第四章 预应力混凝土构件截面 承载能力计算
第一节 预应力混凝土受弯构件正截面 承载能力计算
预应力混凝土受弯构件和受力阶段分析
第一阶段——预施应力阶段 预加力和自重共同作用，后张法用净截面特性，弹性工作状态 第二阶段——整体工作阶段 有效预应力、自重、活载共同作用，换算截面特性，弹性工作 状态 第三阶段——带裂缝工作阶段 部分预应力混凝土B类构件，受压区混凝土塑性发展，按开裂 的钢筋混凝土弹性体计算 第四阶段——破坏阶段 截面应力状态同钢筋混凝土构件，材料强度决定承载力
在破坏阶段，预应力混凝土构件的性能与普通钢筋混凝 土构件基本相同，计算方法也基本相同。但也有其自身 特点，区别在于： （1）在未受外荷载时，预应力混凝土受弯构件中的 有效预应力不为零，混凝土一般不开裂。 （2）预应力混凝土受弯构件中—般采用高强钢材， 无明显屈服台阶，需采用条件屈服强度作为破坏时高强 钢材极限应力的简化方法；普通钢筋混凝土受弯构件 中，一般均采用有明显屈服台阶的软钢，钢材应力可以 由平截面假定和理想弹塑性材料应力应变假定确定。
一、破坏形态和特征
预应力混凝土受弯构件的正截面承载力取决于粱的破坏形 态。 破坏形态：随预应力钢材性能、混凝土强度及配筋率 不同，分为三类破坏形态：
Mu （1）带有脆性破坏性质的少（低）筋梁破坏（ M ≥ 1.0 ） cr
（2）带有脆性破坏性质的超筋梁破坏 （3）带有塑件性质的适筋梁破坏 破坏特征类似于普通钢筋混凝土受弯构件
二、基本假定
（1）平截面假定 （2）不考虑混凝土的抗拉强度 （3）变形协调假定 （4）混凝土的极限压应变和应力一应变本构关系 ①混凝土的极限压应变：《桥规》C50 取 0.0033 ， C80取0.003。
②应力一应变本构关系： 混凝土：实际抛物线加直线，简化采用 等效矩形应力图来代换。 两个特征值： β为等效受压区高度 x 与实际受压区高 度c的比值，β=x/c C50及以下： β=0.8 C50~C80： β=0.8~0.74直线内插 γ为等效矩形应力分布图的应力与曲线 应力分布图的最大应力之比， γ=
σ 0 = α 1 f c ⇒ σ c = α1 f c
σc ≈ 1.0 σ0
α 1混凝土强度修正系数：C50及以下： α1=1.0，C50~C80： α 1=1.0~0.94直线内插
预应力钢材： 有明显屈服台阶，理想的应力-应变曲线 无明显屈服台阶的，采用钢材的条件屈服强度作为设计 强度。 我国以0.85倍极限抗拉强度（f0.2）取值。
三、应变协调分析和界限破坏
1、有明显屈服台阶的预应力钢筋 采用与普通钢筋混凝土受弯构件相同的变形协调方 法，建立适配筋梁与超筋梁界限破坏的配筋率、受压区 高度、预应力钢筋应变和应力等价关系。
三、应变协调分析和界限破坏
1、有明显屈服台阶的预应力钢筋
ε cu c = h0 ε p , p 0 + ε cu
构件破坏 的总应变
钢筋合力位置混凝土截面应 力为零时预应力钢筋应变
ε p, p0 = ε p − ε p0
ε p0 = σ p0 / Ep
从预应力合力作用 位置的混凝土消压 至构件破坏的预应 力钢筋应变增量
三、应变协调分析和界限破坏
1、有明显屈服台阶的预应力钢筋 相对受压区高度 ξ = x = β c =
屈服应变
h0
h0
ε p , p 0 + ε cu
βε cu
界限破坏时 ε p = ε pd =
f pd Ep
ε p , p 0 = ε pd − ε p 0
βε cu βε cu βε cu ξ= = = ε p , p 0 + ε cu ε pd − ε p 0 + ε cu f pd σ p 0 β = f pd − σ p 0 − + ε cu + 1.0 Ep Ep E pε cu
三、应变协调分析和界限破坏
1、有明显屈服台阶的预应力钢筋（精轧螺纹钢筋）
超筋梁破坏 界限破坏 适筋梁破坏
ε p cb , x > ξb h0 , ξ > ξb , ρ > ρ max ε p = ε pd , c = cb , x = ξb h0 , ξ = ξb , ρ = ρ max
ε p > ε pd , c
f pd
三、应变协调分析和界限破坏
2、无明显屈服台阶的预应力筋（钢绞线、钢丝） 界限破坏不明确，无法建立等价关系。我国规范根据钢材 的条件屈服强度f0.2定义，考虑0.2%残余应变，建立适配 筋梁与超筋梁界限破坏的配筋率、受压区高度、预应力钢 筋应变和应力等价关系。
ε p , p 0 = ε pd − ε p 0 + 0.002
βε cu β ξ= = 0.002 ε p , p 0 + ε cu + 0.002 f pd − σ p 0 + 1.0 + E pε cu ε cu
四、正截面抗弯承载力计算 说明：
（1）预应力混凝土受弯构件持久状况承载能力极限状 态计算包括：正截面承载能力计算和斜截面承载能力计 算，作用效应组合采用基本组合。 （2）较精确的方法——变形协调法，结合应力—应变 曲线反复试算，烦琐，不适用 通常：采用条件屈服强度代替无明显屈服台阶的 预应力筋的极限应力，通过截面力系平衡条件建立计算 公式。
1、计算图式
2、基本公式
f A ∑ X = 0： M ∑ M = 0：
pd
平衡条件：
σ ' pa = f ' pd − σ ' p 0
p
+ f sd As = f cd Ac + f' sd A' s + σ ' pa A' p
ps
u
= f cd Sc , ps + f 'sd A 's ( h0 − a 's ) + σ ' pa A ' p ( h0 − a ' p )
∑M
ps '
= 0： M u = f cd Sc , ps ' + f sd As ( h '0 − as ) + f pd Ap ( h '0 − a p )
1、受压区不配置钢筋的矩形截面受弯构件
f A ∑ X = 0： M ∑ M = 0：
pd
p
+ f sd As = f cd Ac + f' sd A' s + σ ' pa A' p = f cd S c , ps + f 'sd A 's ( h0 − a 's ) + σ ' pa A ' p ( h0 − a ' p ) Ac = bx, S c , ps x = bx( h0 − ) 2
ps
u
1、受压区不配置钢筋的矩形截面受弯构件
（1）求受压区高度x:
f sd As + f pd Ap = f cd bx
计算所得受压区高度，应满足《公路桥规》规定
x ≤ ξ b h0 ——防止超筋梁脆性破坏，破坏时受拉预应力筋达到屈
服强度或条件屈服强度。
（2）正截面承载力计算 正截面承载力应满足
x⎞ ⎛ γ0 M d ≤ M u = f cd bx ⎜ ho − ⎟ 2⎠ ⎝
桥梁结 构重要 性系数
2、受压区配置预应力钢筋和非预应力钢筋的矩形 截面受弯构件
设压应力为正，拉应力为负，预应力混凝土梁破坏之 前，受压区预应力筋的应力可能是压应力，也可能是拉应 力。计算简图：
f A ∑ X = 0： M ∑ M = 0：
pd
p
ps
u
= f cd S c , ps + f 'sd A 's ( h0 − a 's ) + σ ' pa A ' p ( h0 − a ' p )
+ f sd As = f cd Ac + f' sd A' s + σ ' pa A' p
可仿照钢筋混凝土双筋矩形截面受弯构件，由静力平衡方程 计算承载力 受压区预应力筋的计算应力 σ' pa 设压应力为正，拉应力为负，构件破坏时：
构件开始受荷到破坏过程中， 预应力筋中增加的压应力
或
σ ' p 0 ——受压纵向预应力筋中心处混凝土预压应力为零时的有效
预应力（扣除不包括混凝土弹性压缩在内的全部预应力损失）
说明：
上式成立的前提条件：A’p重心处混凝土应变达到 ε c = 0.002
（1）求受压区高度x
f sd As + f pd Ap = f cd bx + f' sd A' s + ( f' pd − σ' p 0 )A' p
计算所得受压区高度，应满足《公路桥规》规定
x ≤ ξ b h0
为保证在构件破坏时，钢筋 A' s 的应力达到 f' sd 当受压区预应力钢筋受压，即 ( f' pd − σ' p 0 ) > 0应满足
x ≥ 2a'
——保证破坏时受压区预应力筋合力作用位置处混凝土的 压应变达到相应的应变，否则需要进行修正。
当受压区预应力钢筋受拉，即 ( f' pd − σ' p 0 )
x ≥ 2a's
（2）正截面承载力计算
x⎞ ⎛ γ0 M d ≤ M u = f cd bx⎜ ho − ⎟ + f' sd A' s (h0 − a' s ) + ( f' pd − σ' p 0 )A' p (h0 − a' p ) 2⎠ ⎝
说明： 由上式可见，构件的承载力与受拉区钢筋是否 施加预应力无关，但对受压区钢筋施加预应力 后，等号右边末项的钢筋应力下降，将比压区 筋不加预应力是的构件承载力有所下降，同时 使用阶段的抗裂性也有所降低。因此，除非确 有必要，才予以设置。
3、T截面受弯构件 先按下列条件判断属于哪一类T形截面： 截面复核时 f sy As + f py Ap ≤ α1 f c b'h' f + f'sy A's + ( f' py − σ' p 0 ) A' p 截面设计时
h' f ⎛ γ0 M d ≤ f cy b 'f h' f ⎜ ho − 2 ⎝ ⎞ ⎟ + f'sy A's ( h0 − a's ) + ( f' py − σ' p 0 ) A' p ( h0 − a' p ) ⎠
符合上述条件，为第一类 T 型截 面；否则为第二类 T 型截面，计 算时考虑梁肋受压区混凝土工 作，如下计算： （1）求受压区高度x
f sd As + f pd Ap = f cd bx + (b' f − b )h' f + f' sd A' s + ( f' pd − σ' p 0 )A' p
（2）承载力计算
[
]
⎡ ⎛ ⎤ x⎞ γ0 M d ≤ M u = f cd ⎢bx⎜ ho − ⎟ + (b' f − b )h' f (h0 − h' f / 2 )⎥ 2⎠ ⎣ ⎝ ⎦ + f' sd A' s (h0 − a' s ) + ( f' pd − σ' p 0 )A' p (h0 − a' p )
适用条件与矩形截面相同，计算步骤与非预应力混凝土梁类似
第二节 预应力混凝土受弯构件 斜截面承载力计算
与普通混凝土受弯构件一样，预应力混凝土受弯构件也有 沿截面破坏的可能。 斜裂缝出现前，按弹性理论分析 斜裂缝出现后，构件斜截面承载力应通过极限平衡关系分 析得到 沿斜截面的破坏有两种形式： （1）沿斜截面的剪切破坏：纵向配筋较多，锚固可靠， 抗剪能力不足 （2）斜截面弯曲破坏：纵向配筋不足，锚固不良，受压 区压碎
一、斜截面抗剪承载力计算
1、预应力对斜截面抗剪承载能力的影响
有利影响：斜截面抗裂性好，有较高的抗剪承载力 原因： 开裂前，纵向预压应力减小了主拉应力并且改变了其作 用方向 —— 预应力提高了斜裂缝出现时的荷载；斜裂缝 倾角减少 —— 在增大水平投影长度，提高腹筋抗剪作 用；弯起筋竖向分力——抵消荷载剪力 开裂后，预压力阻滞裂缝开展，减小裂缝宽度，减缓沿 截面高度方向发展，增大剪压区高度，加大骨料咬合作 用。
注意： （1）预应力的抗剪承载能力的有力作用有限值 （2）预应力度对预应力受弯构件的剪切破坏形态无明显 影响，剪跨比、腹板配筋率仍是影响破坏形态的主要因 素 （ 3 ）预应力受弯构件也有三种破坏形态：斜压（脆 性）、斜拉（脆性）、剪压（延性）。
a）斜拉破坏（m>3）
b）剪压破坏 （m=1~3）
c）斜压破坏 （m
2、斜截面抗剪承载力计算
一般预应力受弯构件斜截面抗剪承载力的计算公式，是在普 通钢筋混凝土受弯构件计算公式的基础上，考虑预应力对抗 剪能力的提高作用而建立的。 （1）公式的基本形式 对配有箍筋和弯起预应力筋的受弯构件，斜截面抗剪承载力 计算计算基本表达式为
斜截面抗剪承载力 弯起钢筋抗剪承 载力 预应力筋提供的 抗剪承载力
Vu = Vcs + Vb + V p
混凝土和箍筋抗 剪承载力
斜截面受压端正截 面上最大剪力组合
弯起钢筋抗剪承 载力设计值 弯起预应力筋抗 剪承载力设计值
γ0Vd ≤ Vcs + Vsb + V pb
混凝土和箍筋抗 剪承载力设计值
注：预应力混凝土超静定结构，作用效应取 Vd = γ0 S + γ p S p 上式同样适用于箱形截面
（2）斜截面内混凝土和箍筋的抗剪承载力设计值Vcs 按《桥规规定》：
受压翼缘 影响系数 混凝土立方体抗 压强度标准值 斜截面内箍 筋配筋率 A ρ sv = sv svb
异号弯矩 影响系数
预应力 提高系 数
纵向受拉钢筋 计算配筋率： 当p>2.5，取 p=2.5
箍筋抗拉 强度设计 值
bh0 采用竖向预应力钢筋的预应力混凝土箱梁，应将箍筋配筋率
p = 100 ρ
ρ=
Ap + Apb + As
换为竖向预应力钢筋（箍筋）的配筋率
（3） 普通弯起钢筋的抗剪承载力设计值Vsb
Vsb = 0.75 × 10−3 f sd ∑ Asb sin θ s ( kN )
（4） 预应力弯起钢筋的抗剪承载力设计值Vpb
（5） 预应力混凝土斜截面抗剪承载力
+
（6） 公式的限制条件 同普通钢筋混凝土梁，公式仅适用于剪压破坏的情况，公 式使用时的上、下限分别为： ¾ 上限值——最小截面尺寸 防止发生斜压破坏（或腹板压坏）或产生过宽的斜裂缝。 截面最小尺寸：
γ0Vd ≤ 0.51× 10 −3
(
)
f cu,k bh0
(kN )
说明：若上限值不满足抗剪承载力的要求，则应加大截面 尺寸或提高混凝土强度等级。
（6） 公式的限制条件 ¾ 上限值——最小截面尺寸 ¾ 下限值——按构造要求配置箍筋条件 保证配置的箍筋数量，有效抑制裂缝发展，防止发生斜拉 破坏，《公路桥规》规定当满足下述条件时可不进行斜截 面抗剪承载能力计算，而仅按构造要求配置箍筋，其配筋 率需满足最小配筋率要求：
γ0Vd ≤ 0.5 ×10 −3 α2 f td bh0
(
)
(kN )
说明：（1）若按上式计算的抗剪承载力不满足时，应按斜 截面承载力的要求配置箍筋。 （2）对于板式受弯构件，右边计算值可乘1.25提高系数
3、斜截面抗弯承载力计算
根据斜截面的受弯破坏形态，取截面以左部分为脱离体， 以受压区混凝土合力作用点为中心取矩，由弯矩平衡条件得：
γ0 M d ≤ f sd As Z s + f pd Ap Z p + ∑ fsd Asb Z sb +
∑f
pd
Apb Z pb + ∑ fsv Asv Z sv
( kN )
（ 1 ）计算斜截面的抗弯承载能力时，其最不利斜截面位置 应选在预应力筋减少处、箍筋间距变化处和混凝土腹板宽度 突变处。 （2）斜截面的水平投影长度，应自上而下，按不同倾斜角 度试算确定。 最不利斜截面水平投影长度按下列公式试算确定
进一步确定受压区合力作用点的位置，以便确定各力臂长度，
说明：预应力混凝土受弯构件斜截面抗弯承载 力的计算较麻烦，也可同普通钢筋混凝土梁一 样，用构造措施予以保证。
第三节 预应力混凝土偏心受压构件 截面承载力计算
一、破坏形态与特征
随偏心距e0大小、配筋率不同，其破坏特征也不同。从破坏 原因、破坏性质及决定其极限强度的主要因素分析，破坏形 态一般可归结为以下两类： （1）大偏心受压破坏——受拉破坏 远离偏心压力侧受拉钢筋屈服，混凝土达极限压应变 破坏特征:转角较大，塑性破坏 破坏条件：e0较大，受拉钢筋配筋率低 截面承载力：取决于钢筋
（2）小偏心受压破坏——受压破坏 混凝土达极限压应变，受拉钢筋未屈服 破坏特征:转角较不大，脆性破坏 破坏条件：e0较小，或受拉钢筋配筋率过高 截面承载力：混凝土及靠近压力侧的受压钢筋
二、基本假定
与受弯构件正截面计算的基本假定相同
三、应变协调条件、界限破坏与钢筋应力
（1）大小偏心破坏的界限： 小偏心受压破坏 ε p cb , x > ξb h0 , ξ > ξb , ρ > ρ max 界限破坏
ε p = ε pd , c = cb , x = ξb h0 , ξ = ξb , ρ = ρ max
大偏心受压破坏 ε p > ε pd , c
（2）纵向钢筋应力取值 钢筋应力可在x确定以后通过平截面假定和应力变形协 调而得到。 大小偏心破坏的界限： ξ
σ s = f sd σ p = f pd
σ s
σ p
ξ＞ξb, x ＞ξbh0， 小偏心受压破坏，远离压力侧 ξ=ξb，界限破坏。
σ s = f sd σ p = f pd
（2）纵向钢筋应力取值 钢筋应力可在x确定以后通过平截面假定和应力变形协 调而得到。纵向钢筋应力计算： ⎛ β hoi ⎞ 对普通钢筋： − f sd' σ si = ε cu Es ⎜ − 1⎟ ⎝ x ⎠ 对预应力筋: σ = ε E ⎛ βhoi − 1⎞ + σ
pi cu p
≤ σ si ≤ f sd
i表示第i层纵 向普通或预 应力钢筋
− ( f pd' − σ poi ) ≤ σ pi ≤ f pd
当
⎜ ⎝ x
⎟ ⎠
poi
σ pi 为拉应力且其值大于预应力钢筋抗拉强度设计值 f pd
= f pd ；
为压应力且其绝对值大于 f pd' − σ poi 的绝对值时，
时，取 σ pi
σ 当 pi
取
σ pi = − ( f pd' − σ poi )
(
)
（3）偏心增大系数 偏心受压构件在初始偏心距为eo的偏心压力作用下，将产 生不可忽略的侧向弯曲，并在截面中引起附加弯矩，又称二 阶弯矩。现行设计规范都采用增大初始偏心距方法来计及侧 向弯曲的影响。 两种计算方法： 第一种：以弹性理论为依据，考虑材料弹塑性对弹性刚度进 行修正，以刚度为主要参数。 1 η= Nl0 2 1− 2 π α e Ec I e
刚度修正系数
对预应力混凝土构件，不计预应力对构件刚度提高的有利 因素，偏安全地采用与钢筋混凝土构件相同的公式
第二种：以平截面假定和应变协调分析为依据，以曲率为主 要参数。简化近似公式： 2 2 ϕε + ε l 1 cu y 0 l0 η = 1+ ξξ 2 1 2 π e0 h0 《公路桥规》：计算偏心受压构件正截面承载力时，对长 细比 l0 /i > 17.5 的构件，为简化，代入常见值可近似得
1 ⎛ l0 ⎞ η = 1+ ⎜ ⎟ ξ1ξ 2 1400e0 / h0 ⎝ h ⎠
2
e0 曲率影响修正系数：ξ1 = 0.2 + 2.7 ≤ 1.0 h0 l0 长细比影响修正系数：ξ 2 = 1.15 − 0.01 ≤ 1.0 h0 对预应力混凝土构件 ε y 用 ( f pd − σ p 0 ) 代替，以考虑刚度提高 的有利因素。
二、偏心受压构件截面承载力计算
1、矩形截面偏心受压构件截面抗压承载力计算
γ 0 N d ≤ Nu = f cd bx + f sd ' As ' + ( f pd ' − σ p 0 ' ) Ap ' − σ s As − σ p Ap
对钢筋As和预应力筋Ap合力点的力矩之和 x⎞ ⎛ γ 0 N d e ≤ M u = f cd bx ⎜ h0 − ⎟ + f sd ' As ' ( h0 − as ' ) + ( f pd ' − σ p 0 ' ) Ap ' ( h0 − a p ' ) 2⎠ ⎝
对小偏心受压构件，当轴向力作用在As’和Ap’合力点与 As和Ap合力点之间时，抗压承载力计算尚应符合下列规 定：
h⎞ ⎛ γ 0 N d e ' ≤ M u = f cd bh ⎜ h '0 − ⎟ _ f sd ' As ( h '0 − as ) + ( f sd '− σ p 0 ) Ap ( h '0 − a p ) 2⎠ ⎝
h e' = − e0 − a ' 2
以上公式的适用条件与受弯构件承载力计算的条件相同 2、T形截面偏心受压构件承载力计算
说明：预应力混凝土偏心受压构件，除应验算弯矩作 用平面截面承载能力外，还须按轴心受压构件验算垂 直弯矩作用平面的截面承载能力，此时无弯矩作用， 但要计入稳定系数φ以考虑纵向弯曲的影响。