利用基本不等式求最值的类型及方法
一、几个重要的基本不等式：
22
①a 2+b 2≥2ab ⇔ab ≤
a +b
2
(a 、b ∈R ) ，
当且仅当a = b时，“=”号成立； 2
②a +b ≥2ab ⇔ab ≤
⎛a +b ⎫⎝2⎪⎭
(a 、b ∈R +
) ，
当且仅当a = b时，“=”号成立； 3
3
c 3
≥3abc ⇔abc ≤a 3+b 3+c 3
③a +b +3
(a 、b 、c ∈R +) ，
当且仅当a = b = c时,“=”号成立；3
④a +b +c ≥3abc ⇔abc ≤⎛ a +b +c ⎫+
⎝3⎪⎭
(a 、b 、c ∈R ) , 当且仅当a = b = c时,“=”号成立.
注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；
② 熟悉一个重要的不等式链：
2
+b 2
≤a +b
a 2≤2
≤2
。 a +b
二、函数f (x ) =ax +
b
x
(a 、b >0) 图象及性质 (1)函数f (x ) =ax +
b
x
(a 、b >0)图象如图： (2)函数f (x ) =ax +b
x
(a 、b >0)性质： ①值域：(-∞, -2ab ] [2ab , +∞) ；
②单调递增区间：(-∞,
，+∞
) ；单调递减区间：
，[(0,0) . 三、用均值不等式求最值的常见类型 类型Ⅰ：求几个正数和的最小值。 例1、求函数y =x +
1
2(x -1)
2
(x >1) 的最小值。 解析：y =x +
12(x -1) 2(x >1) =(x -1) +12(x -1) 2+1(x >1) =x -1x -11
2+2+2(x -
1) 2
+1(x >1) ≥351≥2+1=2， 当且仅当
x -11
2=2(x -1)
2
(x >1) 即x =2时，“=”号成立，故此函数最小值是52。 评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。 类型Ⅱ：求几个正数积的最大值。 例2、求下列函数的最大值：
①y =x 2
(3-2x )(0
2
) 解析：①
0
2
, ∴3-2x >0， ∴y =x 2
(3-2x )(0
3
]3=1， 当且仅当x =3-2x 即x =1时，“=”号成立，故此函数最大值是1。 ②
0
π
2
, ∴sin x >0,cos x >0，则y >0，欲求y 的最大值，可先求y 2的最大值。
y 2
=sin 4
x ⋅cos 2
x =sin 2
x ⋅sin 2
x ⋅cos 2
x =1222
1sin 2x +sin 2x +2cos 2x 2(sinx ⋅sin x ⋅2cos x ) ≤2⋅(
3) 3=427
, 当且仅当sin 2x =2cos 2
x
(0
x
π
2
) ⇒tan x x =arc
tan 时 “=”号成立，故
评析：利用均值不等式求几个正数积的最大值，关键在于构造条件，使其和为常数。通常要
通过乘以或除以常数、拆因式（常常是拆高次的式子）、平方等方式进行构造。 类型Ⅲ：用均值不等式求最值等号不成立。
例3、若x 、y ∈R +
，求f (x ) =x +
4
x
(0
x
(a 、b >0) 图象及性质知，当x ∈(0,1]时，函数
f (x ) =x +4
x
是减函数。证明：任取x 1, x 2∈(0,1]且0
f (x -f (x 4-4
) =(x x -x x x -41) 2) =(x 1-x 2) +(1-x 2) +4⋅21x =(x 12
x 1-x 2) ⋅， 1x 21x 2
x 1x 2∵0
1
x 0⇒f (x 1) >f (x 2) ， 1x 2
即f (x ) =x +
4x 在(0,1]上是减函数。故当x =1时，f (x ) =x +4
x
在(0,1]上有最小值5。 解法二：（配方法）因0
x +
4x =2+4， 易知当0
1时，μ=
0且单调递减，则f (x ) =2+4在(0,1]上也是减函数，
即f (x ) =x +
4x 在(0,1]上是减函数，当x =1时，f (x ) =x +4
x
在(0,1]上有最小值5。 解法三：（拆分法）f (x ) =x +
41x (0
x ) +33
x ≥1
=5， 当且仅当x =1时“=”号成立，故此函数最小值是5。
评析：求解此类问题，要注意灵活选取方法，特别是单调性法具有一般性，配方法及拆分法
也是较为简洁实用得方法。 类型Ⅳ：条件最值问题。 例4、已知正数x 、y 满足
81
x +y
=1，求x +2y 的最小值。 解法一：（利用均值不等式）x +2y =(8+1)(x +2y ) =10+
x x
y
y +16y x ≥10+18, ⎧⎪81⎨
x +y =1
当且仅当⎪即x =12, y =3时“=”号成立，故此函数最小值是18。
⎪x y
=16y ⎪⎩x 解法二：（消元法）由
81
x x x +y
=1得y =
x -8，由y >0⇒x -8>0又x >0⇒x >8，则x +2y =x +
2x x -8=x +2(x -8) +16x -8=x +2+16x -
8=(x -8) +16
x -8+10≥10=18。 当且仅当x -8=
16
x -8
即x =12, 此时y =3时“=”号成立，故此函数最小值是18。 ⎧解法三：（三角换元法）令⎪8⎪=sin 2x ⎧⎨x ⎪⎪x =8sin 2x ⎪1则有⎨
⎪=cos 2x ⎪1⎩y
⎪⎩y =
cos 2x 则：x +2y =
82
x +cos x
=8csc 2x +2sec 2x =8(1+cot 2x ) +2(1+tan 2x ) =10+8cot 2sin 22
x +
2tan 2x ≥10+≥18，易求得x =12, 此时y =3时“=”号成立，故最小值是18。
评析：此类问题是学生求解易错得一类题目，解法一学生普遍有这样一种错误的求解方法：
x +2y =(8x +1y )(x +2y ) ≥=8。原因就是等号成立的条件不一致。
类型Ⅴ：利用均值不等式化归为其它不等式求解的问题。
例5、已知正数x 、y 满足xy =x +y +3，试求xy 、x +y 的范围。 解法一：由x >0, y >0，则xy =x +
y +3⇒xy -3=x +y ≥
即2
-3≥
0≤-1(舍) ≥3，
当且仅当x =y 且xy =x +y +3即x =y =3时取“=”号，故xy 的取值范围是[9,+∞) 。 又x +y +3=xy ≤(
x +y 2
) 2
⇒(x +y ) 2-4(x +y ) -12≥0⇒x +y ≤-2(舍) 或x +y ≥6， 当且仅当x =y 且xy =x +y +3即x =y =3时取“=”号，故x +y 的取值范围是[6,+∞) 。
解法二：由x >0, y >0，xy =x +y +3⇒(x -1) y =x +3知x ≠1，
则：y =
x +3x +3
x -1，由y >0⇒
x -1
>0⇒x >1， 则：xy =x ⋅
x +3x 2+3x (x -1) 2+5(x x -1=x -1=-1) +4x -
1=(x -1) +4
x -1
+5≥5=9， 当且仅当x -1=
4
x -1
(x >0) 即x =3，并求得y =3时取“=”号，故xy 的取值范围是[9,+∞) 。
x +y =x +
x +3x -1=x +x -1+4x -1=x +4x -1+1=(x -1) +4x -1+2≥2=6，
当且仅当x -1=
4
x -1
(x >0) 即x =3，并求得y =3时取“=”号，故xy 的取值范围是[9,+∞) 。 评析：解法一具有普遍性，而且简洁实用，易于掌握，解法二要求掌握构造的技巧。 四、均值不等式易错例析： 例1. 求函数y =
(x +4)(x +9)
x
的最值。
错解：y =(x +4)(x +9)x =x 2+13x +36x =13+x +36x ≥13+2x ⋅x
=25
当且仅当x =
36
x
即x =±6时取等号。所以当x =±6时，y 的最小值为25，此函数没有最大值。分析：上述解题过程中应用了均值不等式，却忽略了应用均值不等式求最值时的条件导致错误。因为函数y =
(x +4)(x +9)
x
的定义域为(-∞，0) (0，+∞)，所以须对x 的正负加以分类讨论。正解：1）当x >0时，y =13+x +
3636x ≥13+2x ⋅x
=25 当且仅当x =
36
x
即x =6时取等号。所以当x =6时，y min =25 2）当x 0，-
36x >0， (-x )+ ⎛⎝-36⎫x ⎪⎭≥2(-x )⎛ ⎝-36
⎫x ⎪⎭
=12 ∴y =13-[(-x ) +(-
36
x
)]≤13-12=1 当且仅当-x =-
36
x
，即x =-6时取等号，所以当x =-6时，y max =13-12=1. 例2. 当x >0时，求y =4x +9
x
2的最小值。
错解：因为x >0，y =4x +
9x 2≥24x ⋅6x 2= 所以当且仅当4x =93
6x 2即x =4
时，y min =
=2。 分析：用均值不等式求“和”或“积”的最值时，必须分别满足“积为定值”或“和为定值”，而上述解法中4x 与
9
x 2
的积不是定值，导致错误。 3
正解：因为x >0，y =4x +99x 2=2x +2x +x 2≥32x ⋅2x ⋅x
2=3
当且仅当2x =9
x
2，即x =
2时等号成立，所以当x =2
时，y min =3。 例3. 求y =
x 2+5x 2
+4
(x ∈R ) 的最小值。
错解：因为y =
x 2+5x 2
+4
=x 2+4+
12x 2
+4≥2
x +4⋅
x 2
+4
=2，所以y min =2
分析：忽视了取最小值时须x 2+4=1成立的条件，而此式化解得x 2+4
x 2=-3，无解，所
以原函数y 取不到最小值2。 正解：令t =
x 2+4(t ≥2)，则y =t +1
t
(t ≥2)
又因为t ≥1时，y =t +1t 是递增的。所以当t =2，即x =0时，y 5min =2
。 例4. 已知x , y ∈R +且
1x +4
y
=1，求u =x +y 的最小值. 错解： 1=
1x +4y ≥4xy
⇒xy ≥4 , ∴u =x +y ≥2xy ≥8, ∴u 的最小值为8. 分析：解题时两次运用均值不等式，但取等号条件分别为1x =4
y
和x =y ，而这两个式子不能同时成立，故取不到最小值8. 正解：u =(x +y 1
+
4x y ) =5+4x y +y x
≥5+4=9 当且仅当
4x y =y
x
即x =3, y =6时等号成立. ∴u 的最小值为9. 综上所述，应用均值不等式求最值要注意： 一要正：各项或各因式必须为正数；
二可定：必须满足“和为定值”或“积为定值”，要凑出“和为定值”或“积为定值”的式子结构，如果找不出“定值”的条件用这个定理，求最值就会出错；
三能等：要保证等号确能成立，如果等号不能成立，那么求出的仍不是最值。
技巧一：凑项
例1：已知x
4，求函数y =4x -2+1的最大值。
4x -5
解：因4x -5
4x -5
不是常数，所以对4x -2要进行拆、凑项，
x 0，∴y =4x -2+4x -5=-⎛ ⎝
5-4x +1⎫5-4x ⎪⎭+3≤-2+3=1， 当且仅当5-4x =
1
5-4x
，即x =1时，上式等号成立，故当x =1时，y max =1。 技巧二：凑系数
例2. 当时，求y =x (8-2x ) 的最大值。 解析：由
知，，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，注意到2x +(8-
2x ) =8为定值，故只需将y =x (8-2x ) 凑上一个系数即可。
当
，即x ＝2时取等号 当x ＝2时，y =x (8-
2x ) 的最大值为8。
技巧三： 分离
x 2例3. 求y =
+7x +
10
x +1
(x >-1) 的值域。 解：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x ＋1）的项，再将其分离。
当
, 即
时, y ≥5=9（当且仅当x ＝1时取“＝”号）。 技巧四：换元
解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t =x ＋1，化简原式在分离求最值。
y =(t -1) 2+7(t -1）+10t 2+5t +44t =t =t +t
+5
当
, 即t =时, y ≥5=9（当t =2即x ＝1时取“＝”号）。
技巧五：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数f
(x ) =x +a
x
的单调性。2例：求函数y =
解：令
=t (t ≥2)
，则2
y
==t +1
(t ≥2)
t 因t >0, t ⋅1
=1，但t =1t t
解得t =±1不在区间[
2, +∞)，故等号不成立，考虑单调性。
因为y =t +1在区间1, +∞)单调递增，所以在其子区间2, +∞)为单调递增函数，故y ≥5t
[[
2
。 所以，所求函数的值域为
⎡⎢52, +∞⎫
⎪。 ⎣⎭
技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。。 2：已知x >0, y >0，且
1x +9
y
=1，求x +y 的最小值。 解：x >0, y >0, 1x +9y =1，∴x +y =(x +y )⎛ 1⎝x +9⎫y ⎪⎭=y x +9x y
+10≥6+10=16
当且仅当
y x =9x y
时，上式等号成立，又1x +9y =1，可得x =4, y =12时，(x +y )min =16 。
巩固练习：
1、已知：x 2+y 2=a , m 2+n 2=b 且a ≠b ，则mx +ny 的最大值为( )
(A)ab (B)a +b
a 2+2 (C)b 2a 2+b 22 (D)2
2、若a , x , y ∈R +，且x +
y ≤a x +y 恒成立，则a 的最小值是( )
(A)22 (B)2 (C)2 (D)1
3、已知下列不等式：①x 3+3>2x (x ∈R +) ；②a 5+b 5≥a 3b 2+a 2b 3(a , b ∈R +) ； ③a 2+b 2≥2(a -b -1) . 其中正确的个数是( ) (A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个 4、设a , b ∈R +，则下列不等式中不成立的是( )
(A)(a +b )(1a +1b ) ≥4 (B) a 2+b 2ab
≥2ab (C)ab +
1
ab ≥2 (D)2ab a +b ≤ab 5、设a , b ∈R +且2a +b =1, S =2ab -4a 2-b 2的最大值是( )
(A)2-1 (B)
2-12+1
2 (C)2+1 (D)2
6、若实数a , b 满足a +b =2，则3a +3b
的最小值是( )
(A)18 (B)6 (C)2 (D)2 7、若正数a , b 满足ab =a +b +3，则ab 的取值范围是8、若x , y ∈R +
, 且2x +y =1，则
1x +1
y
的最小值为.