太奇MBA数学助教
一．分组（分堆）与分配问题
李瑞玲
将n个不同元素按照某些条件分配给k个不同的对象，称为分配问题，又分为定向分配和不定向分配两种问题。
将n个不同元素按照某些条件分成k组，称为分组问题。分组问题有不平均分组，平均分组，部分平均分组三情况。
分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的，而后者即使两组的元素个数相同，但因所要分配的对象不同，仍然是可区分的。对于后者必须先分组后排列。一．基本的分组问题
例1.六本不同的书，分为三组，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？
（1）每组两本（均分三组）（2）一组一本，一组两本，一组三本（3）一组四本，另外两组各一本
（平均分组问题）（不平均分组问题）（部分平均分组问题）
分析：（1）分组和顺序无关，是组合问题。分组数为C62C42C22=90,而这90种分组方法实际上重复了6次。现把六本不同的书标上
1,2,3,4,5,6六个号码，先看一下这种情况：
（1,2）（3,4）（5,6）(3,4)(1,2）（5,6）（5,6）（1,2）（3,4）
（1,2）（5,6)(3,4)（3,4）（5,6）（1,2）（5,6）（3,4）（1,2）
由于书是均匀分组的，三组的本数都一样，又与顺序无关，所以这种
情况下这六种分法是同一种分法，于是可知重复了6次。以上的分组实际上加入了组的顺序，同理其他情况也是如此，因此还应取消分组
2
C62C42C290
的顺序，即除以P,于是最后知分法为==15.
P336
3
3
123
(2)先分组，分组方法是C6C5C3=60，那么还要不要除以P33???（很
关键的问题）
由于每组的书的本数是不一样的，因此不会出现相同的分法，即
123共有C6C5C3=60。
11（3）先分组，分组方法是C64C2C1=30，这其中有没有重复的分法???(需
要好好考虑）
现还把六本不同的书标上1,2,3,4,5,6六个号码，先看以下情况1）先取四本分一组，剩下的两本，一本一组，情况如下（1,2,3,4）5
6
（1,2,3,4）6
5
2）先取一本分一组，再取四本分一组，剩余的一本为一组，情况如下
5
（1,2,3，4）6
6（1,2,3,4）5
3）先取一本分一组，再取一本为一组，剩下的四本为一组，情况如下
5
6（1,2,3,4）
6
5（1,2,3,4）
由此可知每一种分法重复了2次，原因是其中两组的的书的本数都是一本，这两组有了顺序，需要把分组的顺序取消掉，而四本的那一组，由于书的本数不一样，不可重复，故最后的结果为
11
C64C2C130
==15.2
P22
通过以上三个小题的分析，可以得出分组问题的一般结论如下：一般地，将n个不同的元素分成p组，各组内元素个数分别为
m1,m2,⋯,mp，其中k组内元素个数相等，那么分组方法数为
Cnm1Cnm−2m1⋯Cnm−i(m1+m2+⋯+mi−1)⋯Cmpp
Pkk
的总组数的全排列！
m
，即选完元素后要除以元素相同
三．基本的分配问题1.定向分配问题
例2六本不同的书，分给甲乙丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分法？
（1）甲两本，乙两本，丙两本（2）甲一本，乙两本，丙三本（3）甲四本，乙一本，丙一本
分析：由于分配给三人，每人分几本是一定的，属于分配问题中的定向分配问题。由分步计数原理得（1）C62C42C22=902.不定向分配问题
例3.六本不同的书，分给甲乙丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分法？（1）每人两本
123
(2)C6C5C3=60
11
(3)C64C2C1=30
（2）一人一本，一人两本，一人三本（3）一人四本，一人一本，一人一本
分析：此题属于分配中的不定向分配问题。由于分配给三人，同一本书给不同的人是不同的分法，所以是排列问题。实际上可看作是“六本不同的书分为三组，再将这三组分给甲乙丙三人”，因此只要将元素的分组的方法数再乘以所分配对象的全排列即可！
2
C62C42C2
所以有（1）×P33=903
P3
123
（2）C6C5C3×P33=36011
C64C2C1
(3)×P33=902
P2
结论：一般地，如果把n个不同的元素分配给k个不同的对象，并且每个不同的对象可接受的元素个数没有限制，那么实际上是先分组后排列的问题，结果为分组方案数乘以不同对象数的全排列。解不定向分配题的一般原则是：先分组后排列！
数学讲义上第95页排列组合本章作业
第4题属于不定向分配问题（需要先分组，再分配，其中分组为不
123平均分组）结果为C6C5C3×P33=360,故选B。
123第5题属于定向分配问题，所以为C6C5C3=60,故选D。
第6题属于不定向分配问题（需要先分组，再分配，其中分组为平均
2
C62C42C23
分组）结果为×P3=90，故选C。3
P3
第28题也属于不定向分配问题，同第6题，结果为
44C12C84C43444
×P=CC3128C4,故选A。3
P3
元素种类
（1）元素相同（2）元素不同
1）分配对象相同2）分配对象不同1）分配对象相同2）分配对象不同分组（分堆）问题隔板法解决分组（分堆）问题可重复和不可重复此时要依据每组的数量来区别
要依据每组的数量和元素特征来区别可重复：投信，人进房间问题不可重复：组合，排列问题
例：现有6个球，4个盒子，每个盒子至少一个球，在下列各种情况下各有多少种放法？
（1）球不同，盒子不同（2）球不同，盒子相同（3）球相同，盒子不同（4）球相同，盒子相同解：（1）属于组合，排列问题，需要先分组，再分配给不同的对象。
分组有两种分法：1）2211
2）3111
[1**********]11
⎛C62C4C62C42C2C1C6C3C2C1C2C1C6C3C2C1⎞4⎜⎟则有+，最后结果为+23⎜⎟×P4.P22P33PP23⎝⎠
(2)由于分配对象相同，没有区别，所以实质上为分组问题。分组有两种分法：1）2
2）3
21
1111
113111
C62C42C2C1C6C3C2C1
则有+，即为最后结果。
P22P33
（3）球相同，即元素相同，但分配对象不同，又要求每个盒子至少一个球，故
3
为隔板问题，需用隔板法来解决，即C5=10种。
（4）球相同，盒子相同，就有两种方法，即22种方法。
11和3111这两