最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·Ｆ·斯特利
课题：二项式定理通项公式的应用
教 学 目 的
1．加深对二项式定理通项公式的认识，熟练地运用通项公式求指定项或有关系数．
2．通过对例题的分析、讨论，解答，进一步培养学生抽象思维和分析问题的能力，以及运算能力．
3．进一步渗透转化及方程（组）的数学思想方法．
教学重点难点
重点：认识通项公式中字母的含义．
难点：熟练地运用通项公式．
教 学 模 式
讲练结合
教学过程
教学方法
引入
请同学们回忆表示二项式定理的公式：
(a十b)n＝C0 an十C1 an-1十...十an-rbr十...十Cn bn
师：其中n是任意自然数，右边的多项式称为（a+b）n的二项展开式，系数(r＝0，l，...，n)是一组仅与二项式的次数n有关的n十1个组合数，而与a、b无关，因此称为二项式系数
而(a十b)n的展开式中指定项系数与a、b是有联系的．例如：(1十x)n的展开式第r十1项的系数为，而(1十2x)n的展开式第r十l项的系数为2r，(2十x)n的展开式第r十1项的系数为．
概念分析
二项展开式的通项Tr+1=， (r＝0，l，2，...，n)是(a十b)n展开式的第r十l项，而不是第r项．其中还要注意下面两点：
第一点是a、b的位置不能颠倒，即(b十a)n的展开式第r十1项，不是，而应为；
第二点是(a一b)n的展开式第r十1项为=(－1)r.
例题讲解
【例１】求的展开式的第4项的二项式系数，并求第四项系数。
解：T4=T3＋1==－
所以第4项系数为－，二项式系数为20。
注：二项展开式项的系数与二项式系数是两个不同的概念，这两个系数的数值一般情况下是不相等的，一定要区分所求是哪一种系数．
由于二项式中的两项可以交换位置，但（b+a）n与（a+b）n的对应项一般是不相同的，所以更多的题型是求一些指定的、具有某些性质的项．
【例２】求(一)15的展开式中常数项．
分析 (一)15的展开式中的常数项，就是展开式中x的指数为零的项.
解 设(一)15展开式中常数项为第r十1项，
则Tr+1＝=，令 解得r＝6，从而可知不含x的项是展开式中的第7项。
所以展开式中常数项为T7＝(一1)6＝5005．
评注 根据已知条件求二项展开式中特定的项的问题，往往先根据己知条件或通项公式，把问题转化为求方程的解，最后再代人通项公式求出问题的解。
【例３】求 （x2十3x十2）5的展开式中x的系数。
解法一 因为（x2十3x十2）5＝[(x2十3x)十2]5＝(x2十3x)5十十十十十，
所以的系数为＝240．
解法二 由于（x2十3x十2）5＝[x十1](x十2)]5＝(x十1)5．(x十2)5，
又(x+1)5的展
开式通项为Tr+1＝，
(x十2)5的展开式通项为TK+1= ，令或
所求展开式中f的系数为＝240，
解法三 因为（x2十3x十2）5＝（x2十3x十2）（x2十3x十2）（x2十3x十2）（x2十3x十2）（x2十3x十2）
所以（x2十3x十2）5 展开式的各项是由五个因式中各选一项相乘后得到的，那么它的一次项只能从五个因式中的一个取-次项3x，另四个因式中取常数项2相乘得到，即3x·24＝240x 所以x的系数为240．
变式：求（1+x+x2）（1-x）10的展开式中，x4的系数。（135）
【例4】在的展开式中，已知前三项的系数成等差数列，问这个展开式中是否存在常数项？如果有，求出常数项，如果没有，求出展开式的中间项。
分析：可以设第r+1项为常数项，令x的指数得零，求出r就行了．因为二项式的指数n没有给出来，只能运用方程的思想，找关于n的方程，由已知二项展开式前三项系数成等差数列，转化成代数形式就是关于n的方程，由这个方程应该能求出n．这样就转化为例2的类型了
解：二项展开式中，，
由已知，2·=，解得=8或=－1（舍去）
设展开式中第r+1项为常数项，则
，令0，得=不是整数，故二项展开式中不存在常数项。由=8知中间项为第5项，所以第5项为。
当二项式给定后，通项公式中含有Tr+1，n，r三个量，一般是已知n，r求Tr+1（或其系数）．当n未知时，运用方程思想，找出关于n的方程，从而求出n，将问题转化．
课堂小结
通过本节课的例题与习题，可以看到，二项展开式通项公式反映了项、项数、系数、指数等数量关系，因而通项公式是解决二项展开式有关项的问题的关键．在解决这类问题时，必须注意n，r的取值范围及大小关系．要注意体会方程的思想和转化思想的运用．
课题：二项式定理通项公式的应用
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最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·Ｆ·斯特利