨ 1-c 2(y 2-y 1) -k 2(y 2-y 1) +c 1(y 1-r (t )) +k 2(y 1-r (t ) -W (t )) =0y ⎩m 1
式中: W (t ) 为均值0，强度2D 的高斯白噪声. r (t ) 为轨道不平顺多谐波激扰。
式(1)的系统定义了一个具有弱阻尼随机激励的拟Hamilton 系统。设系统广义坐标
1, p 2=y 2-y 1，q 1=y 1, q 2=y 2-y 1和广义动量p 1=y 式(1)整理变形如哈密顿正则方程为：
1=p 1⎧q ⎪c k c k c k k ⎪p 1=2p 2+2q 2-1p 1-2q 1+1r (t ) +2r (t ) +2W (t ) （2）m m m m m m m ⎪1111111⎨ 2=p 2⎪q
⎪c k c k c k c k k 2=-2p 2-2q 2-(2p 2+2q 2-1p 1-2q 1+1r (t ) +2r (t ) +2W (t )) ⎪p m 2m 2m 1m 1m 1m 1m 1m 1m 1⎩
则系统的 Hamilton 函数(广义能量) 可以表示为：
11k k k H =(p 1) 2+(p 2) 2+2(q 1) 2+（2+2）(q 2) 2 （3）222m 12m 22m 1
2系统的随机动力响应统计特征分析
根据拟不可积Hamilton 系统的定义及性质，可知系统(2)依概率收敛到一维Itö扩散过程，以H 表示这一极限扩散过程，则支配该随机过程的Itö随机微分方程为：
dH =μ(H ) +σ(H ) dB (t ) （4） 其中，B (t ) 是标准Weiner 过程，μ(H ), σ(H ) 分别是随机过程的漂移系数与扩散系数。使用拟不可积Hamilton 系统的随机平均法[12]，得到：
1∂2H ∂2H ∂2H ∂2H ∂H μ(H ) =[(-m -m -2m +ξξ) /]dq 1dq 2dp 1dp [1**********]22T (H ) ⎰Ω∂p 1∂p 2∂p 1∂p 2∂p 1∂p 2∂p 1
1∂2H ∂H σ(H ) =[(ξξ) /]dq 1dq 2dp 1dp 21122T (H ) ⎰Ω∂p 1∂p 2∂p 1
T (H ) =⎰(1/Ω
Ω={(q 1, q 2, p 1, p 2) H (q 1, q 2, 0, p 2) ≤H }
其中：m 11=∂H ) dq 1dq 2dp 1dp 2∂p 1 (5) c 1c k c k c c , m 12=(-2p 2-2q 2) /p 2, m 21=（-1p 1-2q 1）/p 1, m 22=2+2 m 1m 1m 1m 1m 1m 2m 1ξ11=ξ12=k 2m +m 2k 22D ，令w 12=1k 2, w 2=1, 带入(5)计算可得漂移和扩散系数： m 1m 1m 2m 1
w 1w 28D πk 12(2m 1+3m s ）c 24πc 12μ(H ) =[-H -H 0]02πm 12m 1m 23k 2
σ(H ) =2Dw 1w 2k 1H 0m 12 (6)
其中H 0∈(H min , H c ) 为系统的初始能量值。
3系统的动力可靠度分析
车辆悬挂系统受随机参激不稳定和受轨道不平顺随机外激时，系统将在较大范围内作随机运动，系统广义能量状态停留在安全域内的概率就是可靠性。系统状态首次越出安全域就意味着损坏，系统状态首次穿越安全域边界的时间就是寿命。根据动态应力—强度干涉理论，动态可靠性可以定义为：
R H (X , t ) =Pr {H min ≤H (X , t ) ≤H C } （7） 将系统广义能量随机过程H (X , t ) 离散化为n 个随机变量H i ，其大小取为第i 个时段的均
值。这样就把设计期内系统广义能力状态响应函数离散为n 个样本，随机能量载荷作用n 次时系统的可靠度等价于n 个载荷样本中最大载荷值所对应的可靠度。载荷样本中的最大载荷可定义为载荷作用 n 次时的等效载荷。由顺序统计量理论可知[13]，随机载荷作用 n 次时的最大能量载荷H max 实际上就是由载荷样本H 1, H 2,..., H n 所决定的最大顺序统计量H (n ) 。设单位时间内能量载荷出现一次，即t =n ，则
F H max (z ) =Pr(H 1≤z ) ⋅Pr(H 2≤z )... ⋅Pr(H n ≤z ) =[F H (z )]t
max R (X , t ) =F H (H c ) -F H max (H min ) （8）
λ(X , t ) =-R '(X , t )
R (X , t )
对于文中所考虑的悬挂系统，因其物理参数具有随机性，这将导致结构的动力可靠度亦具有随机性。利用求解随机变量函数数字特征的矩法[14]，可推得随机参数系统广义能量动力可靠度的均值和方差分别为：
μR
H (X , t ) =R H (, t )
∂R (X , t ) =∑[H
∂x i i =1m X =σR H (X , t ) ]⋅[σ(X i )]2 （9）
其中，m 为结构物理随机变量的数目。
全局灵敏度分析可以帮助了解影响系统功能各设计参数的相对重要程度，从而可以在设计和优化中优先或者重点考虑重要性程度高的设计参数或者忽略重要性程度低的设计参数，为系统工程设计和优化提供重要的指导。基于方差的重要性测度模型为： S i =
其中，Var Var (R X i ) Var (R ) (10) (R x i ) 为单独只在x i 不确定作用下可靠度R 的条件方差。
4算例说明
本文的轨道车辆系统算例参数参照下表1：
取地铁列车的速度v=60 km /h，则多波简谐激扰位移输入模型为：
r (t ) =2. 7-2. 5cos 10. 47t -0. 15cos 104. 75t -0. 05cos 209. 44t
计算时取安全域边界H 0=0. 2, H min =0, H c =10，得到不同白噪声强度下系统平均动力可靠性函数(图2) 。
H 0=0.2
可靠度函数R (t ) 2tx10/无量纲
图2不同噪声强度下可靠度函数
由图中看出，随噪声强度系数D 值的增加，可靠性函数R (t ) 减小越快；首次穿越时间概率密度峰值会变大，发生首次穿越的时间会提前; 即系统可靠性能与轨道随机因素强弱有直接关系，轨道不平顺变化范围较大将使系统不易控制自身性能。
本文四个物理参数k 1, k 2, c 1, c 2基于方差的重要性测度为[0. 46, 0. 18, 0. 25, 0. 11], 可以看出在所设计悬挂系统可靠性性主要受一系支撑刚度k 1随机变动的影响最大，一系支撑刚度的恒定是实现系统可靠性的主要因素，应对其设计的不确定性严格优化和控制。
总结语：
考虑轨道不平顺外激和结构自身参激实际情况，建立轨道车辆悬挂系统垂向随机动力学模型，并通过Hamilton 函数满足的正则方程将系统广义能量表示为一维Itö扩散过程。在此基础上用拟不可积Hamilton 系统随机平均法求出系统广义能量随机过程响应幅值的统计特性，并利用顺序统计理论求出系统平均动力可靠性函数及首次穿越概率密度函数，结合随机变量代数矩法求出结构各随机物理参数的重要性测度。研究结果表明：轨道不平顺随机噪声和结构物理参数的随机机理会引起系统的动力可靠度随时间下降，且变异越大，下降越快。
应对车辆垂向振动能量进行监测、控制，使其维持在脱轨能量或失稳能量以下，并使系统耗散能力始终大于系统所增能量，以保障轨道车辆的安全运行，尤其对高速列车。
参考文献
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