一次函数动点
2．如图直线ℓ：y=kx+6与x 轴、y 轴分别交于点B 、C ，点B 的坐标是（﹣8，0），点A 的坐标为（﹣6，0） （1）求k 的值．
（2）若P （x ，y ）是直线ℓ在第二象限内一个动点，试写出△OPA 的面积S 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．
（3）当点P 运动到什么位置时，△OPA 的面积为9，并说明理由．
考点：一次函数综合题；待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积。 专题：动点型。 分析：（1）将B 点坐标代入y=kx+6中，可求k 的值；
（2）用OA 的长，y 分别表示△OPA 的底和高，用三角形的面积公式求S 与x 的函数关系式； （3）将S=9代入（2）的函数关系式，求x 、y 的值，得出P 点位置． 解答：解：（1）将B （﹣8，0）代入y=kx+6中，得﹣8k+6=0，解得k=； （2）由（1）得y=x+6，又OA=6， ∴S=×6×y=x+18，（﹣8＜x ＜0）；
（3）当S=9时，x+18=9，解得x=﹣4， 此时y=x+6=3，
∴P （﹣4，3）．
点评：本题考查了一次函数的综合运用，待定系数法求一次函数解析式，三角形面积的求法．关键是将面积问题转化为线段的长，点的坐标来表示．
1．如图1，已知直线y=2x+2与y 轴、x 轴分别交于A 、B 两点，以B 为直角顶点在第二象限作等腰Rt △
ABC
（1）求点C 的坐标，并求出直线AC 的关系式．
（2）如图2，直线CB 交y 轴于E ，在直线CB 上取一点D ，连接AD ，若AD=AC，求证：BE=DE．
（3）如图3，在（1）的条件下，直线AC 交x 轴于M ，P （，k ）是线段BC 上一点，在线段BM 上是
否存在一点N ，使直线PN 平分△BCM 的面积？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由． 考点：一次函数综合题。 分析：（1）如图1，作CQ ⊥x 轴，垂足为Q ，利用等腰直角三角形的性质证明△ABO ≌△BCQ ，根据全等三角形的性质求OQ ，CQ 的长，确定C 点坐标；
（2）同（1）的方法证明△BCH ≌△BDF ，再根据线段的相等关系证明△BOE ≌△DGE ，得出结论； （3）依题意确定P 点坐标，可知△BPN 中BN 变上的高，再由S △PBN =S △BCM ，求BN ，进而得出ON ． 解答：解：（1）如图1，作CQ ⊥x 轴，垂足为Q ， ∵∠OBA+∠OAB=90°，∠OBA+∠QBC=90°， ∴∠OAB=∠QBC ，
又∵AB=BC，∠AOB=∠Q=90°， ∴△ABO ≌△BCQ ，
∴BQ=AO=2，OQ=BQ+BO=3，CQ=OB=1， ∴C （﹣3，1）， 由A （0，2），C （﹣3，1）可知，直线AC ：y=x+2；
（2）如图2，作CH ⊥x 轴于H ，DF ⊥x 轴于F ，DG ⊥y 轴于G ， ∵AC=AD，AB ⊥CB ， ∴BC=BD，
∴△BCH ≌△BDF ， ∴BF=BH=2， ∴OF=OB=1， ∴DG=OB，
∴△BOE ≌△DGE ， ∴BE=DE；
（3）如图3，直线BC ：y=﹣x ﹣，P （，k ）是线段BC 上一点，
∴P （﹣，），
由y=x+2知M （﹣6，0）， ∴BM=5，则S △BCM =．
假设存在点N 使直线PN 平分△BCM 的面积， 则BN•
=×， ∴BN=
，ON=
，
∵BN ＜BM ，
∴点N 在线段BM 上， ∴N （﹣
，0）．
点评：本题考查了一次函数的综合运用．关键是根据等腰直角三角形的特殊性证明全等三角形，利用全等三角形的性质求解．
3．如图①，过点（1，5）和（4，2）两点的直线分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点．
（1）如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点．图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数有 10 个（请直接写出结果）； （2）设点C （4，0），点C 关于直线AB 的对称点为D ，请直接写出点D 的坐标 （6，2） ；
（3）如图②，请在直线AB 和y 轴上分别找一点M 、N 使△CMN 的周长最短，在图②中作出图形，并求出点N 的坐标．
考点：一次函数综合题。 分析：（1）先利用待定系数法求得直线AB 的解析式为y=﹣x+6；再分别把x=2、3、4、5代入，求出对应的纵坐标，从而得到图中阴影部分（不包括边界）所含格点的坐标；
（2）首先根据直线AB 的解析式可知△OAB 是等腰直角三角形，然后根据轴对称的性质即可求出点D 的坐标；
（3）作出点C 关于直线y 轴的对称点E ，连接DE 交AB 于点M ，交y 轴于点N ，则此时△CMN 的周长最短．由D 、E 两点的坐标利用待定系数法求出直线DE 的解析式，再根据y 轴上点的坐标特征，即可求出点N 的坐标． 解答：解：（1）设直线AB 的解析式为y=kx+b， 把（1，5），（4，2）代入得， kx+b=5，4k+b=2， 解得k=﹣1，b=6，
∴直线AB 的解析式为y=﹣x+6； 当x=2，y=4； 当x=3，y=3； 当x=4，y=2； 当x=5，y=1．
∴图中阴影部分（不包括边界）所含格点的有： （1，1），（1，2），（1，3），（1，4）， （2，1），（2，2），（2，3），
（3，1），（3，2）， （4，1）． 一共10个；
（2）∵直线y=﹣x+6与x 轴、y 轴交于A 、B 两点， ∴A 点坐标为（6，0），B 点坐标为（0，6）， ∴OA=OB=6，∠OAB=45°．
∵点C 关于直线AB 的对称点为D ，点C （4，0）， ∴AD=AC=2，AB ⊥CD ， ∴∠DAB=∠CAB=45°， ∴∠DAC=90°，
∴点D 的坐标为（6，2）； （3）作出点C 关于直线y 轴的对称点E ，连接DE 交AB 于点M ，交y 轴于点N ，则NC=NE，点E （﹣4，0）． 又∵点C 关于直线AB 的对称点为D ，∴CM=DM，
∴△CMN 的周长=CM+MN+NC=DM+MN+NE=DE，此时周长最短． 设直线DE 的解析式为y=mx+n． 把D （6，2），E （﹣4，0）代入，得 6m+n=2，﹣4m+n=0， 解得m=，n=，
∴直线DE 的解析式为y=x+． 令x=0，得y=，
∴点N 的坐标为（0，）． 故答案为10；（6，2）．
点评：本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，横纵坐标都为整数的点的坐标的确定方法，轴对称的性质及轴对称﹣最短路线问题，综合性较强，有一定难度． 4．已知如图，直线y=﹣
x+4
与x 轴相交于点A ，与直线y=
x 相交于点P ．
（1）求点P 的坐标； （2）求S △OPA 的值；
（3）动点E 从原点O 出发，沿着O→P→A的路线向点A 匀速运动（E 不与点O 、A 重合），过点E 分别作EF ⊥x 轴于F ，EB ⊥y 轴于B ．设运动t 秒时，F 的坐标为（a ，0），矩形EBOF 与△OPA 重叠部分的面积为S ．求：S 与a 之间的函数关系式．
考点：一次函数综合题。 分析：（1）P 点的纵坐标就是两个函数值相等时，从而列出方程求出坐标． （2）把OA 看作底，P 的纵坐标为高，从而可求出面积．
（3）应该分两种情况，当在OP 上时和PA 时，讨论两种情况求解． 解答：解：（1）﹣x=3， y=． 所以P （3，
（2）0=﹣x=4． 4×
×=2
x+4
=
x
）． x+4
．
． ．
故面积为2
（3）当E 点在OP 上运动时， ∵F 点的横坐标为a ，所以纵坐标为∴S=
a•a﹣×
a•a=
a ．
2
a ，
当点E 在PA 上运动时，
∵F 点的横坐标为a ，所以纵坐标为﹣∴S=（﹣
a+4
）a ﹣（﹣
a+4
a+4． a +2
2
）a=﹣
a ．
点评：本题考查一次函数的综合应用，关键是根据函数式知道横坐标能够求出纵坐标，横纵坐标求出后能够表示出坐标作顶点的矩形和三角形的面积以及求两个函数的交点坐标．
6．如图，直线l 1的解析表达式为：y=﹣3x+3，且l 1与x 轴交于点D ，直线l 2经过点A ，B ，直线l 1，l 2交于点C ．
（1）求直线l 2的解析表达式； （2）求△ADC 的面积；
（3）在直线l 2上存在异于点C 的另一点P ，使得△ADP 与△ADC 的面积相等，求出点P 的坐标；
（4）若点H 为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点H ，使以A 、D 、C 、H 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点H 的坐标；若不存在，请说明理由．
考点：一次函数综合题。 专题：综合题。
分析：（1）结合图形可知点B 和点A 在坐标，故设l 2的解析式为y=kx+b，由图联立方程组求出k ，b 的值； （2）已知l 1的解析式，令y=0求出x 的值即可得出点D 在坐标；联立两直线方程组，求出交点C 的坐标，进而可求出S △ADC ；
（3）△ADP 与△ADC 底边都是AD ，面积相等所以高相等，ADC 高就是C 到AD 的距离；
（4）存在；根据平行四边形的性质，可知一定存在4个这样的点，规律为H 、C 坐标之和等于A 、D 坐标之和，设出代入即可得出H 的坐标． 解答：解：（1）设直线l 2的解析表达式为y=kx+b， 由图象知：x=4，y=0； x=3，
，
∴，
∴，
∴直线l 2的解析表达式为
；
（2）由y=﹣3x+3，令y=0，得﹣3x+3=0， ∴x=1， ∴D （1，0）； 由
，
解得
，
∴C （2，﹣3）， ∵AD=3，
∴S △ADC =×3×|﹣3|=；
（3）△ADP 与△ADC 底边都是AD ，面积相等所以高相等， ADC 高就是C 到AD 的距离，即C 纵坐标的绝对值=|﹣3|=3， 则P 到AB 距离=3，
∴P 纵坐标的绝对值=3，点P 不是点C ， ∴点P 纵坐标是3，
∵y=1.5x﹣6，y=3， ∴1.5x ﹣6=3 x=6，
所以点P 的坐标为（6，3）； （4）存在； （3，3）（5，﹣3）（﹣1，﹣3）
点评：本题考查的是一次函数的性质，三角形面积的计算以及平行四边形的性质等等有关知识，有一定的综合性，难度中等偏上．
7．如图，直线y=x+6与x 轴、y 轴分别相交于点E 、F ，点A 的坐标为（﹣6，0），P （x ，y ）是直线y=x+6上一个动点．
（1）在点P 运动过程中，试写出△OPA 的面积s 与x 的函数关系式； （2）当P 运动到什么位置，△OPA 的面积为
，求出此时点P 的坐标；
（3）过P 作EF 的垂线分别交x 轴、y 轴于C 、D ．是否存在这样的点P ，使△COD ≌△FOE ？若存在，直接写出此时点P 的坐标（不要求写解答过程）；若不存在，请说明理由．
考点：一次函数综合题；解二元一次方程组；待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；全等三角形的判定。
专题：计算题；动点型。 分析：（1）求出P 的坐标，当P 在第一、二象限时，根据三角形的面积公式求出面积即可；当P 在第三象限时，根据三角形的面积公式求出解析式即可； （2）把s 的值代入解析式，求出即可；
（3）根据全等求出OC 、OD 的值，如图①所示，求出C 、D 的坐标，设直线CD 的解析式是y=kx+b，把C （﹣6，0），D （0，﹣8）代入，求出直线CD 的解析式，再求出直线CD 和直线y=x+6的交点坐标即可；如图②所示，求出C 、D 的坐标，求出直线CD 的解析式，再求出直线CD 和直线y=x+6的交点坐标即可． 解答：解：（1）∵P （x ，y ）代入y=x+6得：y=x+6， ∴P （x ，x+6），
当P 在第一、二象限时，△OPA 的面积是s=OA×y=×|﹣6|×（x+6）=x+18（x ＞﹣8） 当P 在第三象限时，△OPA 的面积是s=OA×（﹣y ）=﹣x ﹣18（x ＜﹣8）
答：在点P 运动过程中，△OPA 的面积s 与x 的函数关系式是s=x+18（x ＞﹣8）或s=﹣x ﹣18（x ＜﹣8）．
解：（2）把s=代入得：=+18或=﹣x ﹣18，
解得：x=﹣6.5或x=﹣6（舍去）， x=﹣6.5时，y=，
∴P 点的坐标是（﹣6.5，）．
（3）解：假设存在P 点，使△COD ≌△FOE ，①如图所示：P 的坐标是（﹣
，
）；
②如图所示：P 的坐标是（
，
）
存在P 点，使△COD ≌△FOE ，P 的坐标是（﹣，）或（，）．
点评：本题综合考查了三角形的面积，解二元一次方程组，全等三角形的性质和判定，用待定系数法求一次函数的解析式等知识点，此题综合性比较强，用的数学思想是分类讨论思想和数形结合思想，难度较大，对学生有较高的要求．
8．如图，在平面直角坐标系中，直线AB 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，与直线OC ：y=x交于点C ． （1）若直线AB 解析式为y=﹣2x+12， ①求点C 的坐标； ②求△OAC 的面积．
（2）如图，作∠AOC 的平分线ON ，若AB ⊥ON ，垂足为E ，△OAC 的面积为6，且OA=4，P 、Q 分别为线段OA 、OE 上的动点，连接AQ 与PQ ，试探索AQ+PQ是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，说明理由．
考点：一次函数综合题。 专题：综合题；数形结合。 分析：（1）①联立两个函数式，求解即可得出交点坐标，即为点C 的坐标．
②欲求△OAC 的面积，结合图形，可知，只要得出点A 和点C 的坐标即可，点C 的坐标已知，利用函数关系式即可求得点A 的坐标，代入面积公式即可．
（2）在OC 上取点M ，使OM=OP，连接MQ ，易证△POQ ≌△MOQ ，可推出AQ+PQ=AQ+MQ；若想使得AQ+PQ存在最小值，即使得A 、Q 、M 三点共线，又AB ⊥OP ，可得∠AEO=∠CEO ，即证△AEO ≌△CEO （ASA ），又OC=OA=4，利用△OAC 的面积为6，即可得出AM=3，AQ+PQ存在最小值，最小值为3． 解答：解：（1）①由题意，
（2分）
解得所以C （4，4）（3分）
②把y=0代入y=﹣2x+12得，x=6，所以A 点坐标为（6，0），（4分） 所以
．（6分）
（2）存在；
由题意，在OC 上截取OM=OP，连接MQ ， ∵OP 平分∠AOC ， ∴∠AOQ=∠COQ ， 又OQ=OQ，
∴△POQ ≌△MOQ （SAS ），（7分）
∴PQ=MQ，
∴AQ+PQ=AQ+MQ，
当A 、Q 、M 在同一直线上，且AM ⊥OC 时，AQ+MQ最小． 即AQ+PQ存在最小值．
∵AB ⊥OP ，所以∠AEO=∠CEO ， ∴△AEO ≌△CEO （ASA ）， ∴OC=OA=4，
∵△OAC 的面积为6，所以AM=2×6÷4=3， ∴AQ+PQ存在最小值，最小值为3．（9分）
点评：本题主要考查一次函数的综合应用，具有一定的综合性，要求学生具备一定的数学解题能力，有一定难度．
9．如图，在平面直角坐标系xoy 中，直线AP 交x 轴于点P （p ，0），交y 轴于点A （0，a ），且a 、b
满足
．
（1）求直线AP 的解析式；
（2）如图1，点P 关于y 轴的对称点为Q ，R （0，2），点S 在直线AQ 上，且SR=SA，求直线RS 的解析式和点S 的坐标；
（3）如图2，点B （﹣2，b ）为直线AP 上一点，以AB 为斜边作等腰直角三角形ABC ，点C 在第一象限，D 为线段OP 上一动点，连接DC ，以DC 为直角边，点D 为直角顶点作等腰三角形DCE ，EF ⊥x 轴，F 为垂足，下列结论：①2DP+EF的值不变；②论，并求出其定值．
的值不变；其中只有一个结论正确，请你选择出正确的结
考点：一次函数综合题；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根；待定系数法求一次函数解析式；等腰三角形的性质；关于x 轴、y 轴对称的点的坐标。 专题：代数几何综合题；动点型。 分析：（1）根据非负数的性质列式求出a 、p 的值，从而得到点A 、P 的坐标，然后利用待定系数法求直线的解析式；
（2）根据关于y 轴的点的对称求出点Q 的坐标，再利用待定系数法求出直线AQ 的解析式，设出点S 的坐标，然后利用两点间的距离公式列式进行计算即可求出点S 的坐标，再利用待定系数法求解直线RS 的解析式； （3）根据点B 的横坐标为﹣2，可知点P 为AB 的中点，然后求出点B 得到坐标，连接PC ，过点C 作CG ⊥x 轴于点G ，利用角角边证明△APO 与△PCG 全等，根据全等三角形对应边相等可得PG=AO，CG=PO，再根据△DCE 是等腰直角三角形，利用角角边证明△CDG 与△EDF 全等，根据全等三角形对应边相等可得DG=EF，然后用EF 表示出DP 的长度，然后代入两个结论进行计算即可找出正确的结论并得到定值． 解答：解：（1）根据题意得，a+3=0，p+1=0， 解得a=﹣3，p=﹣1，
∴点A 、P 的坐标分别为A （0，﹣3）、P （﹣1，0）， 设直线AP 的解析式为y=mx+n， 则
，
解得，
∴直线AP 的解析式为y=﹣3x ﹣3；
（2）根据题意，点Q 的坐标为（1，0）， 设直线AQ 的解析式为y=kx+c， 则解得
， ，
∴直线AQ 的解析式为y=3x﹣3， 设点S 的坐标为（x ，3x ﹣3）， 则SR=SA=∵SR=SA， ∴
解得x=，
∴3x ﹣3=3×﹣3=﹣， ∴点S 的坐标为S （，﹣）， 设直线RS 的解析式为y=ex+f，
=
，
==
，
，
则，
解得，
∴直线RS 的解析式为y=﹣3x+2；
（3）∵点B （﹣2，b ）， ∴点P 为AB 的中点，
连接PC ，过点C 作CG ⊥x 轴于点G ， ∵△ABC 是等腰直角三角形， ∴PC=PA=AB ，PC ⊥AP ，
∴∠CPG+∠APO=90°，∠APO+∠PAO=90°， ∴∠CPG=∠PAO ， 在△APO 与△PCG 中，，
∴△APO ≌△PCG （AAS ）， ∴PG=AO=3，CG=PO，
∵△DCE 是等腰直角三角形， ∴CD=DE，∠CDG+∠EDF=90°， 又∵EF ⊥x 轴，
∴∠DEF+∠EDF=90°， ∴∠CDG=∠DEF ， 在△CDG 与△EDF 中，
， ∴△CDG ≌△EDF （AAS ）， ∴DG=EF，
∴DP=PG﹣DG=3﹣EF ，
①2DP+EF=2（3﹣EF ）+EF=6﹣EF ，
∴2DP+EF的值随点P 的变化而变化，不是定值， ②
=
=，
的值与点D 的变化无关，是定值．
点评：本题综合考查了一次函数的问题，待定系数法求直线解析式，非负数的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，以及关于y 轴对称的点的坐标的特点，综合性较强，难度较大，需仔细分析找准问题的突破口．
10．如图，已知直线l 1：y=﹣x+2与直线l 2：y=2x+8相交于点F ，l 1、l 2分别交x 轴于点E 、G ，矩形ABCD 顶点C 、D 分别在直线l 1、l 2，顶点A 、B 都在x 轴上，且点B 与点G 重合． （1）求点F 的坐标和∠GEF 的度数； （2）求矩形ABCD 的边DC 与BC 的长；
（3）若矩形ABCD 从原地出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为t （0≤t≤6）秒，矩形ABCD 与△GEF 重叠部分的面积为s ，求s 关于t 的函数关系式，并写出相应的t 的取值范围．
考点：一次函数综合题。 专题：数形结合；分类讨论。
分析：（1）由于直线l 1：y=﹣x+2与直线l 2：y=2x+8相交于点F ，因而联立两解析式组成方程组求得解即为F 点的坐标．过F 点作直线FM 垂直X 轴交x 轴于M ，通过坐标值间的关系证得ME=MF=4，从而得到△MEF 是等腰直角三角形，∠GEF=45°；
（2）首先求得B （或G ）点的坐标、再依次求得点C 、D 、A 的坐标．并进而得到DC 与BC 的长；
（3）首先将动点A 、B 用时间t 来表示．再就①在运动到t 秒，若BC 边与l 2相交设交点为N ，AD 与l 1相交设交点为K ；②在运动到t 秒，若BC 边与l 1相交设交点为N ，AD 与l 1相交设交点为K ；③在运动到t 秒，若BC 边与l 1相交设交点为N ，AD 与l 1不相交．三种情况讨论解得s 关于t 的函数关系式． 解答：解：（1）由题意得
，
解得x=﹣2，y=4， ∴F 点坐标：（﹣2，4）；
过F 点作直线FM 垂直X 轴交x 轴于M ，ME=MF=4，△MEF 是等腰直角三角形，∠GEF=45°；
（2）由图可知G 点的坐标为（﹣4，0），则C 点的横坐标为﹣4， ∵点C 在直线l 1上，
∴点C 的坐标为（﹣4，6），
∵由图可知点D 与点C 的纵坐标相同，且点D 在直线l 2上， ∴点D 的坐标为（﹣1，6），
∵由图可知点A 与点D 的横坐标相同，且点A 在x 轴上， ∴点A 的坐标为（﹣1，0），
∴DC=|﹣1﹣（﹣4）|=3，BC=6；
（3）∵点E 是l 1与x 轴的交点， ∴点E 的坐标为（2，0）， S △GFE =
=
=12，
若矩形ABCD 从原地出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度平移， 当t 秒时，移动的距离是1×t=t，则B 点的坐标为（﹣4+t，0），A 点的坐标为（﹣1+t，0）；
①在运动到t 秒，若BC 边与l 2相交设交点为N ，AD 与l 1相交设交点为K ，那么﹣4≤﹣4+t≤﹣2，即0≤t≤2时．
N 点的坐标为（﹣4+t，2t ），K 点的坐标为（﹣1+t，3﹣t ）， s=S△GFE ﹣S △GNB ﹣S △AEK =12﹣
=
，
②在运动到t 秒，若BC 边与l 1相交设交点为N ，AD 与l 1相交设交点为K ，那么﹣2＜﹣4+t且﹣1+t≤3，即2＜t≤4时．
N 点的坐标为（﹣4+t，6﹣t ），K 点的坐标为（﹣1+t，3﹣t ）， s=S梯形BNKA =
=
，
③在运动到t 秒，若BC 边与l 1相交设交点为N ，AD 与l 1不相交，那么﹣4+t≤3且﹣1+t＞3，即4＜t≤7时． N 点的坐标为（﹣4+t，6﹣t ）， s=S△BNE =
=
，
答：（1）F 点坐标：（﹣2，4），∠GEF 的度数是45°； （2）矩形ABCD 的边DC 的长为3，BC 的长为6；
（3）s 关于t 的函数关系式．
点评：本题是一次函数与三角形、矩形、梯形相结合的问题，在图形中渗透运动的观点是中考中经常出现的问题．
11. 如图，直线l 1：y =kx +b 平行于直线y =x -1，且与直线l 2：y =mx +（1）求直线l 1、l 2的解析式；
（2）直线l 1与y 轴交于点A ．一动点C 从点A 出发，先沿平行于x 轴的方向运动，到达直线l 2上的点B 1
处后，改为垂直于x 轴的方向运动，到达直线l 1上的点A 1处后，再沿平行于x 轴的方向运动，到达直线l 2上的点B 2处后，又改为垂直于x 轴的方向运动，到达直线l 1上的点A 2处后，仍沿平行于x 轴的方向运动，……
照此规律运动，动点C 依次经过点B 1，A 1，B 2，A 2，B 3，A 3，…，B n ，A n ，… ①求点B 1，B 2，A 1，A 2的坐标；
②请你通过归纳得出点A n 、B n 的坐标；并求当动点C 到达A n 处时，运动的总路径的长．
解：（1）由题意，得
1
相交于点P (-1, 0) ． 2
⎧k =1, ⎧k =1,
解得 ⎨ ⎨
b =1. -k +b =0. ⎩⎩
∴直线l 1的解析式为 y =x +1． ………………………………… 1分 ∵点P (-1, 0) 在直线l 2上，
11=0．∴m =．
22
11
∴直线l 2的解析式为 y =x +． ……………………………… 2分
22
∴-m +
（2）① A 点坐标为 （0，1），
则B 1点的纵坐标为1，设B 1(x 1,1) ， ∴
11
x 1+=1． 22
∴x 1=1．
∴B 1点的坐标为 (1,1)． ………………………………………… 3分 则A 1点的横坐标为1，设A 1(1,y 1) ∴y 1=1+1=2．
∴A 1点的坐标为 (1,2) ． ………………………………………… 4分 同理，可得 B 2(3, 2) ，A 2(3, 4) ． ……………………………… 6分 ②经过归纳得 A n (2-1, 2) ，B n (2-1, 2
n
n
n
n -1
) ． ……………… 7分
当动点C 到达A n 处时，运动的总路径的长为A n 点的横纵坐标之和再减去1， 即 2n -1+2n -1=2n +1-2． ……………………………………… 8分
12. 在△ABC 中，AC=BC，∠ACB =90︒，点D 为AC 的中点．
（1）如图1，E 为线段DC 上任意一点，将线段DE 绕点D 逆时针旋转90°得到线段DF ，连结CF ，过点F 作FH ⊥FC ，交直线AB 于点H ．判断FH 与FC 的数量关系并加以证明． （2）如图2，若E 为线段DC 的延长线上任意一点，（1）中的其他条件不变，你在（1）中得出的结论是否发生改变，直接写出你的结论，不必证明． A
A
F
D
F
D
H E
C
B
C 图2H E 图1
解：（1）FH 与FC 的数量关系是：FH =FC ． … 1分
证明：延长DF 交AB 于点G ，
由题意，知 ∠EDF=∠ACB=90°，DE=DF． ∴DG ∥CB ．
∵点D 为AC 的中点， ∴点G 为AB 的中点，且DC =∴DG 为△ABC 的中位线． ∴DG =
A
1
AC ．
2
D E
F
H
1
BC ． 2
∵AC=BC， ∴DC=DG． ∴DC - DE =DG- DF．
即EC =FG． …………………………………………………………… 2分∵∠EDF =90°，FH ⊥FC ，
∴∠1+∠CFD =90°，∠2+∠CFD=90°．
∴∠1 =∠2． …………………………………………………………… 3分 ∵△DEF 与△ADG 都是等腰直角三角形， ∴∠DEF =∠DGA = 45°．
∴∠CEF =∠FGH = 135°． …………………………………………… 4分 ∴△CEF ≌△FGH ． ……………………………………………………… 5分 ∴ CF =FH ． ……………………………………………………………… 6分 （2）FH 与FC 仍然相等． 7分
13. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y =-
C
点A 顺时针旋转45°得到射线AN. 点D 为AM 上的动点，点B 为AN 上的动点，点C 在∠MAN 的内部. （1） 求线段AC 的长；
（2） 当AM ∥x 轴，且四边形ABCD 为梯形时，求△BCD 的面积； （3） 求△BCD 周长的最小值；
（4） 当△BCD 的周长取得最小值，且x +2分别交x 轴、y 轴于C 、A 两点. 将射线AM 绕着3
, △BCD 的面积为 . （第（4）问只需填写结论，不要求书写过程）
解:（1）∵直线 y = -x +2与x 轴、y 轴分别交于C 、A 两点， 3
∴ 点C 的坐标为（2，0），点A 的坐标为（0，2）.----------------------1分 ∴ AC =4. -----------------------------2分 （2）如图1，当AD ∥BC 时， 依题意，可知∠DAB = 45°， ∴ ∠ABO = 45°. ∴ OB = OA = 2. ∵ OC = 2， ∴ BC = 23-2. ∴ S △BCD =
1
BC •OA = 23-2.---------------------------3分 2
如图2，当AB ∥DC 时. 可得S △BCD = S△ACD .
设射线AN 交x 轴于点E . ∵ AD ∥x 轴，
∴ 四边形AECD 为平行四边形. ∴ S △AEC = S△ACD .
∴ S △BCD =S△AEC =
1
CE •OA= 2-2. 2
综上所述，当AM ∥x 轴，且四边形ABCD 为梯形时，S △BCD = 2-2. ----------4分 （3）如图3，作点C 关于射线AM 的对称点C 1，点C 关于射线AN 的对称点C 2. ---------------------------------5分 由轴对称的性质，可知CD=C1D ，CB=C2B . ∴ C 2B + BD + C1D= CB + BD +CD. 连结AC 1、AC 2，
可得∠C 1AD=∠CAD ，∠C 2AB=∠CAB ，AC 1=AC2=AC=4. ∵ ∠DAB = 45°， ∴ ∠C 1AC 2 =90°. 连结C 1C 2.
∵ 两点之间线段最短，
∴ 当B 、D 两点与C 1、C 2在同一条直线上时，△BCD 的周长最小，最小值为线段C 1C 2 的长. ∴△BCD 的周长的最小值为42. ------------7分 （4）
4
. --------------------------------8分 3
5．如图，将边长为4的正方形置于平面直角坐标系第一象限，使AB 边落在x 轴正半轴上，且A 点的坐标是（1，0）． （1）直线
经过点C ，且与x 轴交于点E ，求四边形AECD 的面积；
（2）若直线l 经过点E ，且将正方形ABCD 分成面积相等的两部分，求直线l 的解析式； （3）若直线l 1经过点F （
）且与直线y=3x平行．将（2）中直线l 沿着y 轴向上平移1个单位，
交x 轴于点M ，交直线l 1于点N ，求△NMF 的面积．
考点：一次函数综合题；一次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求一次函数解析式；平移的性质。 专题：计算题。 分析：（1）先求出E 点的坐标，根据梯形的面积公式即可求出四边形AECD 的面积；
（2）根据已知求出直线1上点G 的坐标，设直线l 的解析式是y=kx+b，把E 、G 的坐标代入即可求出解析式；
（3）根据直线l 1经过点F （
）且与直线y=3x平行，知k=3，把F 的坐标代入即可求出b 的值即可
得出直线11，同理求出解析式y=2x﹣3，进一步求出M 、N 的坐标，利用三角形的面积公式即可求出△MNF 的面积． 解答：解：（1）
，
当y=0时，x=2， ∴E （2，0），
由已知可得：AD=AB=BC=DC=4，AB ∥DC ， ∴四边形AECD 是梯形，
∴四边形AECD 的面积S=×（2﹣1+4）×4=10， 答：四边形AECD 的面积是10．
（2）在DC 上取一点G ，使CG=AE=1， 则S t 梯形AEGD =S梯形EBCG ， ∴G 点的坐标为（4，4），
设直线l 的解析式是y=kx+b，代入得：
，
解得：
，
即：y=2x﹣4，
答：直线l 的解析式是y=2x﹣4． （3）∵直线l 1经过点F （）且与直线y=3x平行，
设直线11的解析式是y 1=kx+b， 则：k=3，
代入得：0=3×（﹣）+b， 解得：b=， ∴y 1=3x+
已知将（2）中直线l 沿着y 轴向上平移1个单位，则所得的直线的解析式是y=2x﹣4+1， 即：y=2x﹣3， 当y=0时，x=， ∴M （，0），
解方程组得：，
即：N （﹣，﹣18），
S △NMF =×[﹣（﹣）]×|﹣18|=27．
答：△NMF 的面积是27．
点评：本题主要考查了一次函数的特点，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的特征，平移的性质等知识点，解此题的关键是能综合运用上面的知识求一次函数的解析式．
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