动点问题题型方法归纳
动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）
动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、 相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。
下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。
一、三角形边上动点
1、（2009年齐齐哈尔市）直线y=-
3
x+6与坐标轴分别交于A、B两点，动点P、Q同时从O点出发，4
同时到达A点，运动停止．点Q沿线段OA 运动，速度为每秒1个单 位长度，点P沿路线O→B→A运动． （1）直接写出A、B两点的坐标；
（2）设点Q的运动时间为t秒，△OPQ的面积为S，求出S与t之间 的函数关系式； （3）当S=
48
时，求出点P的坐标，并直接写出以点O、P、Q为顶点的平行四边形的第四个顶点M的5
坐标．
解：1、A（8，0） B（0，6）
2、当0＜t＜3时，S=t2
当3＜t＜8时，S=3／8(8-t)t
提示：第（2）问按点P到拐点B所有时间分段分类；
第（3）问是分类讨论：已知三定点O、P、Q ，探究第四点构成平行四边形时按已知线段身份不同分类-----①OP为边、OQ为边，②OP为边、OQ为对角线，③OP为对角线、OQ为边。然后画出各类的图形，根据图形性质求顶点坐标。 2、（2009年衡阳市）
如图，AB是⊙O的直径，弦BC=2cm， ∠ABC=60º．
（1）求⊙O的直径；
（2）若D是AB延长线上一点，连结CD，当BD长为多少时，CD与⊙O相切；
（3）若动点E以2cm/s的速度从A点出发沿着AB方向运动，同时动点F以1cm/s的速度从B点出发沿BC方向运动，设运动时间为t(s)(0
图（1）
注意：第（3）问按直角位置分类讨论 图（2）
B
B
图（3）
3、（2009重庆綦江）如图，
已知抛物线y=a(x-1)2+a≠0)经过点A(-2，0)，抛物线的顶点为D，过O作射线OM∥AD．过顶点D平行于x轴的直线交射线OM于点C，B在x轴正半轴上，连结BC．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若动点P从点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的时间为t(s)．问当t为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？
（3）若OC=OB，动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒1单位和2个长度单位的速度沿OC和BO之停止运动．设它们的运动的时间为t(s)，连接PQ，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小？并求出最小值及此时PQ的长．
注意：发现并充分运用特殊角∠DAB=60°
当△OPQ面积最大时，四边形BCPQ的面积最小。
二、 特殊四边形边上动点
4、（2009年吉林省）如图所示，菱形ABCD的边长为6厘米，∠B=60°．从初始时刻开始，点P、Q同时从A点出发，点P以1厘米/秒的速度沿A→C→B的方向运动，点Q以2厘米/秒的速度沿
A→B→C→D的方向运动，当点Q运动到D点时，P、Q两点同时停止运动，设P、Q运动的时间
为x秒时，△APQ与△ABC重叠部分的面积为y平方厘米（这里规定：点和线段是面积为O的三角形），．．．．
解答下列问题：
（1）点P、Q从出发到相遇所用时间是 秒；
（2）点P、Q从开始运动到停止的过程中，当△APQ是等边三角形时x
（3）求y与x之间的函数关系式．
提示：第(3)问按点Q到拐点时间B、C所有时间分段分类 ； 提醒----- 高相等的两个三角形面积比等于底边的比 。
5、（2009年哈尔滨）如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（-3，4），点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H． （1）求直线AC的解析式；
（2）连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位／秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）；
MPB与∠BCO互为余角，并求此时直线OP与直
图（
2）
图（1）
注意：第（2）问按点P到拐点B所用时间分段分类；
第（3）问发现∠MBC=90°，∠BCO与∠ABM互余，画出点P运动过程中， ∠MPB=∠ABM的两种情况，求出t值。 利用OB⊥AC,再求OP与AC夹角正切值.
6、(2009年温州)如图，在平面直角坐标系中，点A(3，0)，B(3，2)，C（0，2)．动点D以每秒1个单位的速度从点0出发沿OC向终点C运动，同时动点E以每秒2个单位的速度从点A出发沿AB向终点B运动．过点E作EF上AB，交BC于点F，连结DA、DF．设运动时间为t秒． (1)求∠ABC的度数；
(2)当t为何值时，AB∥DF； (3)设四边形AEFD的面积为S． ①求S关于t的函数关系式；
②若一抛物线y=x2+mx经过动点E，当S
∠AOC=60°，点B的坐标是，点P从点C开始以每秒1个单位长度的速度在线段CB上向点B移动，同时，点Q从点O开始以每秒a（1≤a≤3）个单位长度的速度沿射线OA方向移动，设t(0
（2）求经过A，B，C三点的抛物线的解析式； （3）当a=3,OD=
t的值及此时直线PQ的解析式； （4）当a为何值时，以O，P，Q，D为顶点的三角形与∆OAB
相似？当a 为何值时，以O，P，Q，D为顶点的三角形与∆OAB不相似？请给出你的结论，并加以证明.
OC∥AB，8、（08黄冈）已知：如图，在直角梯形COAB中，以O为原点建立平面直角坐标系，A，B，C
0)B(810)，，C(0，4)，点D为线段BC的中点，动点P从点O出发，以每秒1个三点的坐标分别为A(8，，
单位的速度，沿折线OABD的路线移动，移动的时间为t秒．
（1）求直线BC的解析式；
2？ 7
（3）动点P从点O出发，沿折线OABD的路线移动过程中，设△OPD的面积为S，请直接写出S与t的
（2）若动点P在线段OA上移动，当t为何值时，四边形OPDC的面积是梯形COAB面积的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；
（4）当动点P在线段AB上移动时，能否在线段OA上找到一点Q，使四边形CQPD为矩形？请求出此时动点P的坐标；若不能，请说明理由．
9、(09年黄冈市)如图,在平面直角坐标系xoy中,抛物线
y=
124
x-x-10与x轴的交点为点A,与y轴的交点为点B. 189
过点B作x轴的平行线BC,交抛物线于点C,连结AC．现有两动点P,Q分别从O,C两点同时出发,点P以每秒4个单位的速度沿OA向终点A移动,点Q以每秒1个单位的速度沿CB向点B移动,点P停止运动时,点Q也同时停止运动,线段OC,PQ相交于点D,过点D作DE∥OA,交CA于点E,射线QE交x轴于点F．设动点P,Q移动的时间为t(单位:秒)
(1)求A,B,C三点的坐标和抛物线的顶点的坐标;
(2)当t为何值时,四边形PQCA为平行四边形?请写出计算过程; (3)当0＜t＜
9
时,△PQF的面积是否总为定值?若是,求出此定值, 若不是,请说明理由; 2
(4)当t为何值时,△PQF为等腰三角形?请写出解答过程． 提示：第（3）问用相似比的代换，
得PF=OA（定值）。
第（4）问按哪两边相等分类讨论 ①PQ=PF,②PQ=FQ,③QF=PF.
三、 直线上动点
8、（2009年湖南长沙）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴
0)、C(0，且当x=-4和x=2时二次相交于点C．连结AC、
BC，A、C两点的坐标分别为A(-3，
函数的函数值y相等．
（1）求实数a，b，c的值；
（2）若点M、N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动，其中一个点到
MN沿MN翻折，B 点达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为t秒时，连结MN，将△B
恰好落在AC边上的P处，求t的值及点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点Q，使得以B，N，Q为项点的三角形与
△ABC相似？如果存在，请求出点Q
提示：第（2）问发现
特殊角∠CAB=30°,∠CBA=60°
特殊图形四边形BNPM为菱形；
第(3)问注意到△ABC为直角三角形后，按直角位置对应分类；先画出与△ABC相似的△BNQ ，再
判断是否在对称轴上。 9、（2009眉山）如图，已知直线y=点D，抛物线y=
1
x+1与y轴交于点A，与x轴交于2
12
x+bx+c与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C2
两点，且B点坐标为 (1，0)。 ⑴求该抛物线的解析式；
⑵动点P在x轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点P的坐标P。
⑶在抛物线的对称轴上找一点M，使|AM-MC|的值最大，求出点M的坐标。
提示：第（2）问按直角位置分类讨论后画出图形----①P为直角顶点AE为斜边时，以AE为直径画圆与x轴交点即为所求点P，②A为直角顶点时，过点A作AE垂线交x轴于点P，③E为直角顶点时，作法同②；
第（3）问，三角形两边之差小于第三边，那么等于第三边时差值最大。 10、（2009年兰州）如图①，正方形 ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4）， 点C在第一象限．动点P在正方形 ABCD的边上，从点A出发沿A→B→C→D匀速运动，同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动，当P点到达D点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．
(1)当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标x（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；
(2)求正方形边长及顶点C的坐标；
(3)在（1）中当t为何值时，△OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标；
(4)如果点P、Q保持原速度不变，当点P沿A→B→C→D匀速运
动时，OP与PQ能否相等，若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由．
注意：第（4）问按点P分别在AB、BC、CD边上分类讨论；求t值时，灵活运用等腰三角形“三线合一”。 11、（2009年北京市）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点的坐标分别为
1
A(-6,0)，B
(6,0)，C0,，延长AC到点D,使CD=AC,过点D作DE∥AB交BC的延长线于
2
(点E.
（1）求D点的坐标；
（2）作C点关于直线DE的对称点F,分别连结DF、EF，若过B点的直线y=kx+b将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；
（3）设G为y轴上一点，点P从直线y=kx+b与y轴的交点出发，先沿y轴到达G点，再沿GA到达A点，若P点在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍，试确定G点的位置，使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短。（要求：简述确定G点位置的方法，但不要求证明）
提示：第（２）问，平分周长时，直线过菱形的中心；
第（３）问，转化为点Ｇ到Ａ的距离加Ｇ到（２）中直线的距离和最小；发现（２）中直线与ｘ轴夹角为６０°.见“最短路线问题”专题。
2、(2009年上海市)
D A D
已知∠ABC=90°，AB=2，BC=3，
AD∥BC，P为线段BD上的动点，点Q在射线AB上，且C B C B （Q）
图1 图2 PQAD图3 =满足（如图1所示）． PCAB
（1）当AD=2，且点Q与点B重合时（如图2所示），求线段PC的长；
S△APQ3
ABAP（2）在图8中，联结．当AD=，且点Q在线段上时，设点B、Q之间的距离为x，=y，其
2S△PBC
中S△APQ表示△APQ的面积，S△PBC表示△PBC的面积，求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域； （3）当AD
注意：第（2）问，求动态问题中的变量取值范围时，先动手操作找到运动始、末两个位置变量的取值，
然后再根据运动的特点确定满足条件的变量的取值范围。当PC⊥BD时，点Q、B重合，x获得最小值； 当P与D重合时，x获得最大值。
第（3）问，灵活运用SSA判定两三角形相似，即两个锐角三角形或两个钝角三角形可用SSA来判定两个三角形相似；或者用同一法；或者证∠BQP＝∠BCP，得B、Q、C、P四点共圆也可求解。
13、（08宜昌）如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，P是边AB（含端点）上的动点．过P作BC的垂线PR，R为垂足，∠PRB的平分线与AB相交于点S，在线段RS上存在一点T，若以线段PT为一边作正方形PTEF，其顶点E，F恰好分别在边BC，AC上．
（1）△ABC与△SBR是否相似，说明理由； （2）请你探索线段TS与PA的长度之间的关系；
（3）设边AB＝1，当P在边AB（含端点）上运动时，请你探索正方形PTEF的面积y的最小值和最大值．
BB
RRSS
E
PP
ACAFF C
(第13题) (第13题)
提示：第（3）问，关键是找到并画出满足条件时最大、最小图形；当p运动到使T与R重合时，PA=TS为最大；当P与A重合时，PA最小。此问与上题中求取值范围类似。
14、(2009年河北)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．
（1）当t = 2时，AP = ，点Q到AC的距离是 ；
（2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与t的函数关系式；（不必写出t的取值范围） （3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求t的值．若不能，请说明理由；
（4）当DE经过点C 时，请直接写出t的值． ．．
P 提示：（３）按哪两边平行分类，按要求画出图形，再结合图形性质求出t值；有二种成立的情形， ＤＥ∥ＱＢ，ＰＱ∥ＢＣ；
（４）按点P运动方向分类，按要求画出图形再结合图形性质求出t值；有二种情形， ＣＱ＝ＣＰ＝ＡＱ＝t时， ＱＣ＝ＰＣ＝６－ｔ时．
15、（2009年包头）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A(1，0)，B(2，0)，C(0，-2)，直线x=m（m>2）与x轴交于点D． （1）求二次函数的解析式；
（2）在直线x=m（m>2）上有一点E（点E在第四象限），使得E、D、B为顶点的三角形与以A、O、C为顶点的三角形相似，求E点坐标（用含m的代数式表示）；
（3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得四边形ABEF为平行四边形？若存在，请求出m的值及四边形ABEF的面积；若不存在，请说明理由． 提示：
第（2）问，按对应锐角不同分类讨论，有两种情形；
第（3）问，四边形ABEF为平行四边形时，E、F两点纵坐标相等，且AB=EF，对第（2）问中两种情形分别讨论。
四、 抛物线上动点
16、（2009年湖北十堰市）如图①， 已知抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A(1，0)和点B (－3，0)，与y轴交于点C． (1) 求抛物线的解析式；
(2) 设抛物线的对称轴与x轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
(3) 如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．
注意：第（2）问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点P坐标----①C为顶点时，以C为圆心CM为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P，②M为顶点时，以M为圆心MC为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P，③P为顶点时，线段MC的垂直平分线与对称轴交点即为所求点P。 第（3）问方法一，先写出面积函数关系式，再求最大值（涉及二次函数最值）； 方法二，先求与BC平行且与抛物线相切点的坐标（涉及简单二元二次方程组），再求面积。
17、（2009年黄石市）正方形ABCD在如图所示的平面直角坐标系中，A在x轴正半轴上，D在y轴的负半轴上，AB交y轴正半轴于E，BC交x轴负半轴于F，OE=1，抛物线y=ax2+bx-4过
A、D、F三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）Q是抛物线上D、F间的一点，过Q点作平行于x轴的直线交边AD于M，交BC所在直线于N，
3
2
（3）在射线DB上是否存在动点P，在射线CB上是否存在动点H，使得AP⊥PH且AP=PH，若存
若S四边形AFQM=S△FQN，则判断四边形AFQM的形状； 在，请给予严格证明，若不存在，请说明理由．
注意：第（2 第（3图形，再证明。
NM∥FA且NM＝FA;
动点问题题型方法归纳
近三年黄冈中考数学
三
年
共
同
点
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动点问题题型方法归纳
①
②
③
④
⑤特点探函求探
性殊动究数直究质四带动关线存探边线三系、在究形动角式抛性答为得形）；物问案线题。背出问 解时 析式；画 出图形，再根据图形，先景动；三 角相形似； 腰三角形、面积、等题（
大趋势
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