化归思想在数学教学中的应用

化归思想在数学教学中的应用

[摘 要] 化归思想方法贯穿于小学数学中，是一种重要的数学思想方法。为了 待解决的或难解决的几何问题，通过调整思考方向，切换空间的维度；利用割 补法等，改变图形的形状；经过平移、旋转等几何变换，改变线段或图形的位 置等等，最终归结到已解决或易解决的问题。

[关键词] 小学数学、变与不变、化归思想、几何

[中文图书号] O123 [文献标识码] A

1 引言

[1] 《小学数学课程标准》指出课程内容不仅要包括数学的结论，也应 包括数学结论的形成过程和数学思想方法。数学知识和数学思想方法是 数学的核心，在推进素质教育的课程和教学改革下，传授学生数学的思 想方法显得尤为重要。教学中，教师不仅要“授之以鱼，更要授之以渔”, 最终以数学知识为载体促进学生思维的发展。

法国数学家笛卡尔曾把化归思想方法誉为 “万能方法”，由此可见 化归思想方法是解决数学问题的基本思想方法， [2]其指的是把待解决的 或难解决的问题, 通过一定的转化过程, 归结到已解决或易解决的问题去, 最终获得解决原问题的一种思想和方法。

纵观数学课程，会发现很多后来学到的数学知识，大多是建立在原 有的数学知识上，通过化归，把新知转化成旧知等等，从而使得问题更 易解决。比如小学阶段学习平面图形的面积，起点是长方形的面积等于 长乘以宽，后来学习的梯形、三角形都通过割补法等图形变换，转换成 平行四边形来求面积；在探索圆的面积时，则运用图形变换和极限思想，

将圆变换成平行四边形，进而得到圆的面积公式。下文将举例谈谈几何

教学中化归思想的运用。

2 以不变应万变

有句话说，读书要从薄到厚，再从厚到薄。前者说的是要多读书， 后者说的则是要把书本读透。学习数学知识何尝不是这样一个过程，对 解决数学问题，要善于挖出知识的本源，懂得发现这些知识之间的关系， 做到以不变应万变。

本人在正方体教学实践中探索，总结出三个发现，有了这些发现， 就不必生硬地记正方体的 11种展开图，只要灵活应用化归思想方法，正 方体展开图和寻找相对面的问题，将迎刃而

解。

2.1认识正方体

图 1正方体及其展开图

正方体有 6 个面，暂且记为上、下, 前、后, 左、右，通过深入比较 相邻与相对的面，可以发现前面与后面相对，且与 4 个面相邻，这 4 个 面分别是上、下, 左、右，它们成对出现，也就是说，已知前面与上面相 邻，上面与下面相对，那么我们就可以推断出前面与下面也相邻。

发现一：在一个正方体中，如果A 面与B 面相邻，B 面与C 面相对， 那么A 面就与C 面相邻。

如图 1，我们刚才说与前面相邻的四个面是上、下和左、右，它们成 对出现，现在我们来考虑与前、下两个面都相邻的情况，显然与前下面 都相邻的面有两个，分别是左面和右面，且左右是相对面。

发现二：在一个正方体中，记其中任意两个相邻的面为A 面和B 面， 则与A 、B 面都相邻的面有两个，且这两个面是相对面。

再次分析图 1 中正方体的展开图，发现上面与右面只有一个顶点重 合，这样的两个面在折叠成正方体时是相邻面。

发现三：如果一个正方体展开图中，A 面与B 面有一个或两个共同的 顶点，那么A 面和B 面是正方体上相邻的两个面。

2.2将一般化为特殊，判断正方体的展开图

图 2 正方体的展开图

一切形如图 2，在 a 、b 、c 、d 任一处增加一个正方形，且在 e 、f 、 g 、h 任一处再增加一个正方形，这样的 6 个面就一定能拼成一个正方体。

旋转

图 3 正方体的展开图

并不是所有的展开图都和图 2 一样，但只要是正方体的展开图，我 们都可以将其转换成图 2 的形式，从而判断是否可以折叠成正方体，如 图3，A 面与C 面有一个顶点重合，根据发现二，我们知道A 面与C 面是 相邻面，因此，可以让 A 面与 C 面的边重合，这样就容易判断是否为正 方体的展开图了。

2.3基于特殊，解决一般，判断长方体的展开图

图 4 长方体的展开图

长方体的展开图，与正方体的展开图很相似，就是在判断上下的两 个面时，要考虑相邻面的特点，如图4，线段AB 与线段CB 在折叠成长方 体时，是重合为一条棱长的，所以在展开图中必须是一样长的；同样， 线段 DE 与线段 EF 在折叠成长方体，要完全重合在一起，所以这两条线 段是相等的。从图中还可以看出长方体的相对面是完全一样的两个面， 且间隔一个面。对于长方体展开图，可以利用文中讲解正方体展开图的 方法来判断，并具体考虑相邻面的棱长相等的特点。

2.4 从问题的反面，探求正方体展开图中的相对面

图 5 正方体的展开图

正方体的展开图中有并排的三个或四个正方形，如图 5 中的左图， 则同一排间隔的两个正方形就是相对的面。

然而，两个面相对是三维空间的位置关系，从平面展开图寻找相对 面，如图 5 右图，发现很难在平面中建立相对面的概念，因此我们换一 个思路，从问题的反面来入手，转而在平面上找相邻的面。

在这个正方体的展开图中，要找 C 面的相对面，只要把与 C 面相邻 的四个面都找出来，那么剩下的那个面就是 C 的对面。由图可知，C 面与

A 、B 、D 、E 面都分别有一个或两个的共同顶点，根据发现二，可以知道

C 面分别与A 、B 、D 、E 面相邻，所以 C 面与F 面相对。

接着如果找 B 面的相对面，依据发现二，可知 B 面分别与 A 、C 、D 面相邻，又 C 面与 F 面相对，依据发现一，可知 B 面与 F 面也相邻，所 以B 面与E 面相对。

2.5 多种方法，寻找正方体的相对面

图 6 正方体

一个正方体从不同角度观察，有如上图的三种情况，要寻找其中的

相对面。

三个图中，1号面出现三次，可以看出与 1号面相邻的有2 号、4 号、 5 号、6 号面，所以它的相对面是 3 号面。而 2 号面与 1号、4 号、5 号 面相邻，又 1号面与 3 号面相对，根据发现一可知，2 号面与6 号面相对。 剩下的 4 号面和 5 号面就是相对面了。

观察第一个与第二个图，发现 1 号面和 2 号面是相邻面，且与 1 号 面和 2 号面都相邻的面是4 号、5 号面，根据发现三可知，4 号面和 5 号 面就是相对面。同样对比第二个图与第三个图，发现相邻的 1 号面和 4 号面同时与2 号、6 号面相邻，再次利用发现三可知，2 号面与6 号面就 是相对的两个面。

3 知识之间相互关联

学科间很多知识是相关联的，很多方法也相通。而数学知识之间更 是如此相互关联，这就要求教者要读透教材，看到知识的本质联系，能 够引导学生总结归纳知识点，把知识点织成一个网络，从而更有效地展 开数学学习，获得更好的数学影响。

3.1化变为不变，翻折与三角形的内角和

在求解一些跟角有关的问题，通常会联系到平角、直角、周角等特 殊角；会用到平移、旋转等几何变换；也会利用平行、垂直、轴对称等 性质，这些知识都相互关联。

[3]教材为了求三角形的内角和，通过量一量再求和，发现三个内角

的和在 180 度左右，因此猜想它的内角和就是 180 度，而小学阶段已知 平角是 180 度。接下来通过折一折，将三个内角拼成一个平角，从而进

一步说明三角形的内角和是 180度。

图 7折一折

这里的折一折是利用旋转翻折的几何变换，其中还包含着轴对称的 性质。通过这样的翻折，将三个角的顶点移到一起，构成一个平角，从 而说明三角形的内角和是 180°

3.2 化变为不变，平移与三角形的内角和

图 8 拼一拼

拼一拼是一个平移和旋转角的几何变换过程，不同的三角形，三个 内角的大小会不一样，但它们始终能构成一个不变的平角。

综上所述，这节探索课，为证明三角形的三个内角的和是 180°，教 材通过动手操作，把变化的三个角与一个平角建立了联系，从而证明三 个内角的和等于一个平角的大小，由此得到三角形的内角和为 180°。

4 总结

著名数学教育家波利亚在 《数学的发现》一书中给出解决问题的方

法：在面临所要解决的问题时，我们应当考虑 “这是什么类型的问题？

它与某个已知问题有关吗？”这就是化归思想方法最浅显的描述，可以

说，化归思想方法是一种重要且好用的数学思想方法。学生熟练掌握了

化归思想方法，就可以化难为易、化隐为显、化曲为直、化抽象为具体、 化变为不变、化一般为特殊，化空间为平面等等，最终游刃有余地解题， 从而不断地提高数学能力。

因此，教者应该从具体的教学活动着手，运用恰当的教学手段，使

化归思想能贯穿在几何教学过程中，真正做到 “授之以渔”。同时应加

强数学思想方法的学习，领会化归思想方法的内容和实质，努力提高自

己的数学素养。

[参考文献]

[1] 中华人民共和国教育部. 《数学课程标准》[M].北京师范大学出版社.2011,07

[2] 马旭. 《小学数学化归思想研究述评》[J].教育科研论坛，2010，(08).

[3] 《课程标准实验教科书 （数学）》[M].北京：北京师范大学出版社，2006,03.