2017北京新高一分班考试模拟试题（数学）
本试卷共4页，共100分。考试时90分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的） ．．
1
A
．-B
．C
．-a D
．ab 2．某组病人服用某种药物后的康复时间（单位：天）分别为：10,12,12,13,14,15,17,17，现从中随机选出1人，则此人的康复时间不少于15天的概率为
A ．
5 8
1 3
1 4
3D ．
8
B ．C ．
3
．一次函数y =
A ．30° A ．长方体 C ．圆柱
x +b 的图象分别与x 轴、y 轴交于点A , B ，则∠ABO = B ．45°
C ．60° B ．三棱柱 D ．五棱柱 C ．6
D ．无数
D ．150°
4．某几何体的俯视图和侧视图都是如图所示的长方形，则这个几何体不可能是 ．．．
5．使得-x +x +4的值最小的整数x 的个数是
A ．3
B ．4
6．已知平行四边形ABCD ，如图所示，将线段BC 以点B 为旋转中心逆时针旋转60°得到点E ，将线段DC 以点D 为旋转中心顺时针旋转60°得到点F ，则∠AFE =
A ．75° C ．45°
2
B ．60° D ．30° B ．-2
7．若关于x 的方程x +2ax -a =0的一个根大于1，一个根小于1，则实数a 的取值范围是
A ．a >1
C ．a 0
8．将1，2，3，„，9这9个正整数分别写在三张卡片上，要求每一张卡片上的任意两数之差都不在这张卡片上．现在第一张卡片上已经写有1和5，第二张卡片上写有2，第三张卡片上写有3，则第三张卡片上的所有数是
A ．3，4，9
B ．3，8，6
C ．3，7，8
D ．3，8，9
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
9
．计算4sin 60o +-____________．
析式是____________. 11
10．已知点A (2,0)，O 为坐标原点，点B 在反比例函数的图象上，若∆OAB 为等边三角形，则此反比例函数的解
=成立，则实数x , y 满足的条件是____________．
12．在平面直角坐标系中，以原点O 为圆心的圆过点A （0
，过点(3,4)的弦BC 的长的最小值为____________． ）13．如果关于x 的方程x 2+2x -1=m 有两个不等的实数根，那么实数m 的取值范围是________.
14．我们称按从小到大排成一列且满足下列条件的非负整数（两两不等）为A 排列：从其中任意选出两个数（同一个数可以选两次），求得这两个数的和与差中至少有一个是该排列中的某个数. 若x ,2,5, y 是A 排列，则y +9的x +2次方根是_____________________；若a , b ,5, d 是A 排列，则2a 3+d 2-13d -3b +54的最小值是____________.
三、解答题（本大题共6小题，共58分） 15．（本小题满分9分）
a 2-9x 2+6xy -y 2 已知=1.
(a +3x ) 2-ay -3xy
（Ⅰ）求
y -3x
的值； x
2
y 2
（Ⅱ）说明(x -2)+ 的值不会小于2.
36
16．（本小题满分9分）
如图， AC 是⊙O 的一段劣弧，点D 平分 AC ，过点C 的⊙O 的切线交AD 的延长线于点B . （Ⅰ）若∠B =60︒，求∠ADC 的度数； （Ⅱ）若∠A =30︒，CB =3，求⊙O 的面积.
17．（本小题满分10分）
已知二次函数y =x -2ax +6（a 为常数）. （Ⅰ）求此二次函数图象的顶点坐标；
（Ⅱ）若当-2≤x ≤2时，函数值均大于a ，求a 的取值范围.
2
18．（本小题满分10分）
已知函数y 1=m (x -2m )(x +m +3) ，y 2=x -1. 若同时满足条件：①对于任意实数x ，y 1
19．（本小题满分10分）
如图，在四边形ABDC 中，点E 是BD 延长线上的一点，且AB =AC ，∠BAC =2∠CDE ，试判断线段AD , AC 长度的数量关系，并证明你的结论.
D
E
20．（本小题满分10分）
对于平面直角坐标系中的两点：A (m , n ), B (s , t ) 定算“⋅”：形称为一条折线.
有一条折线C ：A 1-B 2-B 3- -B n -1-A n ，使得1-A 2- -A n ，若能再作出折线C ' ：A （其中A A 1B 2⊥A 1A 2, B 2B 3⊥A 2A 3, , B n -1A n ⊥A n -1A n ，1, A 2, A 3, , A n , B 2, B 3, , B n -1都是横纵坐标均为整数的点），则称折线C ＇是折线C 的一条共轭折线.
（Ⅰ）已知点A 1(0,2),A 2(3,0),A 3(5,2)，B 2(2,5)，请在如图所示的坐标系中画出折线C :A 1-A 2-A 3和折线
. 若
义；对于
定义运
，则称线段CD ⊥PQ ; 用线段将点A 1, A 2, , A n 顺次连接而得到的图
C ':A 1-B 2-A 3，并判断折线C 是否是折线C ' 的一条共轭折线，并说明理由；
（Ⅱ）已知点A 1(0,0), A 2(3,1), A 3(6,0) , A 4(9,1) ，请说明折线A 1-A 2-A 3-A 4不存在共轭折线.
数学参考答案
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1．C
2．D
3．C
4．D
5．C
6．B
7．D
8．A
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
9．－3 12
．
10
．y =
或y =
11．x ≥0, y ≥0, 且xy =0
13．m =0或m >2 14．±4，5
三、解答题（本大题共6小题，共58分） 15．（本小题满分9分）
a 2-9x 2+6xy -y 2(a +3x -y )(a -3x +y ) a -3x +y
解：（Ⅰ）化简： ==2
(a +3x ) -ay -3xy (a +3x )(a +3x -y ) a +3x
由已知得：
a -3x +y
=1
a +3x
所以 y =6x
所以
y -3x
=3. …………5分 x
2
y 2
=x 2-4x +4+x 2=2(x -1) 2+2≥2 （Ⅱ）因为 (x -2)+36
y 2
所以 (x -2)+ 的值不会小于2. …………9分
36
2
16．（本小题满分9分） 解：（Ⅰ）因为 点D 平分 AC ，
. 所以 AD =DC
所以 ∠DAC =∠ACD . 因为 CB 是⊙O 的切线， 所以 ∠DAC =∠BCD . 因为 ÐB =60°，
所以 ∠ADC =∠B +∠BCD =∠B +（Ⅱ）由ÐA =30°可得∠B =90︒. 所以
CD =
∠BAC +∠ACB
=100︒. …………4分
3
CB
=.
cos30︒
连接OD , OC ，则∠DOC =2∠DAC =60︒. 所以 ∆ODC 是等边三角形.
所以
CO =所以 ⊙O 的面积为12π. …………9分
17．（本小题满分10分）
解：（Ⅰ）此二次函数图象的顶点坐标是(a ,6-a 2) . …………2分
（Ⅱ）要使二次函数y =x 2-2ax +6当-2≤x ≤2时，函数值均大于a ，即是该二次函数当-2≤x ≤2时的最小值大于a .
当a a 得：a >-
1010
当a >2时，y 的最小值是4-4a +6=10-4a . 由10-4a >a 得：a a 得：-3
18．（本小题满分10分）
解：当x ≥1时，y 2≥0，当x
由①可知：m
19．（本小题满分10分）
解：如图，因为 ∠B +∠C +∠BAC +∠BDC =360︒ , ∠BAC =2∠CDE ，
所以 ∠B +∠C =180︒-∠CDE . …………3分 若AC >AD ，因为 AB =AC ，
所以 ∠B +∠C 所以 AC =AD . …………10分
2
2
a 的取值范围是-
10
20．（本小题满分10分）
解：（Ⅰ）折线C :A 1-A 2-A 3和折线C ':A 1-B 2-A 3如图所示. 折线C 是折线C ' 的一条共轭折线，理由如下： 由题意可得：
, .
所以A 1B 2⊥A 1A 2，
B 2A 3⊥A 2A 3.
…………4分
（Ⅱ）假设折线A 1-A 2-A 3-A 4存在共轭折线A 1-B 2-B 3-A 4, 设B 2(a , b ) , B 3(c , d ) , 其中a , b , c , d 均为整数.
⎧3a +b =0,
⎪
由共轭折线的定义可得：⎨3c -3a -d +b =0, 此方程组无整数解.
⎪28-3c -d =0. ⎩
所以 折线A 1-A 2-A 3-A 4不存在共轭折线. …………10分