邯郸学院2009-2010学年第一学期
2007级数学与应用数学专业本科期末考试
实变函数答案及评分标准（A ）
一、判断正误（每小题2分，共20分）
1、√ 2、√ 3、√ 4、× 5、√
6、√ 7、× 8、× 9、× 10、×
二、填空题(每小题2分，共10分)
1、=(0, +∞) 2、0 3、R 4、充要 5、 ⊂
三、单项选择题（每小题2分，共10分）
1、C 2、B 3、A 4、A 5、D
四、计算题（每小题10分，共20分）
2⎧⎪x , x ∈P 01、设f (x ) =⎨，其中P 0为Cantor 集，计算⎰f (x ) dm 。 [0，1]⎪⎩x ，x ∈[0, 1]-P 0
解. 设g (x ) =x , x ∈[0, 1] ，因mP 0=0，……………………3分 则在[0, 1]上f (x ) ~g (x ) ， ……………………5分 ∴⎰[0，1]f (x ) dm =⎰
∞[0, 1]g (x ) dm =(R ) ⎰10x dx =3 ……………………10分 4ln(x +n ) -x cos xdx 0n n
ln(x +n ) -x e cos x ，则易知当n →∞时，f n (x ) →0……………2分 解：设f n (x ) =n 2、求极限lim ⎰
⎛ln t ⎫1-ln t 又因 ⎪=2
ln(x +n ) n +x ln(x +n ) n +x ln 3ln 3=≤≤(1+x ) ………………6分 n n x +n n 33
ln 3(1+x ) e -x …………………………………8分 从而使得|f n (x ) |≤3'
但是不等式右边的函数，在[0, +∞)上是L 可积的，故有
lim ⎰f n (x ) dx =⎰lim f n (x ) dx =0…………………………………10分 n 00n ∞∞
五、证明题（每小题10分，共40分）
1、设f (x ) 是(-∞, +∞)上的实值连续函数，则对于任意常数a , E ={x |f (x ) ≥a }是闭集。
证明：∀x ∈E ', 则存在E 中的互异点列{x n },使lim x n =x ……….4分 n →∞
x n ∈E , ∴f (x n ) ≥a ………………………………………….6分 f (x ) 在x 点连续，∴f (x ) =lim f (x n ) ≥a n →∞
∴x ∈E …………………………………………………………8分 ∴E 是闭集. …………………………………………………….10分
2、设在E 上f n (x ) ⇒f (x ) , 而f n (x ) =g n (x ) a . e . 成立, n =1, 2, , 则有g n (x ) ⇒f (x )
证明:记E n =E [f n ≠g n ], 由题意知mE n =0 由m (⋃E n ) ≤∑mE n =0知m (⋃E n ) =0 …………2分 n =1n =1∞∞∞n =1
对任意δ>0, 由于E [|g n -f |≥σ]⊂(⋃E n ) ⋃E [|f n -f |≥σ]，从而有: n =1∞mE [|g n -f |≥σ]≤m (⋃E n ) +m (E [|f n -f |≥σ])=m (E [|f n -f |≥σ])………4分 n =1∞
又因为在E 上f n (x ) ⇒f (x ) , 故lim m (E [|f n -f |≥σ])=0 …………6分 n →∞
所以0≤lim m (E [|g n -f |≥σ])≤lim m (E [|f n -f |≥σ])=0………………8分 n →∞n →∞
于是: lim m (E [|g n -f |≥σ])=0 n →∞
故在E 上有g n (x ) ⇒f (x ) ………………………10分
3、设f (x ) 是E 上a . e . 有限的函数，若对任意δ>0，存在闭子集F δ⊂E ，使f (x ) 在F δ上连续，且m (E -F δ)
证明：∀n ∈N , 存在闭集F n ⊂E , m (E -F n )
∞∞1, f (x ) 在F n 连续………………2分 n 2
令F = F n ，则∀x ∈F ⇒∃k , x ∈⋂F n , ∀n ≥k , x ∈F n ⇒(f ) x 在F 连续……4分
k =1n =k ∞n =k
又对任意k ,
m (E -F )≤m [E -(⋂F n )]=m [⋃(E -F n )]≤∑m (E -F n )
又m (E -F ) =0, 所以f (x ) 是E -F 上的可测函数，从而是E 上的可测函数…………………..10分
4、在有限闭区间[a , b ]上的单调有限函数f (x ) 是有界变差函数． 证明. 在[a , b ]上任取一组分点a =x 0
σ=∑|f (x k ) -f (x k -1) |=|f (b ) -f (a ) | -----------6分
k =1m
所以 ∨(f ) ≤|f (b ) -f (a )
故f (x ) 有界变差. ----------------------------10分