技法 点拨
萋 清 出 囊 零 点 《 妍
■ 张 钊
“ 函数零点的概念” 和“ 函数零点 的存在性定理” 等 内容似乎 在高 中数学新 教材《 数学》 必修一 中 ， 带 着某种神秘感 ，然而它却在 高中数 学中留下 了浓 墨 重彩的一笔 ，也 给高考命题带来很 多想象空 间与精 彩亮点。那 么 ， 对有关 函数零点 的问题 ， 特别 是在函 数零点存在 的条件下的问题 ， 应如何去分析求解呢 ？ 笔者认为 只有正确理解零 点 的定义及 其相关定 理 ， 才能顺 利解 决好零点问题 。
一
当一 １ ≤ ≤１ 时
） ＝ ４ ｘ ＋ ２ ，
令 ） ＝ ０ ， 一 ｘ ２ － ４ ｘ ＋ ２ ＝ Ｏ ，
得到零点为 ： ＝ 、 ／ 一 ２ ； 当 ＜ ～ １ 时， 同理可 ） ＋ 乱＋ ８ ， Ｉ ＮＡ ＝ ４ 一 ４ ｘ ８ ＝ ～ １ ６ ＜ ０ ） 无零点 ； 故所求 ） 的零点为４ 和Ｖ ～ ２ 。
四、 数 形 结 合 变 直观 。 图 象 交 点 看细 致
、
函数 零 点 的定 义
对 于 函数ｙ ＝ ） 使 ） ＝ ０ 的实数 叫作 函数Ｙ ： ， （ ） 的零点 。 零点 的特征是 ： 零 点附近两侧的函数值 异号， 当 ） － （ ） 时， 在坐标 轴上显 示 的是 图象 在 轴 的 上 的 的取 值 。 注 意 ： １ ． 函数 的零点不是一个点而是一个数 。 如： 函数 ） ＝ ｌ ｎ ｘ 一 ２ 的零 点 是 ｅ ｚ ， 而不是（ ｅ ： ， ０ ） 。 ２ ． 函数 的零点是一个坐标 。事实上 ， 方 程 ） ： ０ 的根就是 函数ｙ － ｆ （ ） 为０ 时实数 的值 ， 就是 函数Ｙ ： 厂 （ ） 的 图象 与坐标轴 的交点 横坐标 ， 这就是 函数 的 零 点。如果￣ ｙ － － ｆ （ ） 的图象与坐标轴没交点 ， 即函 数 没零 点。因此 有“ 方程 ） ＝ ｏ ； ｆ实数根兮 函数厂 （ ） 的图象与 轴有交点甘 函数， （ ） 有 零点 ” 的结论 。在 二 次函数 中 ，零 点就 是二 次函数对应 的一元二次方
程 根 的 问题 。 二、 零 点 存 在 定 理
零点个数 的求法有好多种 ，有直接求 出来然后 数有多少个 的， 也有利用极值去求个数的 ， 但某些不
易求 根 的 函数 方 程 零 点 问 题 ， 可 适 当移 动左 右式 子 ，
构造两个函数 ， 做 出它们的图象 ， 将“ 函数 的零点 ” 问 题转化 为“ 函数 的交点问题 ” ， 只要 我们能够掌 握并 灵活运用零点的知识 ， 就能从更多的角度求解 问题 。 例２ 已知０ ＜ ａ ＜ ｌ ， 则 函数 ） ＝ ａ ｌ ｘ ｌ — Ｉ １ ０ Ｊ 的零点
个数为 （ ） 。 Ａ ．
２ Ｂ ． ３ Ｃ ． ４ Ｄ ． ２ 或３ 或４ 解： 函数 厂 （ ） ＝ Ⅱ 一 Ｉ ｌ ｏ ｇ ￣ｌ 的零 点个数 即为 方程 ａ Ｉ ｘ 一 ＝ Ｉ ｌ ｏ ｇ ． ｘ ｌ 的根 的个 数 ，也 即 为 函数 ｖ ： ｎ 与 函数 ｙ ＝ Ｉ １ ０ Ｉ 的图像交点 的个数。 该题通过作 图很 可能选错答案 为Ａ，这是我们 作 图的易错点。 若作 图标 准的话 ， 在 同一个直角坐标 系下画 出这两个 函数的图像 ， 由图知当０ ＜ ｏ ＜ ｅ ＜ １ 时，
如 果 函数ｙ ＝ 厂 （ ） 在 闭区 间［ 。 ， ｂ ］ 上 的 图象 是 连 续 曲线 ， 并且 在区间端点 的函数值符 号相反 ， 即 ｏ ） ６ ） ＜ ０ ， 那么在 区间（ ａ ， ｂ ） 内， 函数 ） 至少有一个
图像 的交点个数为３ 个； 当 — 时 ， 图像的交点个数
ｌ ６
１
为４ 个； 当
时， 图像的交点个数为２ 个。 选项为Ｄ。
２
零点 ， 即存在ｃ ， 使得 ｃ ） ＝ ０ ， 这个ｃ 也就是方程 ） ＝ ０
的根 。注意 ： １ ． 从零点 存在定理 可知 ： 若 函数 ｙ ＝ ） ， 满足条 件 。 ） ｂ ） ＜ Ｏ ｊ函数 ＝ ） 在［ 。 ， ｂ ］ 存在零 点 。但若
五、 判 零点 是 否 存 在 。 有理 化 避 解 方 程
函数Ｙ ＝ 厂 （ ） 在［ ｎ ， ｂ ］ 上存在零 点 ， 则 。 ） ｂ ） ＜ ０ 在区
例 ３ 已 知点 Ａ、 Ｂ、 Ｃ 都在 函数 ：、 ／ ／ 的 图象 上， 它们的横坐标分别是ｎ 、 ｎ ＋ １ 、 ａ ＋ ２ ， 又知 、 Ｂ 、 Ｃ 在 轴 上 的射 影 分 别是Ａ 、 Ｂ ． 、 Ｃ 。 ， 记 △Ａ Ｂ Ｃ的 面 积 为
问［ ｎ ， ６ ］ 上是否一定成立 呢？ 答案显然是否定 的。 如 ／ （ ｏ ） ， △ Ａ Ｂ Ｃ 的面积 （ ｎ ） 。求函 。 ） 和 。 ） 的表 函数， （ ） ｚ 一 ３ ｘ ＋ ２ （ ０ ≤ ≤３ ） 显然存 在零点ｘ ＝ ｌ 和 ＝ 达式。
２ ， ‘ 币 ０ １ 厂 （ ３ ） ＝ ２ （ ３ ２ ＿ ３ × ３ ＋ ２ ） ＝ ４ ＞ ｏ 。 ２ ． 判断函数 ） ＝ ｐ 厂 （ ） 一 ｑ （ ） （ ｐ 、 ｑ 为非０ 常数 ）
在 区间 ［ ０ ， ｂ ］ 上 的零点 个数 ， 如果无 法解方 程Ｆ （ ｘ ） ： ０ ， 往往 从 函数ｙ ＝ ｐ ｆ （ ） 与 函数ｖ ＝ ｑ ｇ （ ｘ ） 的图像 交点 的 个数 去判 断零点 个数 ， 因为从 Ｆ （ ｎ ） ・ Ｆ （ ６ ） 的符 号去 判断是不方便 ， 也不准确。
三、 分类讨论先开路 ． 脱枷 去锁 再 求 根
解： 联￣ ＇ ａ ｄ Ａ Ａｌ 、 Ｂ Ｂ １ 、 Ｃ Ｃ １ ，
贝 Ｊ 『 ７ ｏ ） ： Ｊ ｓ △
＾ 口 ， ｃ ＝ ｓ Ａ Ａ ｃ １ ｃ — Ｓ △ ｃ ｃ 口 ＝ ÷（ Ｉ Ａ Ａ ｌ Ｉ ＋ Ｉ Ｃ Ｃ １ １ ） ：
（
２
＋ ｘ ／ ｄ ￣ ） ，
ｇ （ ｎ ） ＝ ｓ ， ＝ ÷ｌ Ａ １ ｃ １ １ ． Ｉ Ｂ ｌ Ｂ ［ ＝ Ｉ Ｂ ｌ Ｂ Ｉ ＝ ｘ ／ 叶１
２
已知函数的表达式 ，求解 函数的零点是 常见 的 零点题型 ， 往往 函数 的表 达式带有绝对值 、 根式或某 些需讨论 的参数 ， 运 用分 类讨 论思想 ， 把 函数 的表达 式脱枷去锁 ， 再 实施求根 。 例１ 已知ｒ （ ） ＝ Ｉ ｘ 一 １ Ｉ ＋ ｍＩ ｘ ＋ １ Ｉ ＋ Ⅱ 有 极 小 值 八２ ） ＝ 一 ４ ， 求， （ ） 的零点 。 解： 当ｘ ＞ ｌ 时， 函数 为 ） 。 ＋ ， ， ＋ （ 叶ｍ 一 １ ） ． ．
点评 ： 本题 考查函数 的解析 式 、 函数 图象 、 画图
能力 、 图形的组合能力 等 ， 要充 分借 助 图象信 息 ， 利 用 面积 问题 的拆拼 以及 等价变 形找 到问题 的 突破
口， 使解题思路畅通 。 总之 ， “ 零点 ” 是常见而又重要 的数学 问题 ， 通过 对 数 学零 点 问题 的题 型 解 法 的 探 究 学 习 ，不但 能锻 炼、 掌握一种基本解决数学问题 的能力 ， 同时转变数 学 的思维方 式 ， 有助于创新思维的增长 ， 提高对数学 ） 一 ４ ｘ （ ｘ ＞ １ ） ， 令厂 （ ） ＝ ０ ， ４ ｘ ＝ ０ ， 得其零 内涵 的 理解 。 点 为 １ ： ４ 。 （ 作者单位 ： 江 苏省 沭 阳 高级 中学 ）
由 题 设 知 一 詈 ２ 时 ２ ） ＝ 一 ４ ・ ０ ＝ ５ ， ｍ ＝ 一 ４ ，
。
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