简谐运动和机械波
重点难点
1．简谐运动特点
①研究简谐运动，通常以平衡位置为坐标原点．
②对称性：在振动轨迹上关于平衡位置对称的两点，位移、回复力、加速度等大反向；速度等大，方向可能相同，也可能相反；动能、速率等大；振动质点从平衡位置开始第一次通过这两点所用的时间相等． ③周期性：
2．振动图象
振动图象反映的是一个质点的位移随时间的变化规律，由图象可直接读出振幅、周期和任意时刻的运动方向．
由于振动的周期性和非线性，在从任意时刻开始计时的一个周期内或半周期内，质点运动的路程都相等(分别为4A 和2A ) ，但从不同时刻开始计时的四分之一周期内，质点运动的路程是不一定相等的．
3．单摆
①单摆周期与高度关系
设地球质量为M 时，半径为R ，地球表面的重力加速度为g 0．离地面高h 处重力加速度为g ，单摆的质量为m ，忽略地球自转的影响，则有
g 0=GM GM , g = 因此可得单摆在高为h 处的周期T 与地面处周期T 0的关系为 R 2(R +h ) 2
T =T 0R +h R +h g 0R +h =2π 或 T =T 0=R R g R L g 0
②单摆周期与不同行星的关系
把单摆分别置于质量为M 1、M 2，半径为R 1、R 2的两行星表面上，其周期分别为T 1和T 2，重力加速度分别为g 1、g 2，忽略行星自转影响，则有
g 1=GM 1GM 1g 1R 22M 1， , g ==() ⋅222g 2R 1M 2R 1R 2
4．波动过程具有时间和空间的周期性
介质在传播振动的过程中，介质中每一个质点相对于平衡位置的位移随时间作周期性变化，这体现了时间的周期性；另一方面，每一时刻，介质中沿波传播方向上各个质点的空间分布具有空间周期性．√如相距波长整数倍的两个质点振动状态相同，即它们在任一时刻的位移、速度及相关量均相同；相距半波长奇数倍的两个质点振动状态相反，即它们在任一时刻的位移、速度及相关量均相反．
5．由波的图象判定质点振动方向或波的传播方向
①“带动”法
如果已知某质点的振动方向，在波的图象中找一个与它紧邻的另一质点，分析这两个质点哪一个先振，先振的质点靠近振源，从而判断出波的传播方向．
反之，如果知道了波的传播方向，也就知道了振源在哪一侧，再找一个与所研究的质点紧邻且靠近振源的质点，这个质点先振，由此判断所研究质点的振动方向．
②微平移法
规律方法
【例1】一列简谐机械横波某时刻的波形图如图所示，波源的平衡位置坐标为x =0，当波源质点
处于其平衡位置上方且向下运动时，介质中平衡位置坐标x =2m 的质点所处
位置及运动情况是 ()
A ．在其平衡位置下方且向上运动
B ．在其平衡位置下方且向下运动
C ．在其平衡位置上方且向上运动
D ．在其平衡位置上方且向下运动
训练1一列简谐横波沿x 轴传播. t =0时的波形如图所示，质点A 与质点
B 相距1m,A 点速度沿y 轴正方向; t =0.02s时，质点A 第一次达正向最大位移
处，由此可知
A ．此波的传播速度为25m/s
B ．此波沿x 轴负方向传播
C ．从t =0时起，经过0 04s ，质点A 沿传播方向迁移了1m
D ．t =0.04s时，质点B 处在平衡位置，速度沿y 轴负方向
【例2】一列沿x 轴正方向传播的简谐横波，t =0时刻的波形如图中实线所示，t =0.2s 时刻的波
形如图中的虚线所示，则 ()
A ．物质P 的运动方向向右
B ．波的周期可能为0.27s
C ．波的频率可能为1.25Hz
D ．波的传播速度可能为20m /s
训练2 图中实线和虚线分别是x 轴上向右传播的一列简谐横波在t =0和 t =0.03s时刻的波形
图，x =1.2m处的质点在t =0.03s时刻向y 轴正方向运动，则 ( )
A ．该波的频率可能是125Hz
B ．该波的波速可能是10m/s
C ．t =0时x =1.4m处质点的加速度方向沿y 轴正方向
D ．各质点在0.03s 内随波迁移0.9m
训练3 有一列沿水平方向传播的简谐横波，频率为10Hz ，振动方向沿竖直方向，当绳上的质
点P 到达其平衡位置且向下运动时，其右方向相距0.6m 处的质点Q 刚好到达最高点，由此可知波速和传播方向可能是 ( )
A ．8m/s向右传播 B ．8m/s向左传播
C ．24m/s向右传播 D ．24m/s向左传播
【例3】如图所示，实线表示两个相干波源S 1、S 2发出的波的波峰位
置，则图中的 点为振动加强的位置，图中的 点为振动减弱的位置.
训练 4如图所示为两列频率相同的水波在t ＝0时刻的叠加情况，图中实线表示波峰，虚线表示
波谷，已知两列波的振幅均为2 cm（且在图示范围内振幅不变），波速
为2 m/s，波长为0.4 m，E 点是BD 连线和AC 连线的交点，下列说法正
确的是 （）
A ．A 、C 两点是振动减弱点，
B ．E 点是振动加强点，
C ．B 、D 两点在该时刻的竖直高度差为4 cm，
D ．t ＝0.05 s时，E 点离平衡位置的位移大小为2 cm。
训练5．在均匀介质中选取平衡位置在同一直线上的9个质点，相邻两质点的距离均为L ，如图(a）所示．一列横波沿该直线向右传播，t=0时到达质点1，质点1开始向下运动，经过时间Δt 第一次出现如图（b ）所示的波形．则该波的
2（A ）周期为Δt ，波长为8L ． （B ）周期为3Δt ，波长为8L ．
2（C ）周期为3Δt ，波速为12L /Δt （D ）周期为Δt ，波速为8L/Δt
【例4】 A 、B 两列波在某时刻的波形如图
所示，经过t =T A 时间(T A 为波A 的周期) ，两波
再次出现如图波形，则两波的速度之比υA ∶υB
可能是 ( )
A ．1∶3
C ．2∶1 B ．1∶2 D ．3∶1
训练题6 一条弹性绳子呈水平状态，M 为绳子中点，两端P 、Q 同时开始上下振动，一小段时
间后产生的波形如图，对于其后绳上各点的振动情况，以下判断正确的是 （ ）
A ．两列波将同时到达中点M
B ．两列波的波速之比为l ∶2
C ．中点M 的振动是加强的
例1 A 训练1 AB 例2 C训练2 A训练3 BC例
训练5BC 例4 ABC训练6AD D ．M 点的位移大小在某时刻可能为零 能力训练
√1．下列说法中正确的是 （ ）
A ．做简谐运动的物体，经过同一位置的动能总相同
B ．做简谐运动的物体，经过同一位置的动量总相同
C ．做简谐运动的物体，在半个周期内回复力做功一定为零
D ．做简谐运动的物体，在半个任一周期内回复力的冲量一定为零
√2．如图一轻弹簧与一物体组成弹簧振子，物体在同一条竖直线上的A 、B
间作简谐振动，O 点为平衡位置，C 为AO 的中点，已知OC=h，振子周期为T ，某
时刻物体恰好经过C 点并向上运动，则从此时刻开始计时 （）
A ．t=T/4时刻，物体回到C 点
B ．△t=T/2时间内，物体运动的路程为4h
C ．t=3T/8时刻，物体的振动位移为0
D ．t=3T/8时刻，物体的振动速度方向向下
√3．如图单摆摆球为带正电的玻璃球，摆长为l 且不导电，悬挂于
O
点。
当摆球摆过竖直线
OC
时便进入或离开一匀强磁场，
此磁场的方向与单摆
摆动平面垂直．在摆角α
A ．图中A 点和B 点处于同一水平面上
B ．单摆摆动的周期T =2πl g
C ．在A 点和B 点，摆线的张力一样大
D ．单摆向左或向右摆过C 点时摆线的张力一样大
√4．声波属于机械波．下列有关声波的描述中正确的是
A. 同一列声波在各种介质中的波长是相同的
B. 声波的频率越高，它在空气中传播的速度越快
C. 声波可以绕过障碍物传播，即它可以发生衍射
D. 人能辨别不同乐器同时发出的声音，证明声波不会发生干涉 ()
5．一列简谐横波沿x 轴负方向传播，如图 (甲) 所示，是t =1s 时的波形图，图 (乙) 是波中某振
动质元位移随时间变化的振动图线(两图用同一时间起点) ，则（乙）可能是图 (甲) 中哪个质元的振动图线? ( )
A ．x =0处的质元 B ．x =1m 处的质元 C ．x =2m 处的质元 D ．x =3m 处的质元
√6．. 如图所示，波源S 从平衡位置y =0开始振动，运动方向竖直向上(y 轴的正方向) ，振动周
期T =0.01s，产生的简谐波向左、右两个方向传播，波速均为υ=80m/s．经过一段时间后，P 、Q 两点开始振动，已知距离SP =1.2m、SQ =2.6m．若以Q 点开始振动的时刻作为计时的零点，则在图的振动图象中，能正确描述P 、Q 两点振动情况的是 ( )
A. 甲为Q 点振动图象 B. 乙为Q 点振动图象 C ．丙为P 点振动图象 D. 丁为P 点振动图象
7．如图所示，一列简谐横波在x 轴上传播，轴上a 、b 两点相距12m. t =0时a 点为波峰，b 点为
波谷；t =0.5时，a 点为波谷，b 点为波峰．则下列判断中正确的是 ( )
A. 波一定沿x 轴正方向传播 B. 波长可能是8m
C. 周期可能是0.5s D. 波速一定是24m/s
√8．如图所示为两列简谐横波在同一条绳上传播时某时刻的波形图，M 为绳上x =0．2m 处的
质点，则下列说法正确的是 （ ）
A. 这两列波将发生干涉现象，质点M 的振动始终加强
B. 由图示时刻开始，再经甲波周期的1/4，M 将位于波峰
C. 甲波的速度v 1与乙波的速度v 2一样大
D. 因波的周期未知，故两列波波速的大小无法比较
能力训练答案：1. AC 2. BD 3 ABC 4 C 5.A 6 AD 7.BD
8 AC
例1一列简谐横波沿x 轴负方向传播，波速为v =4m/s。已知坐标原点（x =0）处质点的振动图像如图1所示，在图2的4幅图中能够正确表示t =0．15s 时波形的图是（ ）
【解析】由原点的振动图像知，原点正处于“上坡”，故起振方向向上，所以波传播过程中任何质点的起振方向均向上，波形如图3所示。又因t =0．15s 波应传播s =vt =0．6m ，根据“平移法”和波沿x 轴负方向传播，只有A 的波形符合，故正确选项为A 。
【点评】t =0．15s 介于四分之一周期和二分之一周期之间，不是考生常见的四分之一周期的整数倍，有的考生无法突破思维定势，导致无法求解。这正是命题专家设置的障碍，考查学生是否真正理解了振动和波的相关知识。
（一）以课本演示实验为背景，考查描述机械振动和机械波的物理量
√ 例5 如图9所示为两列不同频率的水波通过相同的小孔所形成的衍射示意图，由图可知，它们的波长和频率分别为λA 、λB ，f A 、f B ，下列判断正确的是（ ）
A ．λA >λB C．这两列波有可能是同一个波源发出的
B ．f A >f B D．若这两列波相遇，能产生稳定的干涉条纹
【解析】由图中的衍射图像可以看出，A 的衍射更明显，孔的宽度相同，由明显衍射的条件有λA >λB ，故选项A 正确；波速由介质决定，而这两列波都是水波，故波速相等，由
误。
（二）以振动图像和波形图为载体，考查描述机械振动和机械波的物理量以及波的特性
得，f A
A ．该波传播的速度为4m/s B．该波的传播方向沿x 轴正方向
C ．经过0．5s 时间，质点P 沿波的传播方向向前传播2m
D ．该波在传播过程中若遇到3m 的障碍物，能发生明显衍射现象
【解析】由波的图像可知，波长为λ＝4 m ，从振动图像中可知振动周期为T ＝1 s ，因此波速v ＝＝4 m/s，故选项A 正确；在t ＝0时刻，从振动图像中可知P 质点正经过平衡位置向y 的负向振动，由波的图像和“同侧法”可知，波沿x 负向传播，故选项B 错误；在波动中，质点只振动不移动，故选项C 错误；3 m的障碍物小于波长，因此波能发生明显的衍射现象，故选项D 正确。
（三）以简谐运动为载体，考查能量转化问题
√ 例7 如图11所示，弹簧下面挂一质量为m 的物体，物体在竖直方向上作振幅为A 的简谐运动，当物体振动到最高点时，弹簧正好为原长，则物体在振动过程中（ ）
A ．物体在最低点时的弹力大小应为2mg B．弹簧的弹性势能和物体的动能总和保持不变
C ．弹簧的最大弹性势能等于2mgA D．物体的最大动能应等于mgA
【解析】如图12所示，O 为平衡位置，M 、N 分别为简谐运动的最高点和最低点。在M 点，弹簧正好为原长，故物体在O 点的弹力为kA=mg，由简谐运动的对称性知，在N 点，弹簧的伸长量x=2A ，所以物体在最低点时的弹力大小为2mg ，故选项A 正确；对于物体和弹簧组成的系统，弹簧的弹性势能和物体的机械能总和保持不变，故选项B 错误；当弹簧伸长到最长时，弹性势能最大，显然，在N 点的弹性势能最大，从M 到N ，物体减少的重力势能2mgA 全部转化为弹性势能，即弹簧的最大弹性势能等于2mgA ，故选项C 正确；物体到达平衡位置O 时，物体的动能最大，从M 到O ，物体减少的重力势能mgA 转化为弹性势能和物体的动能，故物体的最大动能小于mgA ，故选项D 错误。
【点评】考查利用简谐运动的对称性，研究物体受力和系统能量转化关系。
无论试题怎么出，都不可能离开基础知识，因此在2008年的复习备考中，还应特别注重夯实基础、重视演示实验和学生实验，在教学中多进行变式教学，可有效克服学生盲目套用公式，真正理解知识，提升能力，也就一定能在2008年高考中取得胜利。
【新颖试题针对训练】
√1．一弹簧振子振幅为A ，从最大位移处经过时间t 第一次到达平衡位置，若振子从最大位0
移处经过时的加速度大小和动能分别为a 1和E 1，而振子位移为时加速度大小和动能分别为a 2和E 2，则（ ） A ．a 1>a 2 B ．a 1E 2 D ．E 1=E 2
√ 2．图甲是利用沙摆演示简谐运动图象的装置。当盛沙的漏斗下面的薄木板被水平匀速拉出时，做简谐运动的漏斗漏出的沙在板上形成的曲线显示出沙摆的振动位移随时间的变化关系。已知木板被水平拉动的速度为0．20m/s，图乙所示的一段木板的长度为0．60m ，则这次实验沙摆的摆长大约为（取g =π）（ ）
2
A ．0．56m B ．0．65m C ．1．00m D ．2．25m
【创新点】以课本演示实验为背景，考查描述机械波的物理量和单摆周期公式。
√ 3．在均匀介质中，各质点的平衡位置在同一直线上，相邻两质点间的距离为d ，如图。振动从质点1开始向右传播，质点1开始时的速度方向竖直向上，经过时间t 前13个质点第一次形成如图所示的波形。关于这列波的周期T 和波速v 下列说法正确的是（ ）
A ．T =2t /3 B ．T =t /2 C ．v =12d /t D．v =16d /t
【创新点】考查学生对机械波形成过程的理解，突出“过程与方法”的考查。
√4．将一根长为100多厘米的均匀弦线，沿水平的x 轴放置，拉紧并使两端固定，如图（a ）所示。现对离固定的右端25cm 处（取该处的原点O ）的弦上一点施加一个沿垂直于弦线方向（即y 轴方向）的扰动，其位移随时间的变化规律如图（b ）所示该扰动将沿弦线传播而形成波（孤立的脉冲波）。已知该波在弦线中的传播速度为2cm/s，下图中表示自O 点沿弦右传播的波在t =2．5s 时的波形图是（
）
【创新点】本题的振动图像为三角形，不是学生熟悉的振动图像，考查学生的理解能力和迁移能力。
√5．在同一地点有两个静止的声源，发出声波1和声波2。在同一空间的空气中沿同一方向传播，如图所示为某时刻这两列波的图像，则下列说法中正确的是（ ）
A ．波1速度比波2速度大
B ．相对于同一障碍物，波1比波2更容易发生衍射现象
C ．在这两列波传播的方向上，不会产生稳定的干涉现象
D ．在这两列波传播的方向上运动的观察者，听到的这两列波的频率可以相同
【创新点】以波形图为载体，综合考查描述机械波的物理量和波的特性。
6．图7中实线是沿x 轴传播的一列简谐横波在t =0时刻的波形图，虚线是这列波在t =0．05s 时刻的波形图。已知该波的波速是80cm/s，则下列说法中正确的是（ ）
A ．这列波有可能沿x 轴正向传播 B．这列波的波长是10cm
C ．t =0．05s 时刻x =6cm处的质点正在向下运动 D．这列波的周期一定是0．15s
√ 7．将力传感器连接到计算机上就可以测量迅速变化的力的大小。在图甲所示的装置中，可之间往复运动，、与竖直随视为质点的小滑块沿固定的光滑半球形容器内壁在竖直平面的时间变化的曲线如图乙所示，图中=0时，滑块从
中）所给出的信息。（取10m/s）求：
2方向之间的夹角相等且都为（
图甲 图乙
（1）压力大小随时间变化的周期与小滑块运动的周期之比；
（2）容器的半径和小滑块的质量；
（3）小滑块运动过程中的最大动能。
【创新点】以单摆模型为载体，综合考查力学基本规律。
【参考答案】 1．A 2．A 3．B 4．B 5．BC 6 D。
7．（1）读图可得，压力大小随时间变化的周期s
经判断知滑块运动的周期 （2）滑块在是压力大小变化周期的2倍，故=s 之间做类似于单摆的简谐运动，周期 由= 得容器的半径：R==0．4m
当滑块运动到最低点时，由牛顿第二定律：
在点时有： ① ② 滑块由 其中，到最低点过程机械能守恒得：；
③ 由①②③式解得小滑块的质量：m=0．10㎏
（3）当滑块运动到最低点时，滑块的最大动能最大，其值为
J