第２６卷第２期
２０１０年４月大学数学Ｖ０１．２６，№．２Ａｐｒ．２０１０ＣＯＬＬＥＧＥＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ
交错级数的对数判别法
刘志高
（安徽职业技术学院，安徽马鞍山２４３０３１）
［摘要］从正项级数的Ｒａａｂｅ对数判别法人手，给出了交错级数的一个新的审敛方法．与文［１］，［２］所
给的审敛法相比，当交错级数的一般项含有幂指项时，利用该审敛法判断其敛散性显得尤为简便．
［关键词］交错级数；绝对收敛；条件收敛
［中图分类号］０１７３．１［文献标识码］Ｃ［文章编号］１６７２—１４５４（２０１０）０２～
在一般高等数学教材中，关于交错级数的审敛准则，仅介绍了莱布尼茨（Ｌｅｉｂｎｉｚ）判别法．彭晓珍等在文［１］中给出了交错级数的一个新的审敛准则．杨万必在文［２］中改进了文Ｅｌｉ所给的审敛准则，并给出了新的审敛准则．本文从正项级数的Ｒａａｂｅ对数判别法人手，给出了交错级数的一个新的审敛方法——对数判别法．
引理１［。３（正项级数的Ｒａａｂｅ对数判别法）设∑Ｕｎ为正项级数，且ｌｉｍ陀Ｉｎ型Ｌ—ｚ，则
（ｉ）当ｌ＞１时，级数∑Ｕｎ收敛；
由引理ｌ入手，得如下定理：（ｉｉ）当ｌ＜１时，级数∑ａｎ发散．
对于交错级数
（１）定理（交错级数的对数判别法）∑（一１）ＨＵｎ“。＞ｏ（订＝ｏ，１，２，…），
若ｌｉｍｎｌｎ』Ｌ＝ｚ，则
（ｉ）当ｌ＞０时，级数（１）收敛，且０＜ｚ＜１时，级数（１）条件收敛，ｚ＞１时，级数（１）绝对收敛，ｚ一１时可能绝对收敛也可能条件收敛；
（ｉｉ）当ｌ＜０时，级数（１）发散；
（ｉｉｉ）当ｚ一０时，级数（１）可能条件收敛也可能发散．
证（ｉ）当ｌ＞０时，由极限的保号性可知，了Ｎ，当竹＞Ｎ时，Ｕ。＞“。＋，，即数列｛Ｕ。）单调递减．下证。ｌ…ｉｍＭ。一０．对于ｓ。２专，］Ｎ，当咒＞Ｎ时，ｌｍｎ菱暑一２－４１磊＋１＞刍ｅ＞鲁菱即，舌一。ｅ＜Ｉｎ＿＋”，亦即－“”十ｌ－，‘厶“ｗ１
“。＞｛１＋旦１“。＋。．于是，
“Ｎ＞（・＋簧）“Ｎ＋。＞（・＋胬）（，＋丙‰）“Ｎ＋ｚ＞…＞（・＋斋）（，＋南）…（・＋丙斋）“Ｎ＋。，即“Ｎ＋ｍ＜：ｉ＿；ｉ：：ｊ；『ｊ『＿ｉ．；－：；ｊ；ｊｉ；；ａｉＮｉ＿：：１ｉ．磊
［收稿日期］２００７—０７—０９＜————————坠——————一．・＋￡０（南＋志＋．．斗再ｂ）
第２期刘志高：交错级数的对数判别法１９５由于∑丙毛发散，所以！ｉｍＵｗ＋ｍｏ，即！—ｉｍ？“。＝ｏ．由莱布尼茨判别法知，级数（１）收敛．再根据引理１可知，ｌ＞ｌ时，级数（１）绝对收敛；０＜ｚ＜１时，级数（１）条件收敛．
特别地，当Ｚ＝１时，级数（１）可能绝对收敛也可能条件收敛．举例说明如下：
对于级数蚤（一１）一１去和薹（一１）”鬲ｋ，ｚ均等于１・但易知前者条件收敛而后者绝对收敛・（ｉｉ）当ｌ＜Ｏ时，由极限的保号性可知，ｊ
≠ｏ，所以级数（１）发散．Ｎ，当，２＞Ｎ时，“ｎ＜“”＋，・于是！…ｉｍ，“”≠ｏ，即！—ｉｍ。（一１）一１“一
（ｉｉｉ）当ｚ一０时级数可能条件收敛也可能发散．举例说明如下：
对于级数薹（一１）”志和善（一１）”１矛籍，ｚ均等于ｏ・但易知前者条件收敛而后者发散・
如果交错级数（１）中“。比较复杂，尤其是“。含有连乘积或阶乘项或幂指数项时，验证其满足莱布尼茨判别法的两个条件通常比较困难，而运用本文所给的新审敛方法判定其敛散性较为方便．
例判断下列级数的敛散性：
（ｉ）蚤（－１）Ｈ希；（ｉｉ）蚤（叫Ｈｚ中”峙（ｚ＞０）．
因为解∽…ｌｉｍ山羔２…ｌｉｍ小斋一｝ｉｍ吐１－－ｎｌｎ（，＋埘，堑恐吐１－－ｗｉｎ（Ｈ１圳／］ｔ＝Ｓ－川ｌｉｒａ＋半－－删ｌｉｍ＋半．ｔ－－－－５虿１，１，１
所以ｌｉｍｎｌｎ』Ｌ＝寺．由定理知原级数条件收敛．
目一∞“”＋１厶
（ｉｉ）ｌｉｍｎｌｎ』旦＿一一ｌｉｍ，ｚｌ盯南一～ｌｎｘ．由定理知，当ｚ＞１时，原级数发散；当土＜ｚ＜１时，原级数条件收敛．当Ｏ＜ｘ＜－Ｌ。时，原级数绝对收敛．特别地，当ｚ。１时，显然有原级数发散．当ｚ一｛时，级数为妻（～１）ｎ一・（｛）１＋号＋’一¨，由莱布尼茨判别法易知其收敛．
又ｎ＝因ｌ为ｌ＋丢＋…＋丢＜ｆＩｚｄｚ，所以
（∥扣…ｐ＝ｊ旨＞士一音，
且妻ｎ＝ｌ詈发散，故妻ｎ＝ｌ（÷）１＋扣卅｛发散．从而级数妻ｎ＝ｌ（一１厂１（｛）１＋争…＋÷条件收敛．综合知，当ｚ≥１时，原级数发散；当｛≤ｚ＜１时，原级数条件收敛；当ｏ＜ｚ＜｛时，原级数绝对收敛．
注对于级数（ｉ），用莱布尼茨判别法判敛，显然较困难・这是因为证明！一ｉｍ，“ｎ＝ｏ有一定的困难・对于级数（ｉｉ），虽然可用莱布尼茨判别法判敛，但不能说明其在收敛时是条件收敛还是绝ｘ，／收敛．若用文［１］，［２］所给的审敛法判敛，也比较困难（计算、讨论繁杂）．而用本文所给的审敛法，则显得较为简便．可见．，交错级数的对数判别法作为交错级数审敛法的一种补充是有一定价值的．
［参考文献］
［１］彭晓珍，严钦容．关于交错级数的一个新的审敛准则［Ｊ］．大学数学，２００４，２０（３）：１２０－－１２３．
［２３杨万必．关于交错级数的审敛准则的改进和推广［Ｊ］．大学数学。２００６，２２（２）：１３８—１４１．［３］姬小龙，王锐利．正项级数的Ｒａａｂｅ对数判别法［Ｊ］．高等数学研究，２００７，１０（３）：７—９．
１９６大学数学第２６卷
ＴｈｅＬｏｇａｒｉｔｈｍＤｅｃｉｓｉｏｎＭｅｔｈｏｄａｂｏｕｔＡｌｔｅｒｎａｔｅＳｅｒｉｅｓ
Ｌ，ＵＺｈｉ—ｇａｏ
（Ｍａ’ａｎｓｈａｎＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙＣｏｌｌｅｇｅ，Ｍａ’ａｎｓｈａｎ，Ａｎｈｕｉ２４３０３Ｉ，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｆｒｏｍｔｈｅ“Ｒａａｂｅ”ｌｏｇａｒｉｔｈｍｄｅｃｉｓｉｏｎｍｅｔｈｏｄ
ｃｒｉｔｅｒｉｏｎａｂｏｕｔａｌｔｅｒｎａｔｅｓｅｒｉｅｓ．Ｃｏｍｐａｒｅｄｗｉｔｈｔｈｅ
ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ
ａｐｐｅａｒａｂｏｕｔｐｏｓｉｔｉｖｅｃｒｉｔｅｒｉｏｎｓｓｅｒｉｅｓ，ｗｅｃａｎｄｒａｗｏｎｅｎｅｗｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅｔｏｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅｉｎ［１，２３，ｉｔｉｓｍｏｒｅｃｏｎｖｅｎｉｅｎｔｊｕｄｇｅｔｈｅｏｆａｌｔｅｒｎａｔｅｓｅｒｉｅｓｂｙｍｅａｎｓｏｆｔｈｅｎｅｗｃｒｉｔｅｒｉｏｎ，ｅｓｐｅｃｉａｌｌｙｗｈｅｎｐｏｗｅｒ—ｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌｆｕｎｃｔｉｏｎｓｉｎｔｈｅｃｏｍｍｏｎｉｔｅｍｏｆａｌｔｅｒｎａｔｅｓｅｒｉｅｓ．
ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅＫｅｙｗｏｒｄｓ；ａｌｔｅｒｎａｔｅｓｅｒｉｅｓ；ａｂｓｏｌｕｔｅｌｙｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ；ｃｏｎｄｉｔｉｏｎａｌｌｙ
交错级数的对数判别法
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被引用次数：刘志高， LIU Zhi-gao安徽职业技术学院,安徽,马鞍山,243031大学数学COLLEGE MATHEMATICS2010，26(2)0次
参考文献(3条)
1. 彭晓珍. 严钦容 关于交错级数的一个新的审敛准则[期刊论文]-大学数学 2004(3)
2. 杨万必 关于交错级数的审敛准则的改进和推广[期刊论文]-大学数学 2006(2)
3. 姬小龙. 王锐利 正项级数的Raabe对数判别法[期刊论文]-高等数学研究 2007(3)
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第一章，介绍模糊数、模糊数空间以及模糊数序列极限的基本概念和有关结果，为后面几章的讨论作准备.
第二章，证明了模糊数空间上的一致Hausdouff度量D导出的拓扑与由张广全定义的模糊数空间上的一种模糊度量(简称Z-模糊度量)导出的拓扑是等价的.
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下载时间：2010年8月11日