案例60 物理学中常用的几种科学思维方法
进入高三，高考在即。如何在高三物理复习中更好地提高学生的科学素质、推进知
识向能力转化、提高课堂教学的效率和质量，是摆在每个老师和学生面前的重要课题。物理教学中不仅要注重基础知识、基本规律的教学；更应加强对学生进行物理学研究问题和解决问题的科学思维方法的指导与训练。英国哲学家培根说过：“跛足而不迷路，能赶过虽健步如飞，但误入歧途的人”。学习也是这样，只有看清路，才能少走或不走弯路。可见，掌握物理学科的特点，熟悉物理研究问题和解决问题的方法是至关重要的。学好中学物理，不只是一个肯不肯用功的问题，它还有一个方法问题，掌握正确的思路和方法往往能起到事半功倍的效果。下面我们从高中物理综合复习教学的角度，通过对典型问题的分析、解答、训练，介绍常用的几种科学思维方法，以期达到减轻学生负担提高复习效率的目的。
1．模型法
物理模型是一种理想化的物理形态，将复杂的问题抽象化为理想化的物理模型是研
究物理问题的基本方法。科学家通常利用抽象化、理想化、简化、类比等把研究对象的物理学本质特征突出出来，形成概念或实物体系，即为物理模型。模型思维法就是对研究对象或过程加以合理的简化，突出主要因素忽略次要因素，从而解决物理问题的方法。从本质上说，分析物理问题的过程，就是构建物理模型的过程。通过构建物理模型，得出一幅清晰的物理图景，是解决物理问题的关键。实际中必须通过分析、判断、比较，画出过程图（过程图是思维的切入点和生长点）才能建立正确合理的物理模型。
[例1] 如图1－1所示，光滑的弧形槽半径为R （R>>MN弧），A 为 弧形槽的最低点，小球B 放在A 点的正上方离A 点高度为h 处，小球C 放在M 点，同时释放，使两球正好在A 点相碰，则h 应为多大？ 解：对小球B ：其运动模型为自由落体运动， 2h 下落时间为 tB ＝ g
对小球C ：因为R>>MN弧，所以沿圆弧的运动模型是摆长等于R 的单摆
做简谐振动，从M 到A 的可能时间为四分之一周期的奇数倍
所以 tC ＝R (2n +1) T c Tc ＝2πg 4
(2n +1) 2π2R 解得：h ＝． （n ＝0，1，2„„） 8
【评注】
解决本题的关键就在于建立C 小球的运动模型——单摆简谐振动，其圆弧的圆心相当于单摆的悬点，圆弧的半径相当于单摆的摆长，只要求出C 小球运动到A 点的时间，问题就容易解决了
[例2] 在光滑的水平面上有三个完全相同的小球排成一条直线，其中2、3小球静止，并靠在一起。而1小球以速度v 0朝它们运动，如图1－2所示，设碰撞中不损失机械能，则碰后三小球的速度的可能值是
（A ）v 1＝v 2＝v 3＝v 0
3 （B ）v 1＝0, v2＝v 3＝v 0
2
1
（C ）v 1＝－v 0/3, v 2＝v 3＝2v 0（D ）v 1＝v 2＝0, v3＝v 0
解：依题意碰撞无机械能损失，小球之间的碰撞一定是弹性碰撞，这里关键是如何建立正确的碰撞过程模型。若把
2、3两小球看成整体，建立1小球和2、3小球之间的两体碰撞模型就会得出（C ）答案错误结论。其实2、3小球只是
靠在一起并没有连接，加之碰撞过程的位移极小，必须建立
三小球之间依次碰撞的过程模型，由两球弹性碰撞得速度依
次交换，所以（D ）正确
【评注】
本题关键在于建立正确地符合客观规律的小球碰撞模型——两两依次碰撞，要做到这一点必须掌握好基本概念和基本规律，认真分析题意，抓住问题的本质才行。
[例3] 如图1－3所示，有一根轻质弹簧将质量为m 1和m 2的木块连在一起并置于水平面上，问必须在m 1上至少加多大的压力，才能在撤去压力后，
m 1弹起来恰好使m 2离开地面？ 解：用力F 向下压m 1到A 位置放手后，m 1和弹簧应看成弹簧振 子模型。在A 位置放手时F 即为回复力，由振子特点知振动到最高
点B 时回复力向下也为F ，又从m 1的受力知：F ＝F 弹＋m 1g 从m 2 受力知恰好离地有：F 弹＝m 2g 所以 F＝（m 1＋ m2）g
【评注】 正确的建立模型对突出问题的本质是十分重要的，本题巧妙利 用振子模型，抓住本质，出奇制胜。 图1－3 【针对训练】 1. 如图1－4所示，具有圆锥形状的回转器（陀螺）．绕它的轴在光滑的
桌面上以角速度ω快速旋转．同时以速度v 向左运动，若回转器的轴一直保
持竖直，为使回转器从左侧桌子边缘滑出时不会与桌子边缘发生碰撞，v 至
少应等于
（A ）ωR （B ）ωH （C ）R
图1－4 2 ．如图1－5所示，A 中一质量为m 的物体系于长度分别为l 1、l 2的两
根细线上，l 1 的一端悬挂在天花板上，与竖直方向夹角为θ，l 2水平拉直，物体处于平衡状态；B 中与A 相同只是将l 1换成轻弹簧。现将A 、B 两图中l 2线剪断，求剪断瞬时物体的加速度。
3．跳起摸高是中学生进行的一项体育活动，某同学身图1－5 高1.80m ，质量65kg, 站立举臂手指能摸到的高度是
2.25m ，此同学从用力蹬地到竖直跳离地面历经0.3s,
2设他蹬地的力大小恒为1300N ，求该同学（g ＝10m/s）(1)刚跳离地面时的速度；（2）跳
起可摸到的高度。
2 2g g （D ）R H 2H
2．等效法
当研究的问题比较复杂，运算又很繁琐时，可以在保证研究对象的有关数据不变的前提下，用一个简单明了的问题来代替原来复杂隐晦的问题，这就是所谓的等效法。在中学物理中，诸如合力与分力、合运动与分运动、总电阻与各支路电阻以及平均值、有效值等概念都是根据等效的思想引入的。教学中若能将这种方法渗透到对物理过程的分析中去，不仅可以使问题的解决变得简单，而且对知识的灵活运用和知识向能力转化都会有很大的促进作用。
[例1] 如图1－6所示，一质量为m 、带电量为十q 的小球从磁感应强度为B 的匀强磁场中A 点由静止开始下落，试求带电小球下落的最大高度？
解： 这个问题中带电小球运动轨迹是比较复杂的曲线，对学生而言
分析这个问题比较困难，容易错误的认为小球到达最低点时，所受洛仑兹
力和重力平衡。实际上小球做曲线运动，它的受力是不平衡的。将小球刚
运动时的静止状态等效为向左、右两个方向大小相等的水平初速度V 01、
V 02，现使小球向右的分运动V 01产生的洛伦兹力恰好与重力平衡，则有qV 01B 图1－6 ＝mg
因而得 V01＝mg ／qB 故小球的运动可视为水平向右以速度出V 01做匀速直线运动和在竖直平面内以速度V 02沿逆时针方向的匀速圆周运动的合运动。匀速圆周运动的半
2径R ＝mV 02/qB＝g （m/qB），因而小球在运动过程中下落的最大高度为
2Hm ＝2R ＝2g （m ／qB ）
【评注】
通过深入分析，将原来的复杂曲线运动等效为水平方向匀速直线运动和竖直面内匀速圆周运动，巧妙地解答了这个复杂问题，这样可以培养学生的创新思维能力。
[例2] 如图1－7所示，一条长为L 的细线，上端固定下端拴一质量为m 的带电小球，将它置于一匀强电场中，电场强度大小为E ，方向水平向右，已知当细线离开竖直位置偏离α时，小球处于平衡。求：（1）小球带何种电荷？求出小球所带电量。（2）如果使细线偏离竖直线由α增大到ϕ，然后将小球由静止释放，则ϕ应为多大时，才能使在细线到达竖直位置时小球的速度刚好为零？
解：（1）小球带正电，小球受重力mg 、电场力qE
以及细线拉力T 三力作用，当偏角为α时，小球平衡，
则重力与电场力的合力与细线的拉力等值反向，根据平
衡条件可求出q 的大小为 q＝mgtg α/E
（2）求ϕ，常规的解法是应用能量守恒或动能定理，
但若把电场、重力场等效为合重力场，则等效合重力场
图1－7 的方向为OO ’连线方向，如图1－8所示。则解题更为
新颖、简洁．小球在偏角为ϕ时的A 点由静止释放后，图1－8 围绕着O ’O 连线在AB 范围内振动，小球受细线的拉力22和一个合重力，大小为(mg ) +(qE ) ，它的振动与课本中的单摆振动相类似，立即
可得O ’O 是ϕ的平分线，如图1－8，所以ϕ＝2α。 进一步推论：等效重力加速度g ’
22＝ (mg ) +(qE ) /m ；若小球绕O 做圆周运动等效最高点：在O ’关于O 的对称点上；
若α小于5°可等效为单摆简谐振动，其周期为：T ＝2π
【评注】
3 l g '
用等效法解本题的关键在于正确得出等效重力，然后再利用单摆的振动关系得出结
论。其推论实际中应用很广。
[例3] 试分析用《伏安法测量电池的电动势和内阻》实验的
实验误差．
解： 如图1—9为测量电动势和内阻实验电路图．其原理是
根据闭合电路的欧姆定律：ε0＝U ＋Ir 0 实验中，由于电表的接人
而产生了分流或分压作用，因此使得测量值与真实值之间存在一
差值，为了能很快地得出实验误差的大小。我们采用等效电源法。
实验中测出的电动势和内阻就是方框所包围的等效电源的电动势
。然后再比较测量值ε’、r ’与真实值ε0、r 0的数ε’和内阻r ’
量关系便能得出实验误差的大小。 如图1－9所示，等效电源的
电动势和内阻分别是：ε’＝图1－9 R v R v ε0 r’＝ r 0 则测量值与真实值之间R v +r 0R v +r 0
r 02r 0ε0 ∆r ＝r ’－ r0＝－的绝对误差分别是： ∆ε＝ε’－ε0＝－ R v +r 0R v +r 0
这说明测量值都小于真实值。
【评注】
等效电源法是将虚框内的电路看成一个等效电源，等效电源的电动势为ε’，内阻为 r ’，由这样一个等效电源向R 供电。可见等效电动势等于方框外的
路端电压，内电阻等于方框内的总电阻。
【针对训练】
1. 如图1－10所示，Rx 与R 1串联．问Rx 等于多少时Rx 获得
最大功率？最大动率为多少？若使R 1获得功率最大，则Rx 的值为多
少？最大功率是多少？ 图1－
10
2．如图1－11质量为2m 的均匀带电球M 的半径为R ，带电量为＋Q ，
开始静止在光滑的水平面上，在通过直径的直线上开一个很小的绝缘、
光滑的水平通道。现在球M 的最左端A 处，由静止开始释放一质量为m 、
带电量为－Q 的点电荷N 。若只考虑静电力，试求点电荷运动到带电球M
的球心时受到的力及所需的时间？
图1－
11
3. 如图1－12，电源电动势为ε内阻力r ，R O 为定值电阻，则R 1为
何值时，R 1消耗的功率为最大？并求出其最大值P max =？
图1－12
4. 如图1－13所示，一弹性细绳穿过水平面上光滑的小孔O 连接一质
量为m 的小球P ，另一端固定于地面上A 点，弹性绳的原长为OA ，劲度系数为k 。现将小球拉到B 位置OB ＝L ，并给小球P 以初速度v 0，且v 0垂直OB ．试求：（1）
小球绕 O点转动 90°至 C点处所需时间；（2）小球到达C 点时的速度。
4
图1－13
3．极端法
所谓极端法，就是依据题目所给的具体条件，假设某种极端的物理现象或过程存在
并做科学分析，从而得出正确判断或导出一般结论的方法。这种方法对分析综合能力和数学应用能力要求较高，一旦应用得恰当，就能出奇制胜。常见有三种：
极端值假设、临界值分析、特殊值分析。
极端值假设
[例1]物体A 在倾角为θ的斜面上运动，如图1－14所示。若初速
度为V 0，它与斜面间的摩擦系数为μ，在相同的情况下，A 上滑和下滑图1－14 的加速度大小之比为
（A sin θ-μcos θsin θ+μcos θ （B （C ）μ＋tg θ （D ）μcos θ-sin θsin θ-μcos θ
μcos θ sin θ-μcos θ
解：本题常规解法：现对A 进行受力分析，再用牛顿第二定律求出上滑、下滑的加速度表达式，最后求出比值，得出答案。这样做费时易错。若用极端假设法求解，则能迅速准确地排除错误选项，得出结果。其步骤是：a) 选参变量，做极端假设。取μ为参变量，令其为最小值，即μ＝0 b）进行极端分析。在μ＝0的情况下，A 上滑、下滑加速度应相等为:gsinθ, 二者之比等于1。把此极端值μ＝0代入所给选项中，发现（A ）
（B ）（C ）均不合要求, （B ）却满足要求，故应选（B ）
【评注】
用极端假设法解题最关键是准确、迅速地选出参变量。其一般原则是：1）被选参变量存在极值，否则不能选；2）当赋予该参变量某一特定值后，不改变题目所给的物理过程或状态，否则不能选。本题就不能选θ做为参变量，这将改变题目描述
的运动形式。
临界值分析
[例2] 一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，
母线与轴线间的夹角为θ＝30°，如图1－15所示。一条长为L 的细绳，
一端拴着一个质量为m 的物体。物体沿锥面在水平面内绕轴线以速度V 做
13gL 时绳对物体的拉力；gL 匀速圆周运动，求（1）当V ＝（2）当V ＝62图1－15
时绳对物体的拉力。
解：本题涉及临界条件是：物体对锥面压力为零时，物体的速度值。如图1－15，物体受重力mg 、锥面的支持力N 、绳的拉力T 三个力作用，将三力沿水平方向和竖直方向
V 2
分解，由牛顿第二定律得：Tsin θ－Ncos θ＝m ①Tcos θ－Nsin θ＝mg L sin θ
V 2cos θ② 由①②两式得：N ＝mgsin θ－m 可见，θ一定，V 越大，N
越小，L sin θ
当V 增大到某值V 0时，N ＝0时，即V 0＝
gL 因N 为支持力，不能为负值，故当65
V>V0时物体离开锥面，物体飘起绳与轴线夹角增大到某值α。
（1） 当V ＝1gL 时V
V 2
θ+m代入数字得T ＝1.03mg L
3gL 时,V>V0物体飞离锥面，此时物体只受重力mg 和拉力T 作用，设绳与(2) 当V ＝2
mV 2
轴线的夹角为α: Tsinα＝ ③ Tcosα＝mg ④ L sin
将V 代入③④两式消去α可得 2T－3mgT －m g T ＝0 解取合理值 T＝2mg
【评注】
本题涉及到物体随速度增大将要飘离锥面的临界问题，故要用临界分析法来解题。
临界分析法，就是找出问题的临界条件，算出关键物理量的值进行分析比较，得出在不同条件下物体不同的状态，从而求出结果。本题关键在求出N ＝0时的速度值即临界条件。 特殊值分析法
[例3] 如图1－16，两点电荷所带电量均为＋Q ，A 处有一电子沿两电荷连
线的中垂线运动，方向指向O 点。设电子原来静止，A 点离O 点足够远，电子
只受电场力作用那么电子的运动状态是
（A ）先匀加速，后匀减速 （B ）加速度越来越小，速度越来越大 （C ）
加速度越来越大，速度越来越小 （D ）加速度先变大后变小，最后变为零 图1－16 解：本题如定量分析有些困难，但用特殊值分析法，变得相当容易，且概
念清晰。设A 点在无限远，其电场强度为零，那么电子所受电场力为零；而在O 点处的场强也为零，故电子在O 点处受电场力亦为零；所以，电子在从A 向O 运动的过程中，所受电场力必有一个最大值，因此电场力一定由小到大，再由大到小至零。由牛顿第二定律知：加速度的值应是先由小变大，再由大变小，以至最后变为零；但速度是一直增大的，可见正确答案为（D ）
【评注】
在用特殊值分析法解题时，分析相关物理量的变化，必须注意变化过程中 “拐点（转折点）” 的存在性，“拐点”的寻找时关键
【针对训练】
1. 一轻质弹簧，其上端固定下端挂一质量为m 0的平盘．盘中有质量为m 的物体．当平盘静止时，弹簧长度比其自然长度伸长了L ， 今向下拉平盘使弹簧再伸长ΔL 后停止，然后放开手。设弹簧始终处在弹性限度之内，则刚放手时盘对物体的支持力为：
（A ）（L ＋ΔL ）/Lmg (B) （L ＋ΔL ）/L（m 0＋m ）g （C ）(ΔL/L)mg
(D) ΔL/L（m 0＋m ）g
2．如图1－17所示，一条形磁铁沿着水平方向从左向右运动，
试问当穿过与运动方向垂直的闭合线圈时，下列说法正确的是哪一N O S 个 （A ）闭合线圈中的感生电流方向不变，如图所示； （B ）闭合线圈中的感生电流方向不变，与如图所示方向相反；（C ）闭合线
圈中的感生电流方向起初如图所示方向，后来与图示方向相反； 图1－17 （D ）闭合线圈中的感生电流大小、方向都不变。
6 222
3. 如图1－18的电路中，总电压U 保持不变，滑动变阻器的总电阻力2R ，当滑动触头P 位于中点O 时，电流表A 1、A 2、A 3、A 4示数均为I O 。则当P 位于O ’
位置时 [ ]
(A) A1的示数大于 IO (B) A2的示数大于 IO
(C) A3的示数大于 IO (D) A4的示数大于 IO
4．逆思法
在解决问题的过程中为了解题简捷，或者从正面入手有一定难度，图1
－18 有意识地去改变思考问题的顺序，沿着正向（由前到后、由因到果）思
维的相反（由后到前、由果到因）途径思考、解决问题，这种解题方法
叫逆思法。是一种具有创造性的思维方法，通常有：运用可逆性原理、运用反证归谬、运用执果索因进行逆思。
运用可逆原理进行逆思
[例1]．一颗子弹以700m/s的速度打穿同样的、并排放置的三块木板后速度减为零，如图1－19所示。问子弹在三块木板中运动的
时间之比是多少？
解：此题正向思维按匀减速直线运动来解，比较繁琐。但根据运
动的可逆性，倒过来从后到前，将子弹的运动看成是初速度为零的匀
加速直线运动，问题就变得很简单。即初速度为零的匀加速直线运动
通过连续相等位移的时间比，所以,t 3∶t 2∶t 1＝1∶（2－1）∶（-2） 因此t 1∶t 2∶t 3＝（3-2）∶（2－1）∶1
【评注】
物理学中可逆性过程如：运动形式的可逆性、时间反演的可逆性、光路可逆性等往往正向思维解题较繁难，用逆向思维则简单明了。
运用反正归谬进行逆思
[例2] 如图1－20所示，在水平放置的长方体空间内，
有与y 轴平行的等距离平行线，是用来描述真空中水平方向的
某种均匀场的示意图（长方体外的空间场的强度为零）。现有质
量较大的带电粒子q ，从A 点以速度V 0沿AC 方向进入场中，且
正好从C ’方向离开该场。试问这一组平行线是电场的电场线、
磁场的磁场线和电场的等势线，这三种线中的哪一种？并用m 、图1－20 V 0、L 和q 来表示这个场的强度（图中截面为边长L 的正方形AD
＝2L ，CE ＝L ）。
解： 要确定这组平行线是电场的电场线、磁场的磁场线还是电场的等势线，只能用反正法。假设是电场线，那么粒子沿AC 方向进入场后，受竖直向下的重力和与y 轴平行的电场力作用，这样粒子运动轨迹一定在ADEC 平面内，不可能从C ’点沿CC ’方向离开电场，故不会是电场线。
再假设这组等距离平行线是磁场线，则粒子进人场后，在y 轴方向不受力作用。因此，沿y 轴方向的水平分速度V 0cos45°保持不变，即等于粒子最后从C ’点沿CC ’方向离开时的速度V 在y 轴方向的水平分速度Vcos45°由此可知V ＝V 0 。由于粒子的质量较大，应考虑重力的作用，而洛仑兹力对粒子不做功，这样粒子的机械能应守恒，但从进入场中时机械能为11mV 02，离开时机械能为mV 02＋mgL, 显然械能不守恒，所以也不22
7 可为磁场线．即使不考虑重力作用。粒子虽有可能以大小和方向与V 0都相同的速度离开该场，但也不可能在C ’处（这可从粒子做螺旋运动的周期去分析）。
最后假设这组等距离平行线是等势线，则电场线应与x 轴平行。粒子进人电场后，同时受到竖直向下的重力和水平向里的电场力作用（设粒子为正电荷，电场强度方向水平向里）。这时粒子在y 轴方向作匀速运动，竖直方向作竖直上抛运动，水平向里作匀加速运动。粒子从C ’点沿CC ’离开电场时，竖直上升的速度为零，上升高度为L ；沿y 轴方向的位移为2L 。这同射出角为45°的斜抛运动是完更符合的。因为竖值上升的高度
V 02sin 245︒V 02V sin 45︒L ＝＝上升时间t ＝0，这时沿y 轴方向的位移刚好是S ＝2g 4g g
V 02tV 0cos45°＝＝2L 至于要满足水平向里的速度为V 0sin45°, 和水平向里的位移为2g
1L ，只要粒子所受电场力等于重力就可以了。最后根据：EqL ＝mV 02sin 245︒ 即得电2
mV 02场强度 E＝ 4gL
【评注】
反证归谬是逆向思维的常用方法，基本思路是：（1）反设，即假设问题结论的反面正确；(2)归谬，从这个临时假设出发，利用已知条件进行正确的推理，推导出谬误的结论；（3）结论，指出反设错误，由排中律确定原来结论是正确的。它是通过否定反面，来肯定正面的。
运用“执果索因”进行逆思
[例3] 长度为L 的橡皮带，一端拴住一个质量为m 的小球，以另一端为中心，使小球在光滑水平面上做匀速圆周运动，角速度为ω。若橡皮带每伸长单位长度产生的弹力为f ，试证明橡皮带的张力为 F＝m ωfL (f -m ω)
证明：假设所证结论正确，则将F ＝m ωfL (f -m ω) 展开，逐步上溯得Ff －Fm ω＝m ωfL ，Ff ＝m ωfL ＋Fm ω F＝m ω（L ＋F f ）＝m ω（L ＋K ∆L f ） 由题
2意知f ＝K 故F ＝m ω（L ＋ΔL ） 上式正是反映小球在水平面内做运速圆周运动时，
所需要的向心力是由橡皮带的张力提供的，物理意义明确且步步可逆，所以得证。
【评注】
这种逆思法也是先假定所要证明的结论成立，由此出发，利用一定
的物理知识，推导出符合题设物理模型的条件。这样把结论转化为判断
条件（推理的每一步均可逆），以此判断所证结论确实正确、成立。
1．如图1－21所示，正方形导体框边长为L ，置于匀强磁场中绕中心轴图1－
21 做角速度为ω的匀速转动．当线框平面转至与磁场方向平行时，穿过线
框平面的磁通量的产时瞬变化率多大？
1． 证明不存在如图1－22所示的电场（即电力线互相平行，电力线间隔距
离逐渐增大）。
图1－22 3．如图1－23所示。光滑水平台面上，质量m 1＝0．1千克的物块，以V 0
＝9m ／s 的速度向右滑动。细线长L ＝0.1米，上端固定于o
点，下端系2222 222222
8
图1－23
着质量m 2＝0．5kg 的悬球，且悬球恰好与平台上表面接触。m 1与静止的m 2发生正碰后，只有m 2可在竖直平面内作圆周运动。试求悬球沿圆周运动到最高点时，绳子最小张力多
2大？(悬球可视为质点，g 取10m/s)
5．估算法
所谓估算法就是对某些物理量的数量级进行大致推算或精确度要求不太高的近似计算方法。估算题与一般的计算题相比较，它虽然是不精确不严密的计算，但确是合理的近似，它可以避免繁琐的计算而着重于简捷的思维能力的培养。解估算题的基本思路是：
（1）抓住主要因素，忽略次要因素，从而建立理想化模型。（2）认真审题，注意挖掘埋藏较深的隐含条件。（3）分析已知条件和所求量的相互关系以及物理过程所遵守的物理规律，从而找到估算依据。（4）明确解题思路，步步为营层层剥皮求出答案，答案一般保留一到两位有效数字。
[例1] 估算地球大气层空气的总重量。
解：设地球半径为R ，地球表面处的大气压强均为标准大气压p 0, 则大气层空气的总
256219重量G ＝p 0 S ＝p 0 4πR ＝1.0×10×4×3.14×（6.4×10）≈5×10N
【评注】
此题求解的关键是抓住“大气压是由大气重量产生的”这一概念，然后从似乎缺少条件的情况下挖掘出两个隐藏很深的隐含条件，即标准大气压p 0和地球半径R 。根据G ＝p 0S 即可求出结果。
例2 质量为m 的弹性小球置于质量为M 的弹性球上，且M ＞＞m ，今让M 抬
高h 自由下落如图1－24所示．问m 最高能反弹多高？
解：对此题，运用有关规律列方程求解非常麻烦，运用近似模型处理就非
常容易了。假定大球着地速度为V ，与地碰后反弹速度也为V （弹性碰撞，质点
模型且近似处理）。以M 为参照系，m 与M 碰撞时速度为2V （向下），由弹性碰
撞（近似运动模型）规律及M ＞＞m ，可知碰后m 相对于M 的速度为2V （向上），图1－24
22则m 对地的速度为2V ＋V ＝3V 。 又因h ＝V /2g，所以（3V ）／2g ＝9h
（竖直上抛的运动模型），即小球最高能反弹9h 高．
【评注】
本题作用顺序为：先M 与地做弹性碰撞反弹，再m 与M 做弹性碰撞m 相对M 反弹，这样解题思路简捷明了。
[例3] 估算标准状态下气体分子间的平均距离。
－33解：1mol 任何气体在标准状态下的体积都是22.4×10m ，所含分子数都是6.02×
23－3233－26310个，故每个分子占有的体积为v ＝V 0/NA ＝22.4×10 /6.02×10 m≈3.7×10m 每个分子都看成是占据一个立方体的中心，那么相邻两个分子间的距离即为立方体的边长，所以有d ＝3. 7⨯10m ≈3.3×10m
【评注】
本题关键要知道标准状态下气体的摩尔体积和分子占有体积的立方体模型，从而近似算出结果。
[例4] 在太阳直射下地球表面每平方厘米每分钟获得4.2J 的能量，试估算我国江河
6每年流入海洋的水流量（设年平均气温25℃，汽化热为2.4×10J/kg,取一位有效数字）。 －9-26
解：因为海洋约占地球面积S 地的
31，且只有S 地
受太阳照射，则一年内海洋吸收429
太阳能为：
E ＝135×S 地×4.2×365×24×60J ＝8.3×10×S 地J 海洋一年的总蒸发水汽24
6量 M＝E/L 如取25℃时水的汽化热为2.44×10J/kg 则 M＝8. 3⨯105⨯S 地
2. 44⨯106
∙M ＝0.34S ＝0.34×9.6×设我国的面积为S ，则输送到我国上空的水汽量为：m ＝S S 地
161613 3
13 3＝0.34S 地 kg 10kg ≈3×10kg V＝m ＝3×10m 即我国各江河一年流入海洋的水流量约为3×10m 。
【评注】
每年流入海洋的水流量近似等于每年大气送到我国上空的水汽质量。水汽遇冷凝结成雨、雪落地，通过江河流入大海。本题要知道基本的地理常识，海洋约占地球面积S 地的3，地球只有半边受阳光照射，我国的国土面积等知识。 4
【针对训练】
－11221. 已知万有引力恒量G ＝6.67×10N m/kg 试求地球的质量。
2. 我国以成功发射了地球同步卫星，试估算同步地球卫星运行的高度。
2． 1791年，米被定义为：在经过巴黎的子午线上，取从赤道到北极长度的一千万分之一，请由此估算地球的半径R 。（答案保留两位有效数字）
6．虚设法
在物理解题中，我们常常用到一种虚拟的思维方法，即从给定的物理条件出发，假设与想象某种虚拟的东西，达到迅速、准确地解决问题的目的，我们把这种方法较虚设法。虚设法常见的几种情形是：虚设条件、虚设过程、虚设状态、虚设结论等。
虚设条件
[例1] 如图1-25所示，匀强磁场B 垂直纸面向里，导线abc 是半径
为R 的半圆周。当导线以速度V 垂直磁场向右运动时，求导线内产生感生
电动势的大小。
解：本题直接求解比较困难，但若虚设用一根导线将直径ac 连接起来
构成闭合回路问题就变得简单。对这个闭合回路来说，磁通量不变化，整图1－25 个回路内感生电动势为零。这表明直导线与半圆导线切割磁感线产生的电
动势大小相等方向相反，所以可得：ε圆＝ε直＝2BRV
【评注】
本题虚设了一段直导线使之成为闭合回路，利用闭合回路感生电动势为零很容易解决问题。利用这种方法可以解决任意形状导线的有效切割长度的问题。
虚设过程
[例2] 质量为M 的木块被固定在光滑的水平面上，一颗质量为m 的子弹以速度V 0水平飞来，穿透木块后的速度为V 0／2
。现使该木块不固定，可以在光滑水平面上滑动， 10
同样的子弹以初速度V 0飞来射向木块，如果M/m＜3，那么子弹将
(A) 能够射穿木块 (B) 不能穿过木块，留在木块中共同运动 （C ） 刚好穿透
木块但留在木块边缘共同运动 （D ） 条件不足，无法判断
解： 设木块放在光滑水平面上时子弹刚好能穿过木块，则由水平方向动量守恒得：
mV 0＝（M ＋m ）V ① 根据功能关系知木块固定时子弹穿过木块克1服阻力做功为W =1
mV 0-m (2V 02
) ② 因是同样的木块所以穿过它克服阻力做功2W =应相同则：M/m＝3 可2mV 0-2(M +m ) V ③ 解①②③得：2
见，当M/m＝3时子弹刚好穿过木块；当M/m>3时子弹能穿出木块；当M/m
穿出木块。因此正确答案是（B ）
【评注】
本题首先虚设过程，子弹刚好能穿出木块，利用动量守恒和功能关系得出M 与m 的
关系，再比较得出正确结论。
虚设状态
[例3] 如图1－26所示，要把闭合线圈向右匀速拉出，则
（A ）线圈电阻R 一定时，速度大时做功少，（B ）线圈电阻R 一定时，
速度小时做功少 （C ）线圈的速度一定时，电阻大的做功少 （D ）线
圈的速度一定时，电阻小的做功少?
解：虚设线圈缓慢拉出，速度接近零，则闭合线圈中几乎没有电图1－
26 流，就无需克服磁场力做功，故速度小时做功少，所以（B ）正确。再
虚设线圈的电阻无限大，则线圈内也几乎无电流，亦无需克服磁场力做功，故电阻大时
做功少，所以（C ）正确
【评注】
在所研究的物理过程中，可以虚设某一特殊状态，通过对其状态的分析与一般状态
的比较，能够迅速作出正确的判断。
虚设结论
[例4]木块A 、B 叠放在一起共同沿光滑斜面下滑，A 与B 间的接触
面时粗糙的，如图1－27所示，试判断A 、B 间是后存在静摩擦力作用
解：1）当B 与斜面间无摩擦时，假设A 、B 间不存在静摩擦力，那
么可以推算出A 、B 下滑的加速度为gsin θ, 它们之间无相对滑动趋势，
因此可以判断A 与B 之间不存在静摩擦力。2）当B 与斜面有摩擦（滑图1－27 动摩擦系数为μ）时，假设A 与B 之间无静摩擦力，则A 的加速度为a A
＝gsin θ, 而B 下滑的加速度为a B ＝m B g sin θ-μ(m A +m B ) g cos θ＝gsin θ－m B
μg (m A +m B ) 即a A >aB 故A 、B 间有相对滑动趋势，因此可以判断A 、B 之间实际上存m B
在静摩擦力，A 受到静摩擦力向后，B 受到的向前，此力的大小可以求出为 fB 静＝μm A gcos
θ
【评注】
在分析某些未知物理问题时，可以虚设某种结论，然后进行分析推理，从而得出肯
定或否定的结论，得出正确的判断。
【针对训练】
1. 汽车以恒定的功率沿平直的公路上由静止开始运动，经过时间t 达到最大速度V m
,
11
在时间t 内，汽车的位移为S ，则关于S 下列说法正确的是：
(A) S＝V m t/2 (B) S>Vm t/2 (C) S
2．如图1－28所示，半径为L 圆形区域内有垂直纸面向里的磁场，磁感应强度按：
B ＝（2t ＋3）T 变化，长度也为L 的金属杆两端与圆周相交，求杆两端的电压。
7．图像法
所谓图像法，就是利用图像本身的数学特征所反映的物理意义解决物理问
题（根据物理图像判断物理过程、状态、物理量之间的函数关系和求某些物理量）和由
物理量之间的函数关系或物理规律画出物理图像，并灵活应用图像来解决物理问题。
中学物理中常见的图像有：矢量图（几何图）、正比例图像、反比例图像、一次函数
图像、二次函数图像、正弦（或余弦）函数等。
图像题的解题应注意：（l ）搞清图像研究的是什么，并根据题目所反映的物理规律
确定物理量之间的函数关系。（2）明确图像的物理意义：识别横坐标、纵坐标所代表的
物理量及其物理意义，明确物理图像的中点、线段、截距、峰值、斜率、“面积”等的物
理意义。（3）对图像进行分析、比较、判断，找出规律得出结论。
常用方法有观察分析法、比较判断法、分析计算法。利用图像法解题的优点在于
可以直观地观察出物理过程的动态特征，使思路更加清晰，常能找到巧妙的解题途径。
[例1] 将一个已知力F 分解为两个分力，要求其中一个分力与F 的夹角为θ（θ
≤90°），另一个分力的大小为F 1，试确定解的情况。 解：此题如用计算法解非常麻烦，但用作图法就简单明了，且物理意义明确，依
题意作图1－29。作图步骤为：以F 的末端点为圆心，以F 1大小为半径画弧，交F 2的方
向线一个点（如图甲、乙）、两个点（如图
丙）或无交点（如图丁），因此可知：当 F1
＝Fsin θ或F 1＞F ，只有一个解；当 Fsin
θ＜F 1＜F ，有两个解；当 F1＜Fsin θ，无
解.
【评注】
图1－29 根据力的合成和分解的平行四边形法
则，结合本题的已知条件，即已知两个力
大小和两个力间的夹角，用求作三角形的方法进行作图讨论。本题特别要注意，当F 1＞F
作图时，另一个交点在F 2的反相延长线上，不符合题意，故只有一个解。
[例2] 如图1－30所示，直线OAC 为某一电源的总功率P 随电流
I 变化的图线，曲线OBC 为同一电源内阻热功率Pr 随电流I 变化的图
线．若A 、B 两点的横坐标都是1A ，那么A 、B 两点的纵坐标值之差（P A
一P B ）为多少瓦？
解：如图在C 点电源的总功率等于该电源内阻的热功率，这时外
22电阻为零，所以有： εI ＝I r 即 ε＝3r ① PC ＝ε/r
2即ε＝9r ② 由①②得：ε＝3V r＝1Ω 在A 点 PA ＝εI ＝ε图1－
30
2＝3W 在B 点 PB ＝I r ＝r ＝1W 所以 PA －P B ＝2W
【评注】
本题主要问题是要看懂题给图像的关键点，从图像收集信息，
最重要
12 图1－31
的是C 点，再通过闭合电路欧姆定律解决问题。
[例3] 如图l —31所示，将质量为2m 的长木板静止放在光滑的水平面上，一质
量为m 的小铅块（可视为质点）以水平初速V 0由木板左端恰滑至木板的右端与木板相对
静止。铅块运动中所受摩擦力始终不变，现将木板分成长度和质量均相等的两段后紧挨
着仍放在水平面上，让小铅块仍以相同的初速度由左端开始滑动，则小铅块将
（A ） 滑到右端与木板保持相对静止（B ） 在滑到右端前就与木板保持相对静止 （C ）
滑过右端后飞离木板 （D ） 以上答案均有可能
解：本题若按常规方法思考，运算十分繁杂；但用图像方法处理则变得非常简捷明了。具体做法是：先画出铅块和 V 木板的速度图像如图1－32所示第一次：V 0A 表示铅块的速度 图像，OA 表示木板的速度图像；图像包围的“面积”即△V 0OA 的“面积”为铅块相对木板的位移即为木板长L 。第二次：V 0B
表示铅块的速度图像，OC 表示铅块在前一半木板上时木板的 速度图像（加速度和第一次一样），CB 表示铅块在后一半木板 上时木板的速度图像（加速度比第一次大）；图像包围的“面积”即V 0BCO 的“面积”为铅块相对木板的位移，由图可知该图1－32 位移小于木板长L ，故铅块未滑到右端就相对木板静止，正确
答案应为（B ）
【评注】
本题的关键是根据题意正确的画出铅块和木板在两种情况下的速度图像，注意木板
的加速度变化，抓住图像所包围 “面积” 的物理意义，就可以顺利解题了。
[例4] 总质量为M 的列车，沿水平直线轨道匀速前进，其末节车厢质量为m ，中途
脱节，司机发现时，机车已行驶L 距离，于是除去牵引力。设运动的阻力与质量成正比，
机车牵引力是恒定的，求当列车的两部分都停止时，它们之间的距离为多少？
解：本题解题方法很多，但用图像法解更加简单明了。如图1－33所示，脱节后m
做匀减速直线运动，加速度为a m ＝kg ；前车先做匀加速直线运动，加速度为：a 1＝kmg/(M-m),
后做匀减速直线运动，加速度为：a 2＝k(M-m)g/(M-m)＝kg 。由图像知：m 从脱节到停止位移为△OVD 的“面积”；而前车从脱节到停止的位移为四边形OVACO 的“面积”。因△OVD 和△EBC “面积”相等，所以两部分都停止的距离S 为五边形OVABEO 的“面积”。又a 1t 1＝a 2t 2
所以 t1 /t2＝(M-m)/ m 由题意四边形OVAF 的“面积”为L ； 则：L/S＝t 1 /（ t1＋t 2） 故 S＝L （ t1＋t 2）/ t1
＝ML/(M－m) 【评注】
用图像法解本题关键弄清题给物理过程，画出对应的V －t 图，掌握各物理量的对应
关系——斜率表示加速度，面积表示位移，近而得出位移关系。
【针对训练】
1. 质量为m 的子弹以速度V 射向一木块，子弹穿过木块所需的时间为t 。若其他条件不
变，只增大子弹的入射速度，则子弹穿过木块所需的时间t ’与t 相比
（A ）t ’>t (B) t’
2．如图l －34（1）中abed 为一边长为L 具有质
13
2 3 4
图1－34 (2)
量的刚性导线框，位于水平面内，bc 边串接有电阻R ，导线的电阻不计。虚线表示一匀
强磁场区域的边界，它与ab 平行，磁场区域的宽度为2L ，磁感强度为B ，方向竖直向下．线
框在一垂直于ab 边的水平恒力作用下，沿光滑绝缘水平面运动，直到通过磁场区域。已
知ab 边刚进入磁场时，线框变为匀速运动，此时通过电阻R 的感应电流大小为i 0，试在
图1－34（2）中i 一x 坐标系内定性画出：从导线框刚进入磁场到完全离开磁场的过程
中，流过R 的电流i 的大小随ab 边位置坐标x 变化的曲线。
能力测试
一、选择题
1．在一条倾斜的静止不动的传送带上，有一铁块正在匀加速向下滑动。如果传送带向上
加速运动，同一铁块由上端滑到底端所用的时间将
（A ）不变 （B ）增大 (C)减少 (D)不能确定
2. 小球从高处落到直立在地面的弹簧上，在小球将弹簧下压的过程中，小球的加速度和
速度以及机械能将如何变化？
（1）加速度 （ ），速度 （ ）机械能 （ ）
(A)一直增大 (B) 一直减小 (C) 先减小，再增大 (D) 先增大，再减小
3． 一辆向右运动的车厢顶上悬挂两单摆M 和N ，它们只能在图1－35所示平面内摆动，
某一时刻出现图示情景，则车厢的运动及两单摆相对车厢运动的可能情况是：
（A ） 厢做匀速直线运动，M 摆静止，N 摆静止 （B
动，两摆都在摆 （C ） 车厢做匀加速运动，M 摆静止，N 摆在摆动 车厢做匀加速运动，两摆都静止 （ ） 4．如图1－36所示，质量相等的两个摆球A 和B ，其摆线长L A >LB , 同一水平面静止释放。到达最低点时，一下说法正确的是(A)、它们的机械能相等 (B)、它们的动能相等
(C)、它们的加速度相等 (D)、它们对摆线的拉力相等
二、填空题
5．一个以光速行进的信号，通过一个质子直径所需的时间大约为7×
－2410s ，试估算质子的密度是水密度的 倍
6. 如图1－37所示，弹簧的一端固定，另一端连着一个物体，弹簧自由时物体在O 点，把物体拉到A 点处由静止释放，物体沿粗糙水平面
运动到O 点时速率为v ，则在物体运动的整个过程中，速率为v
的时刻共有 次
三、计算题
7. 一物体在与水平面成30°角斜向上的拉力F 作用下，沿水平
方向运动，当摩擦力最小时，物体的加速度多大？
14 O 图1－37 A
8．在光滑的水平面上有一质量为 m＝1kg 的小球，小球与水平轻弹簧及与水平方向成θ＝30°的轻绳相连，如图1－38所示，此时小球处于静止状态，且水平面对小球的弹力恰好为零，当剪断轻绳的瞬间，小球的加速度大小及方向如何？此时轻弹簧的弹力与水
2平面对球的弹力的比值为多少？（g 取10m/s）
图1－38
9．如图1－39所示，质量为M 的汽车载着质量为m 的木箱以速度v 运动，木箱与汽车上表面间的动摩擦因数为μ，木箱与汽车前端挡板相距L ，若汽车遇到障碍物制动而静止时，木箱恰好没碰到汽车前端挡板，求：（1）汽车制动时所受路面的阻力大小；（2）汽车制动后运动的时间。
10．如图1－40所示，质量为m 的小物体B 连着轻弹簧静止于光滑水平面上，质量为2m 的小物体A 以速度V 0向右运动，
则（1）当弹簧被压缩到最短时，弹性势能E P 为多大？（2）若小物体B 右侧固定一挡板，在小物体A 与弹簧分离前使小物体B 与挡板发生无机械能损失的碰撞，并在碰撞后立即将挡板撤去，则碰撞前小物体B 的速度为多大，方可使弹性
势能最大值为2.5E P ？
11．在空间存在水平方向的匀强磁场（图中未画出）和方向
竖直向上的匀强电场（图中已画出），电场强度为E ，磁感应强度为B 。在某点由静止释放一个带电液滴a ，它运动到最低处恰与一个原来处于静止状态的带电液滴b 相碰，碰后两液滴合为一体，并指水平方向做匀速直线运动，如图1－41所示。已知a 的质量为b 的2倍，a 的带电量是b 的4倍（设a 为间静电力可忽略）．（1）试判断a 、b 液滴分别带何种电荷？（2）求a 、b 液滴相碰合为一体后，沿水平方向做匀速直线运动的速度V 。（3）求两液滴初始位置的高度差h 。
图1－41
12. 如图1－42所示OA 与OCA 为置于水平内的光滑金属导轨，
15
图1－42
OCA 导轨满足曲线方程y ＝l.0sin
3x (m ) ，OA 导轨与OCA 导轨分别在O 点和A 点接有电
阻R 1＝3.0Ω和R 2＝6.0Ω体积可忽略的定值电阻，在xoy 平面内存在有B ＝0.2T 的匀强磁场，方向如图，现有一个长 1.5m的金属棒在水平外力F 作用下以速度V ＝5．0 m/s水平向右匀速运动，设棒与两导轨始终接触良好，其余电阻不计，求：（1）外力F 的最大值。（2）金属棒在导轨上运动时R 1最大功率。（3）金属棒滑过导轨过程中，外力所做的功。
16