根据热传导方程推导水力传输过程

根据热传导方程推导水力传输过程

如果一个物体内各点的含水量不全相同，试验证明：在物体内有水分传输，而且水分是由湿润处向干燥处传播，现只考虑一维情况下的水分扩散。设时刻t时材料内部x点处的含水量为(t,x)。(含水量是指体积含水量，即水的体积/材料的体积)。根据热力学传播服从傅里叶传导定理：在无穷小时间段(t,t+dt)内，沿x点处的面积元素dS的法向n流过dS的流量与含水量的下降率成正比，即

ddSdt dx

d其中，qD为点x处的水流密度向量，其方向与含水量的梯度方向相反。 dxdQD()

设材料内部的水分传输受重力影响，为简单期间，假定物体是均匀的，并且时各向同性的。设重力密度函数g(t,x)，即单位时间内体积V中重力作用引起的含水量的变化为g(t,x)V。

在材料内部想象的分出一块体积V的长方形微元，Vxyz，取点x及点xx之间的微元体为研究对象，在t时间内，沿x轴正向通过长方体左侧面进入长方体内的水分是：

Q1D()x(x)yzt

沿x轴正向通过长方体右侧面流出长方体的水分为：

Q2D()x(xx)yzt

于是长方体沿x轴方向的净流入量为：

Q1Q2D()x(xx)x(x)yztD()xx()Vt

其中xxx。由此得出长方体在扩散作用下总共的吸水量为：

Q1D()xx()Vt

同时在t时间内在重力作用影响下长方体内的吸水量可表示为：

Q2g(t,x)Vt

获得水分Q1Q2后，材料内的含水量从(t,x)变到(tt,x)，根据水分传输的定义可知，吸收这些水分一共需要的毛细吸水量是：(设材料常数，水里传导率K)

Q3K()Vt(,x)t

得水分平衡方程：

Q1Q2Q3

D()xx()Vtg(t,x)VtK()Vt(,x)t

两边经过整理得到：

2D()2g(t,x)K()xt 2D()1g(t,x)K()x2K()t

考虑两种极限状态

(1)当材料达到吸水饱和时，毛细吸水量等于重力作用下引起的吸水量变化，而此时扩散量为0，即Q1等于0.用公式可以表示为：

g(t,x)K() t

(2)在初始吸水阶段，由于重力所占的比重很小，所以可以近似忽略重力的影响。即毛细作用下的吸水完全用来扩散，即Q2等于0此时可以用公式表示为：

2 D()2K()xt

现在对两种状态下的方程进行求解：