外国教育资料2000年第6期
基于开放式问题的数学教学模式研究
徐斌艳
数学教学中使用的传统问题有一个共同的特征:即针对该问题事先确定一个并且只有一个正确答案, 问题的设计也要保证其答案正确或者错误, 并且正确答案是唯一确定的, 我们称这类问题为‘完整的’或‘封闭’的问题。与之相对, 我们称那些有多种正确答案的问题为‘不完全’或‘开放式’的问题, 这类问题渗透在我们身边。在教学中如果要求学生专心开发不同的方式方法来获得某个问题的答案, 而不仅仅是找出这个问题的答案, 从这个意义上看, 学生面对的并且要解决处理的是一个开放式问题, 因为所要求的不是问题的答案, 而是获得某个答案的方法, 而且不仅仅是一种方法, 而是多种不同的方法。在这种情况下, 如果教师仅仅接受一种方法为正确方法, 那么相应的问题就失去‘开放性’。在教学中, 日本教育专家称这种教学模式为‘开放式过程’‘, 不完全’问题(参见Shigeru Shima 2da ,1997) , 教学过程中使用多种正确的问题的答案, 为在过程中发现新的东西提供准备, 这可以通过结合学生的知识、技能或思维方法来实现。
究人员总结出一套在小学和中学进行的开放式教学模
式, 他们对这种教学模式的特点总结如下(参见SaWa 2da , Toshio ,1997) :
首先开放式教学模式有助于:
1) 学生更积极地参与到课堂教学中, 并且经常表达自己的想法;
2) 学生拥有更多的机会, 全面地使用其数学知识和技能;
3) 即使是成绩较差学生也能够以他们自己的方式回答问题;
4) 学生从内心被动员起来论证自己解决问题的方式方法;
5) 学生积累丰富的经验, 乐于发现并接受其他同学的证明;
但是开放式教学还存在着某些缺陷:
1) 较难准备一个有意义的数学问题情景;
2) 对教师来说较难成功地提出问题。有时学生在理解问题的回答与证明上出现困难;
3) 一些优秀的学生会对自己的回答产生焦虑; 4) 学生会因为在概括问题时出现的困难而不满足自己的学习。
但是上述的缺陷不是不能克服的。我们在设计教学计划时应该首先考虑如何设计合理的问题, 如何在课堂教学中使用这些问题, 如何评价学生的活动。在教学活动要充分体现开放式教学的优势, 克服有关的缺陷。
下面我们根据具体的问题情景, 阐述开放式教学的思想。
一、基于开放式问题的教学模式
在开放式教学中教师为学生提供一种问题情景, 在这情境中答案或解答不是唯一的, 教师就利用这种解决问题的多样性, 促进学生联系所学的知识和技能、发挥已有的数学思维方式, 培养他们创造与发明新事物的经验能力。
针对这种开放式的过程, 课堂教学活动的构造应该是:
———帮助学生适当地将问题情景数学化; ———充分利用自己的知识和技能寻找数学规则或关系;
———解决问题; ———检验结果; 同时要———了解其他学生的创造发明以及方法; ———比较和检验不同的思想; ———改善并进一步发展他们自己的思想。
根据多年的实践研究, 日本国家教育研究所的研
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二、开放式问题的类型及其案例
类型11寻找关系。在这类问题中给出了相应的数据, 要求学生找出一些有效的数学规则、命题或关系。这里的数据不仅指数字式的数据, 而且包括给学生的任何信息。
例子1:篮球赛积分表
为学生提供一张篮球比赛积分表, 这是报纸上经常出现的内容, 是学生所熟的。
队名
A B C D E
参赛次数
2521222222
取胜次数
1611986
失败次数
7891313
平局次数
22413
取胜概率
0. 6960. 5790. 5000. 3810. 316
今后比赛的次数
———
3. 02. 52. 51. 0
根据表中提供的数据, 我们可以构建多种关系, 如
1) 比赛、取胜、失败和平局次数之间的加法关系(比赛次数) =(取胜次数
) +(失败次数) +(平局次数)
2) 取胜率、取胜次数和失败次数之间的乘法关系(取胜率) =(取胜次数) ÷[(比赛次数) -(平局次数) ]
3) 今后的比赛次数由两个队的获胜次数和失败次数之间的关系来决定
4) 总的比赛次数是偶数
5) 获胜的总次数等于失败的总次数
这个问题的目的是让学生从几个不同的角度找出尽可能多的规则或关系。这些规则可以从简单到复
杂, 例如规则1) 很容易找到, 而其它规则比较难挖掘, 因为有些规则包含了较为复杂的过程。
例子2:寻找共同的特征
给出下面两组图表,A 组包括一张图象和一个数字表格。B 组包括一些表征那些函数的代数表达式。要求学生检验A 组中的图像(1) 和表格(2) , 从B 组选择与(1) 和(2) 有共同特征的函数, 并且解释选择的理由, 找出尽可能多的共同特征。
学生有可能发现多种特征, 如变化率、代数表达式、图像的形状、函数的定义域等等。在教学中使用这个问题使学生能够综合他们所学的线性函数概念。
类型2:在类问题中要求学生根据各种不同的特征对数学概念或物体进行分类, 这有助于他们形成某些新数学概念。
例子3:对各种不同的立体图形进行分类
给学生展示如下立体图形, 要求学生考察展出的立体图形, 选择一个或几个与图形B 有相同特征的图形, 并记下这些特征。然后选择一个或几个与图形H 有相同特征的图形, 并记下这些特征。
依据学生解决问题的方式方法, 按照各种不同的特征能够形成图形集合。这个问题可以被用来总结学生在课堂教学活动中学到的知识, 也可以用来作为导入主题, 开发今后的教学活动。在解决这个问题的过程中, 学生也许会产生特有的想法, 教师在今后的教学活动中鼓励他们利用自己的想法, 这是增加学生学习动机的最佳方法之一。
类型3:测量。在这个问题中要求学生针对特定的现象组织数字测量。这类问题涉及数学思维的不同层面, 希望学生应用已经学到的数学知识和技能来解决问题。
例子4:弹子问题三个学生A 、B 、C 各扔了5个弹子, 结果如下图所示。在这个游戏中谁的弹子散射最小, 谁就获胜。请设计尽可能多的方法从数字角度来测量散射的程度。
这个问题要求学生将弹子散射程度量化。通常在2维散射上没有唯一确定的解释, 根据所看到的各种点可能会有不同的量化方法。这个问题可以在小学或初中阶段使用。
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学生可能会发现如下测量方法:
1) 测量多边形的面积2) 测量多边形的周长
3) 测量两点间最长线段的长度4) 所有两点间线段长度之和
5) 从某一固定点到其它各点距离的长度之和6) 测量包括所有点的最小圆的半径
7) 利用某个坐标系计算标准或平均偏差
每种方法都有其优缺点, 有的学生也许把点连接起来构成一个多边形, 并试图测出其面积。而其它一些学生也许会批评这种方法, 因为如果所有点在一条线上, 这种方法就有一定难度。在这种情况下, 对教师来说重要的是, 帮助学生明确所设计的测量方法的利弊。
这些开放式的问题, 给学生提供设计各自的解决思路的空间, 帮助他们从不同角度看问题, 同时培养他们对他人的问题解决途径进行合理评价的习惯。那么到底如何构造一个真正的好的开放式问题, 这是我们进行开放式教学的基础。
三、如何构建开放式问题
一般而言, 设计一个好的、合适的开放式问题需要考虑许多因素, 经过理论与实践上的探索研究, 我们认为在构建开放式问题时应该遵循如下几条规则:
1) 准备一个物理性情景, 其中包括一些能够考察数学关系的变量。
例:展出一台正在录音的磁带录音机。考察随时间变化引起的量的变化, 挖掘其中的数学关系。
2) 把几何定理如“如果P , 那么Q ”的证明问题, 改变为“如果P , 那你能在图形中找到哪些元素间的关系? ”
例:考察下列几何证明:
1627108
2936135
31245162
41554189
证明:如果图形ABCD 是平行四边形, 射线CE 是角BCD 的平分线, 那么AE =|AD -AB|
我们把这个问题修改为某个开放式问题, 即:
如果图形ABCD 是平行四边形, 射线CE 是角BCD 的平分线,E ’F ’是平行四边形ABCD 在C 点的外角的平分线, 那么在线段、角和三角形之间能找到哪些关系?
在解决这类开放式问题前, 教师应该首先帮助学生理解“几何图形之间关系”的意思。如我们要考察线段之间的关系, 学生就应该能够回忆相等、不等、比率、平行、垂直等的关系。
3) 为学生出示一些与几何定理相关的几何图形, 然后为他们画出与所给图形相似的其它图形, 要求他们推测一个由这些图形引起的定理。
例
:
这些图形与三角形两边中点连线的定理有关, 我们假定学生熟悉在图形中画出的标记, 那么学生就能同时推出某个定理及其反定理。
4) 为学生展示一个数字序列或数字表格, 要求他们去发现一些数学规则。
例:从下表找出尽可能多的数字模式。
51863216
62172243
72481270
…………
这表通过循环公式得出:f(m ,n ) +f (m ,n +1) +f (m ,n +2) =f (m +1,n ) ,f (1,n ) =n , 其中,f (m ,n ) 是第
m 行第n 列的一个项。20
例如可以观察到, 沿左下对角线的级数是常比为3的几何级数, 或第m 行的级数是常差为3n -1的算术级数, 等等。利用定义的循环公式证明这些规则是应
用数学归纳法的练习。
5) 为学生展示几个范畴中的一些具体例子, 把其中之一作为一个例子, 并要求学生列举具有相同特征的其它例子。列举方法可以基于刻画例子特征的各种方法之上。
例:给学生一些组成墙纸图案的几何图案, 把其中的一种图案作为例子。根据转换、对称或旋转的方向来考虑它们的特征。要达到某个结论的过程类似于概念构成的过程, 在此通过确认一批对象的共同性质来形成这一组对象。
6) 为学生提供一组相类似的练习或问题。要求学生解决问题, 然后至少在两个问题间找出尽可能多的共同性质。
例:1) 画出下列函数的图像;2) 写出尽可能多的两个以上(包括两个) 函数共同拥有的性质。
(a ) y =x (b ) y =x 2 (c ) y =x 3
55523
(b ) =-x (e ) y =-x (f ) y =-x
555
原先这些练习是封闭式的, 要解决的问题是“那个是递增函数? ”“, 哪个函数的定义域是实数的真子集? ”等等。通过上述方式修改问题后, 使学生能够从自己的角度思考问题, 相应地在回答问题时也有一定的自由度。
7) 为学生提供几个准数学情景, 在这些情景中可以考察特定的差异, 要求他们找出测量差异的方法。
例:有一些人就他们对一些饮料的爱好进行分类, 请设计一种测量, 确定这些归类等级的精确性。
有许多可能的测量方法, 如司派曼的等级—次序相关性或得分法, 依赖于确定等级次序一致程度的方法。
8) 为学生提供一个存在代数结构(如群的结构) 以及容易收集数字数据的具体例子, 然后要求学生找出似乎真实的数学规则。
例:准备两个不同尺寸的纸圆盘A 和B , 其中A 的半径大于B 的半径。把0,1,2,3,4等距离标在每个圆盘的边缘。在圆盘中央刺小孔使它们能够绕着中心自由旋转。现在引进一个新加法符, 记为 , 其意义是:a b 代表, 旋转后圆盘A 的a 与圆盘B 上b 排列在一起。因此, 如果B 上的0与A 上的2排在一起, 与B 上的4排在一起的A 上的数字是1; 即2 4=1。类似地,3 2=0,3 4=2。针对加法哪些规则是真实的?
这个例子包含着残系数为5的加法群。要求学生通过实验发现这类群的一些性质, 尽管它是属于群理论的高级水平。
我们把前面提到的3大问题类型与现在的8种编
制策略对照起来看, 如果要设计第一类问题(寻找关系) 我们可以使用策略1,2,3,4和8; 如果要应用第二类问题(分类) , 我们应该使用策略5和6; 如果是针对第三类问题(测量) 就采用策略7。
四、如何设计教学方案
11确定问题是否合适
老师根据上面提到的问题设计策略构建开放式问题, 在将问题用于班级教学前有必要考虑以下几点:
这个问题应该是鼓励学生从不同角度进行思考。然而, 单单做到这一点还不够, 问题还应该含有丰富的数学内容, 使得成绩优秀与成绩差者都能通过不同的方法解决这个问题, 每种方法都要有数学价值。
当学生解决开放式问题时, 他们需要使用以前学到的数学知识与技能。如果教师认为这个问题超出学生的能力, 就不应该在班级中使用这个问题, 或对此作修改。一般而言, 问题的难度应该与学生的能力相对应, 然而, 如果教师想要使用某个开放的问题进行评价, 就不必证明被推想的建议是否在学生能力范围内。学生在某个情境下似乎真实的结论本身有重要意义, 尽管学生也许不能给出理由。
在学生对开放式问题的各种回答中, 有些有答可能与较高级的数学概念相联系, 或者能够进一步发展成高级数学思维。
21编制教学计划
利用适当的策略构建适当的开放式问题后, 我们的任务是编制一个好的教学计划, 这里教师应该考虑如下几点:
我们希望学生以不同的方式方法对开放式问题作出回答, 因此在备课时应该列举尽可能多的问题答案。由于学生表述其思想或思维的能力是有限的, 他们也许不会适当地将问题解决的活动用语言表示出来, 也可能他们用不同的方法解释相同的数学思想。重要的是教师要以学生的语言列出尽可能多的学生的回答, 即使这些回答可简化为很少的命题, 另外应该列出高于学生水平的回答。
然后应该根据各种观点重新整理和编组这些回答, 并就每个观点概括出一个一般命题, 对每个回答, 教师应该阐明其内在的数学价值或未来发展的方向。
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教师应该理解这个教学计划中的开放式问题的作用。问题可以作为一个独立的主题, 或用于新概念的导入, 或用于总结学生的学习。根据丰富的实践经验, 开放式的问题特别适合导入概念或总结学习。
教师应该直接将问题表达出来, 使学生容易理解, 并能找到解决问题的途径。有时如果教师对问题的阐述太扼要, 学生对问题的理解就会模糊不清, 或错误理解问题, 因为他们在根据教材学习时没什么经验。为了避免这种情况, 教师应该十分注意问题提出或表征的方式方法。
教师采用的问题对学生来说应该是具体和熟悉的, 而且能唤起学生智力上的好奇。由于解决一个开放式问题需要充分的时间进行思索, 问题应该有足够的吸引力, 从而抓住学生的兴趣。一个好的例子是有精彩内容的问题情景。
允许学生有足够的时间去完整地探索问题
建构一个开放式问题, 让学生解决问题, 其中要讨论问题解决的方式方法以及相应的答案, 最后总结学习的内容, 这整个过程所需的时间比想象得要多。因此教师应该给学生足够的时间来探索问题, 尤其在讨论阶段给学生充分的时间, 学生之间与师生之间的积极讨论是进行开放式问题教学的关键。从时间上看, 教师可以针对一个开放式问题使用两个教学单元。在第一单元(阶段) , 学生独立或小组式解决任务, 并总结自己的发现或观点。然后在第二阶段, 整个班级讨论解决过程和解答, 教师作相应的点评。
五、对基于开放式问题的教学模式的几点建议
如果教师真正要启动这种教学模式, 必须考虑到以下几点:
构建问题
如果我们在教室里构建开放式问题, 经常要问学生“你能找到哪些性质(关系、规则、方法等) ? ”, 这样的问题也许会使那些刚刚使用这种方法的学生感到迷惑, 因为这不同于一般的数学性质、关系、规则、方法等的使用。为了帮助学生理解问题的意义, 下列一些方法比较有效:
1) 鼓励学生在构建开放式问题时集中在相同的要点上, 这里可以使用投影仪和准备完善的幻灯片。
2) 为概括问题要使用更多的数据, 如在问题情景中引进变量或展示较多的具体数据(例子) 。例如针对篮球赛积分问题, 我们可以给出其它例子, 这里不仅要
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阐明所给表格中的真实关系, 而且类似表格中的关系。
3) 给出不限制学生思维方式的例子。例如针对上面曾经提到的一个问题:根据一个给出的立体形集合, 学生要创建具有相同特征的立体形集合, 教师可以这样提示“:首先, 让我们考虑围绕平面形状。”
4) 充分利用具体材料作为教具。组织教学
基干开放式问题的教学方法特别强调学生的个性化思维, 教师应该认真采用来自学生的特别想法, 不要给所有学生一个固定的取向。这种教学的组织形式也包括两个方面, 即个人的活动与整个班级的讨论活动。我们不是寻找单一的或唯一的解答, 要鼓励学生寻找那些没有出现过的新方法和解答, 这个手段尤其适用从个别学习向班级讨论推进的过程中。
记录学生的表现
在教学活动中应该记录下学生对开放式问题的反应、采用的方法或解答, 这些记录是今后个人和小组学习要采用的。学生可以使用笔记本或学习表来记录这些信息。教师在课后要收集这些学习表, 用于今后对个人或小组学习的评价。教师应该根据学生记录的信息, 发现那些不理解问题的学生, 并给他们更多的例子或建议, 来激励他们以相应的方法思考问题。当教师有目的地巡视学生的活动时, 给出这类帮助。另外要给学生足够的时间完成他们的作业。
教师或学生应该在黑板上简要描写个人或小组的活动, 教师应该推断出所有学生的命题, 甚至那些相似的、或与他人重复的命题。要鼓励学生确认他们的工作是否与其它学生的命题相一致, 或是否能够简化自己的命题。如果学生提出的某些命题是错误的或表述上不完整, 教师也应该给予正面的关心, 并通过来自其它同学的评论来修正这些命题。如果学生总结出过多的命题, 教师应该集中在一个命题上, 引导出一个结论。如果教师适当地总结并改善学生的解答, 应该有序地整合并安排他们, 根据特殊的观点总结学习, 促进问题流畅地过度到下一课时中。
六、评价标准
针对某个开放式问题学生有各种不同的反应或回答, 因此对教师来说比较难以进行评价, 我们认为在此可以采用以下几方面对学生活动进行评价:首先教师要准备一份列举各种可能答案的表格, 对这些答案有序地按照数学特征进行分类和安排。在上课期间, 要检验学生实验的答案, 记录到表格相应的空栏中, 学生的成就可以根据如下准则, 利用这个表进行评价:
(下转第17页)
基本要求, 所有的公立学校都必须提供宽广和平衡的课程, 这种课程能促进学生精神、道德、文化和身心的发展, 能使学生在校时就为日后把握生活、富有职责和获得成人生活经验奠定基础。
教育法要求教育大臣、地方教育当局、校董会、校长采取各种有效措施达到上述要求。教育大臣的举措是构建了包括国家课程、宗教教育和其它法定要求的全国性教育框架。设计这样的教育框架旨在使各学校能有效地对国家和地方教育当局负责, 能满足所有学生各别的学习需求, 能发展以社区为特点的办学特色和社会精神。
在该框架中的国家课程要达到的目的在于:11赋予权利
国家课程要保证所有的学生, 不论其社会背景、文化、种族、性别和能力差异, 获得多方面的学习权利, 发展其作为积极和负责的公民之自我实现和成长所必不可少的知识、理解、技能和态度。
21设立标准
国家课程使学生、家长、教师、管理人员、雇主和公众明确了对学习的期望和应该达到的目标之所在, 为学生在各门学科的学习中取得的成就制定了全国性标准。可用这些标准来制定改进的目标, 评价迈向这些目标的进步, 检验和比较个体间、小组间、学校间的成就差异。
(上接第22页)
31促进连续性和一致性
全国课程提供了具有内在一致性的全国性课程框架, 促进课程的连续性, 在保证学生学习的进步方面也具有相当的灵活性。它便于学生在学校之间、学习阶段之间的转换, 并为学生的终身学习奠定基础。
41推动公众的理解
国家课程提高了公众对学校教育的理解和信心, 为包括学生、家长、教师、管理人员和雇主在内的教育专业人员和非专业人员间进行的教育问题大讨论提供了共同的基础。
主要参考资料:
1. OFSTED ,2000-3-13,National Curriculum ,
http :∥www. ofsted. gov. uk/pubs/nat -curr/index. htm 2. QCA ,2000-4-19,Changes Across All Subjects , http :∥www. qca. org. uk/changes -to -the -nc/3. QCA ,2000-5-23,About the National Curriculum , http :∥www. nc. uk. net/about/toreword. html 4. QCA ,2000-5-23, Education 3-16,
http :∥www. qca. org. uk/changes -to -the -nc/main. htm 5. QCA ,2000-6-4, The School Curriculum and the National Curriculum ,
http :∥www. nc. uk. net/about/values -aims -purposes. html
(作者单位:盐城师范学院)
流畅性———每个学生能够生产多少解答?
如果学生(小组) 的回答根据某个定理是正确的, 教师给予学生(小组) 1分, 这些分类的总和称为“回答的总分数”, 这些分数被看作是学生数学思维流畅性的指标。
灵活性———学生发现多少不同的数学思想?
一个学生生产的正确解答或方法可以归入不同的范畴, 如果两个解答(或方法) 拥有相同的数学思想, 那么它们属于相同的范畴, 这些范畴的数量被称为“肯定回答的数量”, 这个数字可以被看作学生数学思维灵活性的指标。
针对有多个正确答案的问题, 我们认为学生的分数越高, 他的灵活性就越高, 或者数学思维的范围就越广。
创意性———学生的思想在多大程度上是原创的? 如果学生(或小组) 提出一个唯一的或很有见地的思想, 这个思想的创意就应该得到高度评价。在可能的回答中, 也许存在不同层次的即从高到底的数学意义, 教师应该给有高质量数学思维的学生一个高分, 这
些分数总和被称为“肯定回答的重量级”, 这个数字可以被看作学生思想原创的指标。
前两个评价(流畅性和灵活性) 属于定量评价方法, 第三种评价(创意性) 属于定性评价法。
评价的另一个标准是学生表达自己思想的精彩程度, 一些学生以不明确的方式写下他们的解答, 而另一些人则以简洁的、精致的方法来表达自己的观点。从数学语言角度看, 用符号表述数学关系会比使用平常句子来表达更雅致, 用代数表达式则会更精彩。然而我们很难主观地评价学生表述的优雅性, 这类评价将在未来评价系统中进一步讨论。
参考文献:
Shigeru Shimada (1997) :The Significance of an Open -Ended Approach. 选自Jerry P. Becker &Shigeru shimada (ed 2
it. ) 《The Open -Ended Approach :A New Proposal for Teach 2ing Mathematics 》, 第1—9页。
Toshio Sawada (1997) :Developing Lessen Plans 。选自Jerry P. Becker &Shigeru Shimada (edit. ) 《The Open -Ended Approach :A New Proposal for Teaching Mathematics 》, 第23—35页。
(作者单位:华东师范大学)
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