高考数学知识点之概率与统计

高考数学知识点之概率与统计

考试内容：

抽样方法.总体分布的估计． 总体期望值和方差的估计． 考试要求：

（1）了解随机抽样了解分层抽样的意义，会用它们对简单实际问题进行抽样． （2）会用样本频率分布估计总体分布． （3）会用样本估计总体期望值和方差．

§12. 概率与统计 知识要点

一、随机变量.

1. 随机试验的结构应该是不确定的.试验如果满足下述条件： ①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果.

它就被称为一个随机试验.

2. 离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.若ξ是一个随机变量，a，b是常数.则ab也是一个随机变量.一般地，若ξ是随机变量，f(x)是连续函数或单调函数，则f()也是随机变量.也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量.

设离散型随机变量ξ可能取的值为：x1,x2,,xi,

ξ取每一个值x1(i1,2,)的概率P(xi)pi，则表称为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列.

p10,i1,2,p1p2pi1注意：若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量.例如：[0,5]即可以取0～5之间的一切数，包括整数、小数、无理数.

3. ⑴二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个

knk事件恰好发生k次的概率是：P(ξk)Ck[其中k0,1,,n,q1p] npq

于是得到随机变量ξ的概率分布如下：我们称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作～B

knk（n·p），其中n，p为参数，并记Cknpq

b(k;np)

.

⑵二项分布的判断与应用.

①二项分布，实际是对n次独立重复试验.关键是看某一事件是否是进行n次独立重复，且每次试验只有两种结果，如果不满足此两条件，随机变量就不服从二项分布. ②当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结果，此时可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列.

4. 几何分布：“k”表示在第k次独立重复试验时，事件第一次发生，如果把k次试验时事件A发生记为Ak，事A不发生记为Ak,P(Ak)q，那么P(ξk)相互独立事件的概率乘法分式：P(ξk)

P(A1A2Ak1Ak)

k1

.根据

P(A1)P(A2)P(Ak1)P(Ak)q

p(k1,2,3,)于是得

到随机变量ξ的概率分布列.

我们称ξ服从几何分布，并记g(k,p)qk1p，其中q1p.k1,2,3

5. ⑴超几何分布：一批产品共有N件，其中有M（M＜N）件次品，今抽取n(1nN)件，则其中的次品数

P(ξk)

CMCNM

C

n

Nk

nk

ξ是一离散型随机变量，分布列为

M件次品中取k件，从N-M件正

(0kM,0nkNM).〔分子是从

品中取n-k件的取法数，如果规定m＜r时Cmr0，则k的范围可以写为k=0，1，…，n.〕 ⑵超几何分布的另一种形式：一批产品由 a件次品、b件正品组成，今抽取n件（1≤n≤a+b），则次品数ξ的分布列为P(ξ

k)

CaCC

k

nk

bnab

k0,1,,n.

.

⑶超几何分布与二项分布的关系.

设一批产品由a件次品、b件正品组成，不放回抽取n件时，其中次品数ξ服从超几何分布.若放回式抽取，则其中次品数的分布列可如下求得：把ab个产品编号，则抽取n次共

knk

有(ab)n个可能结果，等可能：(ηk)含Ck个结果，故nab

P(ηk)

Cnab

kknkn

(ab)

Cn(

k

aab

)(1

k

aab

)

nk

,k0,1,,n2，,即～B(n

aab

)

.[我们先为k个次品

选定位置，共Ck种选法；然后每个次品位置有a种选法，每个正品位置有b种选法] 可以n证明：当产品总数很大而抽取个数不多时，P(ξk)P(ηk)，因此二项分布可作为超几何分布的近似，无放回抽样可近似看作放回抽样

. 二、数学期望与方差.

Ex1p1x2p2xnpn期望反映了离散型随机变量取值的平均水平. 2. ⑴随机变量ab的数学期望：EE(ab)aEb ①当a0时，E(b)b，即常数的数学期望就是这个常数本身. ②当a和. ③当b

1时，E(b)Eb

，即随机变量ξ与常数之和的期望等于ξ的期望与这个常数的

0

时，E(a)aE，即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的

c1c

乘积. ⑵单点分布：E⑶两点分布：E= 1）

⑷二项分布：E

其分布列为：P(

1)c

.

0

q1pp

，其分布列为：（p + q





k

n!k!(nk)!

pq

knk

np

其分布列为～B(n,p).（P为发生的概率）

⑸几何分布：E



1p

其分布列为～q(k,p).（P为发生的概率）

xk)pk(k1,2,)

3.方差、标准差的定义：当已知随机变量ξ的分布列为P(

D(x1E)p1(x2E)p2(xnE)pn

2

2

2

时，则称为ξ的根

为ξ的方差. 显然D

0

，故

D.

方差或标准差.随机变量ξ的方差与标准差都反映了随机变量ξ取值的稳定与波动，集中与离散的程度.D越小，稳定性越高，波动越小. ．．．．．．．．．．．．．．4.方差的性质.

⑴随机变量ab的方差D()D(ab)a2D.（a、b均为常数） ⑵单点分布：D⑶两点分布：D⑷二项分布：D⑸几何分布：D

0



其分布列为P(1)p

（p + q = 1） pq 其分布列为：

qp

2

npq

5. 期望与方差的关系. ⑴如果E和E都存在，则E()EE ⑵设ξ和是互相独立的两个随机变量，则E()EE,D()DD ⑶期望与方差的转化：DE(E) ⑷E(E)E()E(E)（因为E为一常数）EE0.

2

2

三、正态分布.（基本不列入考试范围）

1.密度曲线与密度函数：对于连续型随机变量ξ，位于x轴上方，ξ落在任一区间[a,b)内的

概率等于它与x轴.直线xa与直线x

b（如图阴影部分）的曲线叫ξ的密度曲线，以其作为 图像的函数f(x)叫做ξ的密度函数，由于“x(,)”是必然事件，故密度曲线与x轴所夹部分面积等于1.

2. ⑴正态分布与正态曲线：如果随机变量ξ的概率密度为：f(x)为常数，且

0），称ξ

12



2

2

e

. （xR,,

服从参数为,的正态分布，用～N(,2)表示.f(x)的表达式可

简记为N(,2)，它的密度曲线简称为正态曲线.

⑵正态分布的期望与方差：若～N(,2)，则ξ的期望与方差分别为：E,D2. ⑶正态曲线的性质.

①曲线在x轴上方，与x轴不相交. ②曲线关于直线x对称. ③当x时曲线处于最高点，当x向左、向右远离时，曲线不断地降低，呈现出“中间高、两边低”的钟形曲线.

④当x＜时，曲线上升；当x＞时，曲线下降，并且当曲线向左、向右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向x轴无限的靠近. ⑤当一定时，曲线的形状由确定，越大，曲线越“矮胖”.表示总体的分布越分散；越

小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.

3. ⑴标准正态分布：如果随机变量ξ的概率函数为(x)

12

x

2

e

2

(x)

，则称ξ服从

标准正态分布. 即～N(0,1)有(x)P(x)，(x)1(x)求出，而P（a＜ξ≤b）的计算则是P(ab)(b)(a).

注意：当标准正态分布的(x)的X取0时，有(x)0.5当(x)的X取大于0的数时，有

(x)0.5.比如(

0.5



)0.07930.5

则

0.5



必然小于0，如图.

⑵正态分布与标准正态分布间的关系：若～N(,2)则ξ的分布函数通 常用F(x)表示，且有P(ξ

x)F(x)(

xμσ

).

S阴=0.5

Sa=0.5+S

4.⑴“3”原则.

假设检验是就正态总体而言的，进行假设检验可归结为如下三步：①提出统计假设，统计假

设里的变量服从正态分布N(,2).②确定一次试验中的取值a是否落入范围(3,3).③做出判断：如果a(3,3)，接受统计假设. 如果a(3,3)，由于这是小概率事件，就拒绝统计假设.

⑵“3”原则的应用：若随机变量ξ服从正态分布N(,2)则 ξ落在(3,3)内的概率为99.7％ 亦即落在(3,3)之外的概率为0.3％，此为小概率事件，如果此事件发生了，就说明此种产品不合格（即ξ不服从正态分布）.