图形相似与相似三角形知识点解读
知识点1. ．相似图形的含义
把形状相同的图形叫做相似图形。（即对应角相等、对应边的比也相等的图形） 解读：（1）两个图形相似，其中一个图形可以看做由另一个图形放大或缩小得到． （2）全等形可以看成是一种特殊的相似，即不仅形状相同，大小也相同．
（3）判断两个图形是否相似，就是看这两个图形是不是形状相同，与其他因素无关． 例1．放大镜中的正方形与原正方形具有怎样的关系呢？ 分析：要注意镜中的正方形与原正方形的形状没有改变． 解：是相似图形。因为它们的形状相同，大小不一定相同．
例2．下列各组图形：①两个平行四边形；②两个圆；③两个矩形；④有一个内角80°的两个等腰三角形；⑤两个正五边形；⑥有一个内角是100°的两个等腰三角形，其中一定是相似图形的是_________(填序号) ．
解析：根据相似图形的定义知，相似图形的形状相同，但大小不一定相同，而平行四边形、矩形、等腰三角形都属于形状不唯一的图形，而圆、正多边形、顶角为100°的等腰三角形的形状不唯一，它们都相似．答案：②⑤⑥． 知识点2．比例线段
对于四条线段a,b,c,d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即a:b=c:d）那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．
解读：（1）四条线段a,b,c,d 成比例，记作序性． （2）在比例式第四比例项．
（3）如果比例内项是相同的线段，即
a c
=（或b d
a c
=（或a:b=c:d），不能写成其他形式，即比例线段有顺b d
a c
=（或a:b=c:d）中，比例的项为a,b,c,d ，其中a,d 为比例外项，b,c 为比例内项，d 是b d
a b
=或a:b=b:c，那么线段b 叫做线段和的比例中项。 b c
(4)通常四条线段a,b,c,d 的单位应一致，但有时为了计算方便，a 和b 统一为一个单位，c 和d 统一为另一个单位也可以，因为整体表示两个比相等． 例3．已知线段a=2cm, b=6mm, 求分析：求
a ． b
a
即求与长度的比，与的单位不同，先统一单位，再求比． b
3
例4．已知a,b,c,d 成比例，且a=6cm,b=3dm,d=dm ，求c 的长度．
2
分析：由a,b,c,d 成比例，写出比例式a:b=c:d，再把所给各线段a,b,,d 统一单位后代入求c ． 知识点3．相似多边形的性质
相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．
解读：（1）正确理解相似多边形的定义，明确“对应”关系．
（2）明确相似多边形的“对应”来自于书写，且要明确相似比具有顺序性．
例5．若四边形ABCD 的四边长分别是4，6，8，10，与四边形ABCD 相似的四边形A 1B 1C 1D 1的最大边长为30，则四边形A 1B 1C 1D 1的最小边长是多少？
分析：四边形ABCD 与四边形A 1B 1C 1D 1相似，且它们的相似比为对应的最大边长的比，即为相似多边形对应边成比例的性质，利用方程思想求出最小边的长．
1
，再根据3
知识点4．相似三角形的概念
对应角相等，对应边之比相等的三角形叫做相似三角形．
解读：（1）相似三角形是相似多边形中的一种； （2）应结合相似多边形的性质来理解相似三角形； （3）相似三角形应满足形状一样，但大小可以不同； （4）相似用“∽”表示，读作“相似于”； （5）相似三角形的对应边之比叫做相似比．
注意：①相似比是有顺序的，比如△ABC ∽△A 1B 1C 1，相似比为k, 若△A 1B 1C 1∽△ABC ，则相似比为
1
。②若两个三角形的相似比为1，则这两个三角形全等，全等三角形是相似三角形的特殊情况。若两个k
三角形全等，则这两个三角形相似；若两个三角形相似，则这两个三角形不一定全等．
例6．如图，已知△ADE ∽△ABC ，DE=2，BC=4，则和的相似比是多少？点D ，E 分别是AB ，AC 的中点吗？
注意：解决此类问题应注意两方面：（1）相似比的顺序性，（2）图形的识别．
解：因为△ADE ∽△ABC ，所以所以
B
DE AD AE DE 21
====， ，因为BC AB AC BC 42
AD AE 1
==，所以D ，E 分别是AB ，AC 的中点． AB AC 2
知识点5．相似三角的判定方法
（1） 定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似；
（2） 平行于三角形一边的直线截其他两边（或其他两边的延长线）所构成的三角形与原三角形相似． （3） 如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．
（4） 如果一个三角的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形
相似．
（5） 如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似． （6） 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似． 经过归纳和总结，相似三角形有以下几种基本类型： ① 平行线型
常见的有如下两种，D E ∥BC ，则△ADE ∽△ABC
B
C
② 相交线型
常见的有如下四种情形，如图，已知∠1=∠B ，则由公共角∠A 得，△ADE ∽△ABC
C
如下左图，已知∠1=∠B ，则由公共角∠A 得，△ADC ∽△ACB 如下右图，已知∠B=∠D ，则由对顶角∠1=∠2得，△ADE ∽△
ABC
B
C
③ 旋转型
已知∠BAD=∠CAE ，∠B=
∠D ，则△ADE ∽△ABC ，下图为常见的基本图形．
C
④ 母子型
已知∠ACB=90°，AB ⊥CD ，则△CBD ∽△ABC ∽△ACD ．
解决相似三角形问题，关键是要善于从复杂的图形中分解出（构造出）上述基本图形．
例7．如图，点D 在△ABC 的边AB 上，满足怎样的条件时，△ACD 与△ABC 相似？试分别加以列举．
分析：此题属于探索性问题，由相似三角形的判别方法可知，△ACD 与△ABC 已有公共角∠A ，要使此两个三角形相似，可根据相似三角形的判别方法寻找一个条件即可．
解：当满足以下三个条件之一时，△ACD ∽△ABC 条件一：∠1=∠B ；条件二：∠2=∠ACB ；条件三：
AD AC
=，即AC 2=AD ·AB ． AC AB
知识点6．相似三角形的性质
（1） 对应角相等，对应边的比相等；
（2） 对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比； （3） 相似三角形周长之比等于相似比；面积之比等于相似比的平方．
例8．如图，已知△ADE ∽△ABC ，AD=8，BD=4，BC=15，EC=7 （1） 求DE 、AE 的长；
（2） 你还能发现哪些线段成比例．
分析：此题重点考查由两个三角形相似，可得到对应边成例，即解：（1）∵△ADE ∽△AB C ， ∴
DE AD AE
==． BC AB AC
DE AD AE
== BC AB AC
8x
=， ∴12x=8×15, x=10; ∵，AD=8，BD=4，BC=15，EC=7 设DE=x，则
1215
a 8AD AE
=, ∴a=14. (2) =设AE=a,则 a +712BD EC
例9．已知△ABC ∽△A 1B 1C 1，，
AB 2
=，△ABC 的周长为20cm ，面积为40cm 2． A 1B 13
求（1）△A 1B 1C 1的周长；（2）△A 1B 1C 1的面积．
分析：根据相似三角形周长之比等于相似比；面积之比等于相似比的平方求解． 易求出△A 1B 1C 1的周长为30cm; △A 1B 1C 1的面积90cm 2