第一节. 函数的有关概念：
1. 函数的定义:设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关
系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数．记作：y=f(x)，x ∈A ．
(1)其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；
（2）与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x ∈A }叫做函数的值域．
例题1:在下列从集合A 到集合B 的对应关系中, 不能确定y 是x 的函数的是
① A={x|x∈Z},B={y|y∈Z},对应法则f:x→y =;
②
③
④
⑤
⑥
A={x|x>0,x∈R},B={y|y∈R},对应法则f:x→y 2=3x ; A={x|x∈R},B={y|y∈R},对应法则f:x→y:x 2+y 2=25; A=R,B=R,对应法则f:x→y =x 2; A={(x,y)|x∈R,x ∈R},B=R,对应法则f:(x,y)→s =x +y ; A={x|-1≤x ≤1,x ∈R},B={0},对应法则f:x→y=0; x 3
*判断相同函数的方法：
①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；
②定义域一致 (两点必须同时具备)
例题2:下列各式哪些表述同一函数? (1) f (x ) =x , ϕ(t ) =t 2;
(2) f (x ) =x 2, ϕ(t ) = x ); 2
(3) f (x ) =x +1⋅x -1, y =x 2-1;
(4) f (x ) =+x ⋅-x , y =-x 2;
2. 函数的定义域
定义域指能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域。
2.1求函数的定义域的一般原则：
(1)分式的分母不等于零；
(2)偶次方根的被开方数不小于零；
(3)对数式的真数必须大于零；
(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.
(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的. 那么，它的定义域
是使各部分都有意义的x 的值组成的集合.
(6)指数为零底不可以等于零，
(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
例题3:求下列函数的定义域; -x ; 2x 2-3x -2
3(2) y =; 1--x (1) y =
(3) y =2x +3-11+; 2x +3x
(4) y =x 2-3+5-x 2;
3.2抽象函数的定义域
1) 函数f (x ) 的定义域是指x 的取值范围所组成的集合.
2) 函数f [ϕ(x )]的定义域是还是指x 的取值范围所组成的集合, 而不是ϕ(x ) 组的范围.
3) 已知f (x ) 的定义域为A, 求f [ϕ(x )]的定义域, 其实质是已知ϕ(x ) 的范围为A, 求x 的范围.
4) 已知f [ϕ(x )]的定义域为B, 求f (x ) 的定义域, 其实质是已知f [ϕ(x )]中的x 范围为B, 求ϕ(x ) 的值域.
5) 同在对应法则f 下的范围相同, 即f (t ), f [ϕ(x )],f [h (x )]三个函数中的
t , ϕ(x ), h (x ) 的范围相同.
例题4:若函数f (x ) 的定义域是[0,3],求y =f (2x -1) 的定义域.
例题5:若函数f (x +1) 的定义域是[0,3],求y =f (x ) 的定义域.
例题6:若函数f (x +1) 的定义域是[0,3],求y =f (2x -1) 的定义域.
*区间的概念：
（1）区间的分类：
开区间:a
闭区间:a ≤x ≤b ⇔[a , b ]
半开半闭区间:a ≤x
（2）无穷区间
(1) R =(-∞, +∞)
(2) x ≥a ⇔[a , +∞); x >a ⇔(a , +∞);
(3) x ≤b ⇔[b , +∞); x
（3）区间的数轴表示
例题7:将下列集合用区间表示 x -2⎫(1)(1) ⎧x |≥0⎬⎨⎩x -1⎭(2) {x |x =1, or 2
3. 函数的值域
(1)基本初等函数的定义域和值域
一次函数y =kx +b 的定义域和值域 k
x
二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0) 的定义域和值域 反比例函数y =的定义域和值域
(2)函数求值一般方法. 定义域优先考虑
（1）观察法：直接观察函数的图像或函数的解析式来求函数的值域；
（2）反表示法：针对分式的类型，把Y 关于X 的函数关系式化成X 关于Y 的函数关系式，由X 的范围类似求Y 的范围。
(3)配方法：针对二次函数的类型，根据二次函数图像的性质来确 定函数的值域，注意定义域的范围。
(4)代换法（换元法）：作变量代换，针对根式的题型，转化成二次 函数的类型。
(5)分离变量法
(6)判别式法
例题8:求下列函数的值域. (1) y =x -1(2) y =-x 2+4x -6, x ∈[1, 5)
5x -1x 2-4x +3(4) y =2 (3) y =4x +22x -x -1
2x 2+4x -7(5) y =2(6) y =2x -x -1x +2x +3
第一节综合练习
1. 求下列函数的值
x 2(1)已知函数f (x )=, 1+x 2
1⎫⎛1⎫① 求f (2)and f ⎛ ⎪, f (3)and f ⎪ ⎝2⎭⎝3⎭
111) 232008
2. 定义在R 上的函数满足f (x +y ) =f (x ) +f (y ) +2xy (x , y ∈R ), f (1) =2, 求f (-3)
f (2) f (3) f (2009) 3. 已知a , b ∈N *, f (a +b ) =f (a ) ⋅f (b ), f (1) =2, 求 ++ +f (1) f (2) f (2008)
14. 函数f(x)对于任意实数x 满足f (x +2) =, f (1) =-5, 求f [f (5)] f (x ) ② 求f (1) +f (2) +f (3) + f (2008) +f () +f () + +f (
5. 求下列m 的范围
① 已知函数y =mx 2-6mx +m +8的定义域为R, 求m 的范围 ② 已知函数y =mx 2-6mx +m +8的值域为R +, 求m 的范围
第二节. 函数的表示
函数有三种表示:列表法、图像法、解析法
(一) 列表法
通过列出自变量与对应函数值的表来表示函数关系的方法叫列表法. 例1:
例题1:已知f(x),g(x)分别由下列表给出.
则f [g (1)]=; 当g [f (x )]=2时, x =
(二) 图像法
用函数的图像表示两个变量之间的关系的方法叫图像法. 作图方法:描点法.
① 列表
② 描点
③ 用光滑曲线连接.
变化图像法
a. 平移:a 个单位长度y =f (x ) −向右平移−−−−−−→f (x -a )
y =f (x ) −−−−−−−→f (x ) +b
x 轴对称y =f (x ) −关于−−−−→y =-f (x ) 向上平移b 个单位长度
y 轴对称b. 对称:y =f (x ) −关于−−−−→y =f (-x )
y =f (x ) −关于原点对称−−−−→y =-f (-x )
c. 其他:x 轴上方的图像, 再把x 轴下方的图像对称到x 轴上方y =f (x ) −保留−−−−−−−−−−−−−−→f (x )
y =f (x ) −−−−−−−−−−−−−−−→f (x ) 保留y 轴右方的图像, 再关于y 轴对称做出y 轴左方的图像
例2:作图
(1) 做出y =x 2+2x -82x +3的图像 x -1
(3) 做出f (x ) =x -2(x +1
) 的图像(2) 做出y =
分段函数
(一) 分段函数的图像
例1:做出下列函数的图像
⎧(x -1) 2(x ≥0) (1) y =⎨(x
(2) y =-x 2x
x -12 ;
(二) 分段函数求值
⎧1⎪2x , x ≤-2
⎪例1:已知函数f (x ) =⎨π, -2
⎪x 2-4x , x >2⎪⎩
⎧x +2, x ≤-1
2例2:已知函数f (x ) =⎪⎨x , -1
⎪2x , x >2⎩
(三) 解析法
求函数解析式方法:待定系数法、配凑法、换元法、解方程法
1. 待定系数法
例1:已知f (x ) 为一次函数, 且f [f (x )]=9x +4, 求f (x )
例2:已知f (x ) 为二次函数, 且f (2x +1) +f (2x -1) =16x 2-4x +6, 求f (x )
2. 配凑法3. 换元法
例1已知f (x +1) =x +2x , 求f (x )
例2已知f (x +1) =x 2-3x +2, 求f (x )
4. 解方程组法
例1:f (x ) 满足f (x ) +2f (-x ) =x , x ∈R , 求f (x )
例2:f (x ) 满足af (x ) +2f () =ax , x ≠0, a 为常数, 求f (x )
1x
✧ 映射
一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射。记作“f （对应关系）：A （原象）→B （象）”
对于映射f ：A →B 来说，则应满足：
(1)集合A 中的每一个元素，在集合B 中都有象，并且象是唯一的；
(2)集合A 中不同的元素，在集合B 中对应的象可以是同一个；
(3)不要求集合B 中的每一个元素在集合A 中都有原象。
注意：映射是针对自然界中的所有事物而言的，而函数仅仅
是针对数字来说的。所以函数是映射，而映射不一定的函数
✧ 函数：设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数．记作： y=f(x)，x ∈A ．
（1）其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；
（2）与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合
{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．