1.5 函数y ＝A sin(ωx＋φ) 的图象(一)
自主学习
知识梳理
用“图象变换法”作y ＝A sin(ωx＋φ) (A >0，ω>0)的图象 1．φ对y ＝sin(x ＋φ) ，x ∈R 的图象的影响
y ＝sin(x ＋φ) (φ≠0) 的图象可以看作是把正弦曲线y ＝sin x 上所有的点______(当φ>0时) 或________(当φ
2．ω(ω>0)对y ＝sin(ωx＋φ) 的图象的影响
函数y ＝sin(ωx＋φ) 的图象，可以看作是把y ＝sin(x ＋φ) 的图象上所有点的横坐标________(当ω>1时) 或______(当0
3．A (A >0)对y ＝A sin(ωx＋φ) 的图象的影响
函数y ＝A sin(ωx＋φ) 的图象，可以看作是把y ＝sin(ωx＋φ) 图象上所有点的纵坐标________(当A >1时) 或________(当0
4．函数y ＝sin x 的图象到函数y ＝A sin(ωx＋φ) 的图象的变换过程．
y ＝sin x 的图象
向左(φ>0)或向右(φ
平移|φ|个单位
纵坐标变为原来的A (A >0)倍
横坐标不变
――→
__________的图象−−−−−−−−→
____________的图象．
横坐标变为原来的
1
(w >0)倍w
纵坐标不变
____________的图象
自主探究
――→
π
2x －的图象． 如何由函数y ＝sin x 的图象变换得到y ＝sin ⎛3⎝
对点讲练
知识点一 周期、振幅变换的应用
312
例1 由函数y ＝sin 的图象经过怎样的变换得到y ＝sin x 的图象，试写出这一过
223
程．
回顾归纳 研究y ＝sin x 与y ＝A sin x (A >0且A ≠1) ，y ＝sin ωx(ω>0且ω≠1) 的图象间伸缩关系，要明确伸缩的方向是横向还是纵向及伸还是缩的倍数．
x
变式训练1 叙述函数y ＝2sin x 的图象如何由y ＝sin 的图象得到？
2
知识点二 相位变换的应用
π
x －⎫的图象( ) 例2 要得到函数y ＝sin x 的图象，只需将函数y ＝cos ⎛⎝3⎭
ππ
A ．向右平移 B
63ππ
C ．向左平移 D ．向左平移
36
回顾归纳 已知两个函数的解析式，判断其图象间的平移关系的步骤：
(1)将两个函数解析式化简成y ＝A sin ωx与y ＝A sin (ωx＋φ) ，即A 、ω及名称相同的结构．
(2)找到ωxωx＋φ，变量x “加”或“减”的量，即平移的单位． (3)明确平移的方向．
变式训练2
π
x ＋的图象，只需将函数y ＝sin x 的图象( ) 为得到函数y ＝cos ⎛⎝3ππ
A ．向左平移 B
665π5π
C ．向左平移 D ．向右平移
66
知识点三 图象变换的综合应用
π
例3 把函数y ＝f (x ) 的图象上各点向右平移个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，
6
1π2
再把纵坐标缩短到原来的y ＝2sin ⎛⎝2x ＋3，求f (x ) 的解析式． 3
回顾归纳 已知函数f (x ) 图象的伸缩变换情况，求变换前后图象的解析式．要明确伸缩的方向及量，然后确定出A 或ω即可．
1
变式训练3 将y ＝f (x ) 2
π1
沿x 轴向右平移得到的曲线与y ＝sin x 图象相同，则y ＝f (x ) 的函数解析式为( )
221π⎫π11⎛x － 2x A ．y ＝sin ⎛ B ．y 22⎝22⎭2⎝1π⎫π11⎛＋ 2x C ．y ＝sin ⎛ D ．y 22⎝22⎭2⎝
1．由y ＝sin x 到y ＝sin(x ＋φ) 的图象变换称为相位变换，由y ＝sin x 到y ＝sin ωx图象的变换称为周期变换；由y ＝sin x 到y ＝A sin x 图象的变换称为振幅变换．
2．由y ＝sin x 的图象，通过变换可得到函数y ＝A sin(ωx＋φ) 的图象，其变化途径有两条：
(1)y ＝sin x ――→y ＝sin(x ＋φ) ――→y ＝sin(ωx＋φ) ――→y ＝A sin(ωx＋φ) ．
(2)y ＝sin x ――→y ＝sin ωx――→y ＝sin(ωx＋φ) ――→y ＝A sin(ωx＋φ) ．
注意：两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同：(1)是先相位变换后周期
|φ|
变换，平移|φ|个单位．(2)是先周期变换后相位变换，平移ω
应特别注意．
3．类似地y ＝A cos(ωx＋φ) (A >0，ω>0)的图象也可由y ＝cos x 的图象变换得到.
课时作业
一、选择题
x π⎫x
的图象，只要将函数y ＝sin ( ) 1．要得到y ＝sin ⎛⎝23⎭2ππ
A ．向左平移 B
332π2π
C ．向左平移 D ．向右平移
33
ππ
2x －的图象向右平移个单位，所得图象对应的函数是( ) 2．把函数y ＝sin ⎛4⎝8
A ．非奇非偶函数 B ．既是奇函数又是偶函数 C ．奇函数 D ．偶函数
π
3．将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平行移动10
坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变) ，所得图象的函数解析式是( )
π⎛2x －π⎫ 2x －⎫ A ．y ＝sin ⎛ B ．y ＝sin 10⎭5⎭⎝⎝1π⎛1－π⎫ －⎫ C ．y ＝sin ⎛ D ．y ＝sin ⎝210⎭⎝220⎭
ππ
4．为了得到函数y ＝sin (2x －的图象，只需把函数y ＝sin(2x ＋) 的图象( )
36
π
A ．向左平移
4π
B ．向右平移
4π
C ．向左平移
2π
D ．向右平移
2
π
5．把函数y ＝3sin(ωx＋φ) (ω>0，|φ|≤π) 的图象向左平移个单位，再将图象的所有点的
6
横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变) ，所得图象的解析式为y ＝3sin x ，则( )
周期变换
相位变换
振幅变换
相位变换
周期变换
振幅变换
π
A ．ω＝2，φ＝
6
1π
C ．ω＝，φ
26
二、填空题
π
B ．ω＝2，φ＝－
3
1π
D ．ω，φ＝－23
ππ
2x ＋的图象向左平移，所得函数的解析式为____________． 6．将函数y ＝sin ⎛6⎝6
7．为得到函数y ＝cos x 的图象，可以把y ＝sin x 的图象向右平移φ个单位得到，那么φ的最小正值是________．
8．某同学给出了以下论断
π
①将y ＝cos x y ＝sin x 的图象；
2
②将y ＝sin x 的图象向右平移2个单位，可得到y ＝sin(x ＋2) 的图象； ③将y ＝sin(－x ) 的图象向左平移2个单位，得到y ＝sin(－x －2) 的图象；
ππ
2x ＋⎫的图象是由y ＝sin 2x 的图象向左平移个单位而得到的． ④函数y ＝sin ⎛3⎭⎝3
其中正确的结论是______(所有正确的结论的序号都要填上) ．
三、解答题
π
2x ＋⎫＋2的图象间的变换关系． 9．请叙述函数y ＝cos x 的图象与y ＝－2cos ⎛6⎭⎝
π
2x ⎫ (x ∈R ). 10．已知函数f (x ) ＝sin ⎛⎝3⎭
(1)求f (x ) 的单调减区间；
(2)经过怎样的图象变换使f (x ) 的图象关于y 轴对称？(仅叙述一种方案即可) ．
§1.5 函数y ＝A sin(ωx＋φ) 的图象(一)
答案
知识梳理
1．向左 向右 |φ|
1
2．缩短 伸长 不变
ω
3．伸长 缩短 A 倍 [－A ，A ] A －A
4．y ＝sin(x ＋φ) y ＝sin(ωx＋φ) y ＝A sin(ωx＋φ) 自主探究
解 由y ＝sin x 的图象通过变换得到函数
π
2x －⎫的图象有两种变化途径： y ＝sin ⎛3⎭⎝①y ＝sin x π――→ 3向右平移
π纵坐标不变π⎫⎛x －⎫―1y ＝sin 2x －. y ＝sin ⎛―→3⎭⎝3⎭横坐标缩短为倍⎝
2
②y ＝sin x 横坐标缩短为――→1y ＝sin 2x π―→ 2
6
纵坐标不变向右平移
π2x －⎫. y ＝sin ⎛3⎭⎝对点讲练
39
例1 解 由y ＝sin
24
2
得到y ＝sin 的图象；
32112
由y ＝sin x 的图象，横坐标保持不变，把纵坐标缩短到原来的倍，就得到y sin x
3223
的图象．
x
变式训练1 解 y ＝2sin x 的图象可以看作由y ＝sin 2
1
的(纵坐标不变) 得到函数y ＝sin x 的图象，再把该图象上所有点的纵坐标伸长为原来的22
倍(横坐标不变) 而得到．
ππ
x －⎫＝cos －x ⎫ 例2 A [y ＝cos ⎛⎝3⎭3⎭
π向右平移x ＋⎫π＝sin ⎛―→y ＝sin x ．] ⎝6⎭―6
π
x ， 变式训练2 C [∵y ＝sin x ＝cos ⎛⎝2π5ππ
又x －＝＋x ，
263
π5π
x ＋的图象．] ∴只需将y ＝sin x 的图象向左平移y ＝cos ⎛⎝361π纵坐标伸长到原来的2倍
例3 解 y ＝2sin ⎛⎝2x ＋3−−−−−−−→ 1π横坐标缩短为原来的2倍y ＝3sin ⎛⎝2x ＋3→ π⎫向左平移6个单位
⎛→ y ＝3sin ⎝x ＋3⎭−−−−−−
πππ
x ＋＝3sin ⎛x ＋⎫＝3cos x . y ＝3sin ⎛⎝63⎝2⎭∴f (x ) ＝3cos x .
变式训练3 C
课时作业
π
1
3
1．C 2.D
3．C [函数y ＝sin x −−−−−−−→
π横坐标伸长到原来的2倍x －y ＝sin ⎛――→ 纵坐标不变⎝101πx －.] y ＝sin ⎛⎝210向右平移个单位长度π42x ＋⎫−−−−−−−4．B [y ＝sin ⎛→ 6⎭⎝
πππx －⎫＝sin ⎛2x －.] y ＝sin ⎡2⎛3⎝⎣⎝4⎭6向右平移个单位长度
10
π
π
1→y ＝3sin 2x π5．B [y ＝3sin x ――→ 到倍2
6
横坐标压缩向右平移
ππ
x －＝3sin ⎛2x －， y ＝3sin2⎛3⎝6⎝π
∴ω＝2，φ3
6．y ＝cos 2x 3π7. 2
π⎫ππx ＝cos ⎛x －向右平移φ个单位后得y ＝cos ⎛x －φ－⎫， 解析 y ＝sin x ＝cos ⎛2⎭⎝2⎭⎝2⎝ππ
∴φ＋2k π，k ∈Z ，∴φ＝2k π－k ∈Z .
22
3π
∴φ的最小正值是.
2
8．①③
π
2x ＋⎫＋2 9．解 ∵y ＝－2cos ⎛6⎭⎝
7
2x ＋⎫＋2 ＝2cos ⎛6⎭⎝
7
x ＋π⎫＋2 ＝2cos2⎛⎝12⎭
1
先将y ＝cos x 的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，则得到y ＝cos 2x
2
的图象．
7π
再将y ＝cos 2x 的图象向左平移
12
⎛x ＋7π⎫⎤，即y ＝cos ⎛2x ＋7π的图象，再将y ＝cos ⎛2x ＋7π的图象上各则得到y ＝cos ⎡266⎣⎝12⎭⎦⎝⎝
7π
2x ＋⎫的图象． 点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变，即得函数y ＝2cos ⎛6⎭⎝
最后，沿y 轴向上平移2个单位所得图象即是
7π
2x ＋＋2的图象． y ＝2cos ⎛6⎝
π
2x ＋⎫＋2的图象． 即得到函数y ＝－2cos ⎛6⎭⎝
π
2x －. 欲求函数的单调递减区间，只需求 10．解 (1)由已知函数化为y ＝－sin ⎛3⎝
π
2x －⎫的单调递增区间． y ＝sin ⎛3⎭⎝πππ
由2k π－2x 2k π＋ (k ∈Z ) ，
232
π5
解得k π－≤x ≤k π＋π (k ∈Z ) ，
1212
∴原函数的单调减区间为 ⎡k π－πk π＋5π⎤ (k ∈Z ) ．
1212⎦⎣
πππ
2x ⎫＝cos ⎡⎛32x ⎫⎤ (2)f (x ) ＝sin ⎛⎭⎦⎝3⎭⎣2⎝ππ2x ＝cos2⎛x . ＝cos ⎛6⎝⎝12∵y ＝cos 2x 是偶函数，图象关于y 轴对称，
π
∴只需把y ＝f (x ) 的图象向右平移
12