洛必达法则巧解高考压轴题

导数结合洛必达法则巧解高考压轴题

求证：不等式exx1恒成立.

对于x0,，不等式exax1恒成立，求实数a的取值范围.

方法一：讨论假设

方法二：洛必达法则

1.2006年全国2理

设函数f(x)＝(x＋1)ln(x＋1)，若对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立，

求实数a的取值范围． （,1]。

2.2006全国1理

已知函数fx1xax

1xe.

（Ⅰ）设a0，讨论yfx的单调性；

（Ⅱ）若对任意x0,1恒有fx1，求a的取值范围. a,2

3.2007全国1理

设函数f(x)exex．

（Ⅰ）证明：f(x)的导数f(x)≥2；

（Ⅱ）若对所有x≥0都有f(x)≥ax，求a的取值范围． ∞，2

王霖普

4.2008全国2理 设函数f(x)sinx． 2cosx

（Ⅰ）求f(x)的单调区间；

（Ⅱ）如果对任何x≥0，都有f(x)≤ax，求a的取值范围．（a

5.辽宁理 设函数f(x)1.） 3lnxlnxln(x1). 1x

⑴求f(x)的单调区间和极值;

⑵是否存在实数a,使得关于x的不等式f(x)…a的解集为(0,)?若存在,求a的取值范围;若不存在,试说明理由.

6.2010新课标理

设函数f(x)=e1xax.

（Ⅰ）若a0，求f(x)的单调区间; x2

（Ⅱ）若当x≥0时f(x)≥0，求a的取值范围. ,

12

已知函数f(x)x(ex1)ax2.

（Ⅰ）若f(x)在x1时有极值，求函数f(x)的解析式；

（Ⅱ）当x0时，f(x)0，求a的取值范围. （a1.）

由洛必达法则有

ex

x0g(x)lim1x0xlimex

limx011，

即当x0时，g(x)1

所以g(x)1，即有a1.

综上所述，当a1，x0时，f(x)0成立.

8.2010全国大纲理

设函数f(x)1ex.

（Ⅰ）证明：当x1时，f(x)x

x1；

（Ⅱ）设当x0时，f(x)x

ax1，求a的取值范围. (,1

2].

已知函数f(x)alnxb，曲线yf(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x2y30. x1x

（Ⅰ）求a、b的值； （Ⅱ）如果当x0，且x1时，f(x)

利用洛必达法则处理如下：

II）由题设可得，当x0,x1时，k

由洛必达法则知limgx2limx1x1xlnx1lnx1121210 lim2x1x22x1

k0，即k的取值范围为（-，0]