一个中学数学建模的简要案例--------教育储蓄问题
我们以高中数学教学为背景, 介绍一个数学建模的教学的设计, 它的问题设计是利用“教育储蓄”的素材，学习和应用数列和数列求和的知识。它的教学目的是：使学生初步了解用数学建模方法解决生活中实际问题的过程，体会所学数学知识的应用价值和数学理论由于它的一般性和抽象性所带来的应用的广泛性。培养学生关注并能发现生活中常见现象中的数学因素、数学问题，主动应用自己所学的数学知识去概括、抽象、解决问题的意识。
由于教育储蓄问题的特殊性，可以用这个问题来学习或复习、应用等差、等比数列的通项、求和等知识。教与学的过程一种参考设计是：
请学生个人或组成小组，利用课余时间调查有关“教育储蓄”的资料，事先可以让学生讨论需要了解的信息是什么，主要途径：网上主题词检索、各大银行直接询问。
以往的应用题常常是“没有源头”的， 所需解决问题的信息都是已知的， 不多不少，没有信息寻求、选择、加工的过程。而解决实际问题的第一步应该是从寻求有关信息开始。
让学生交流、互相启发补充扩展他们取得的信息。重点确认以下信息：
教育储蓄的适用对象：（在校中小学学生）， 储蓄类型和特点：（是“零存整取”的形式，但享受“整存整取”的利率，不扣利息税。），最低起存金额：（人民币50元）， 每户存款本金的最高限额（人民币2万元），支取方式：（到3年期或到六年期，凭学校开出的在学证明一次支取本息），银行现行的各类、各档存款利率：（略），零存整取、整存整取的本息计算方法。 学生常常出现的问题是信息寻求时“丢三拉四”，用互相交流的方式常常可以改善这一点；同时，合作学习，合作解决问题的意识，也是我们特别要培养的东西。
3． 请学生提出拟解决的问题，根据问题，在教师带领下，寻找适用的数学工具，建立相应的数学模型，如有：
（1） 依教育储蓄的方式，每月存50元，连续存3年，到期（3年）或6年时一次可支取本息共多少钱？（等差数列求和，公式应用模型）。
（2） 依教育储蓄的方式，每月存a 元，连续存3年，到期（3年）或6年时一次可支取本息共多少钱？（公式模型的一般化）。
（3） 依教育储蓄的方式，每月存50元，连续存3年，到期（3年）时一次可支取本息比同档次的“零存整取”多收益多少钱？（比较方知优劣）。
（4） 欲在3年后一次支取教育储蓄本息合计1万元，每月应存入多少钱？
（5） 欲在3年后一次支取教育储蓄本息合计a 万元，每月应存入多少钱？(特殊到一般)
（6） 依教育储蓄的方式，原打算每月存100元，连续存6年，可是到4年时，学生需要提前支取全部本息，一次可支取本息共多少钱？
（7） 依教育储蓄的方式，原打算每月存a 元，连续存6年，可是到b 年时，学生需要提前支取全部本息，一次可支取本息共多少钱？(分段函数的模型, 一般化)
（8） （开放题）：不用教育储蓄的方式, 而用其他的储蓄形式 , 以每月可存100元, 6年后使用为例, 探讨以现行的利率标准可能的最大收益, 将得到的结果与教育储蓄比较. （可以涉及到等比数列、递推关系、单调性应用、不等式比较等许多知识）
（9） （开放题）：学生自己设计的其他计算题（如自己设立指标，计算并比较3年期和6年期的教育储蓄的相对收益的大小；设计一项专项储蓄方案等; 设计一个回报率更高的投资方案等。）
（10） (开放题): 将问题解决过程中出现的数学模型(等差数列或复利增长模型) 进一步抽象出来, 看看它还有怎样的应用?
（11） ……
4. 学生交流计算的结果和他们发现和提出的新问题.
可以让学生报告小组的讨论结果并分工写成解题报告或小论文。教师应特别注意学生在求解过程中提出的新问题，如有可能可以利用这些问题形成新的问题求解的循环。教师注意及时给予鼓励和肯定性的评价和进一步工作的建议，也可以通过学生之间质疑、答辩、评价来实现数学之外的教育功能。
5． 对这个素材进行教学设计时的建议：
① 注重问题情景的创设，尽可能使学生体验数学建模解决教育储蓄问题的完整过程，特别是数据采集，问题设计，一般化的讨论，结果交流和评价等环节尽可能让学生参与。
② 注意计算器、计算机工具的使用，特别是在求数值解的过程中。
③ 淡化对等差, 等比数列一般性质的过度讲解与讨论，围绕问题的解决的需求介绍等差, 等比数列的相关知识。鼓励学生自己围绕
问题寻求相关的知识。
④ 鼓励学生的合作学习、取长补短。注意设计开放的“结尾”，给学生思考的空间，鼓励学生提出自己的问题和有创意的解法。
2．4 数学建模的教学策略与教学建议
新的数学课程标准中，数学探究、数学建模、数学文化是贯穿于整个高中数学课程的重要内容，这些内容不再单独设置，而是渗透在每个模块或专题中。高中阶段至少各应安排一次较为完整的数学建模活动。
在中学, 特别是高中阶段, 可以针对学生的不同发展水平，分层次开展多样的数学应用与建模活动。形式可以是多种多样的，常见的主要有以下三种：
(1) 结合正常的课堂教学，在部分环节上“切入”应用和建模的内容，
(2) 以数学应用和数学建模为主题的课外的活动，
(3) 数学建模选修课程。
中学生兴趣广泛，好动。利用这一特点，我们可以把应用和建模的内容做得活动性更强一些。问题的设计也可以更开放一些，这样可以给更多的学生施展才华的机会，特别是一些学业成绩不很好的学生在活动中常常可以扬长避短，做出很好的结果。教师在对这些学生的鼓励中可以很好地激发他们的学习兴趣。活动可以以个人或小组为单位，在教师的参与和指导下，用课外完成定时的作业、成品展示交流、数据与结果的报告、现场的比赛等形式进行。建模过程中要强调发展学生们的主体意识、合作意识, 鼓励学生们能动地参与建模的各个环节，主动地提问题、想问题、找问题、合作学习、优势互补、发挥特长、合作解决问题。建模教学中特别提倡采用小组学习、集体讨论、论文报告答辩等以学生自主实践活动为主体的教学模式。
中学中开展数学应用与建模活动的关键是寻找一批适合学生参与的“好的问题”, 教师在选择这些问题时，应特别注意以下几点： （1） 应努力选择与学生的生活实际相关的问题，并减少对问题不必要的人为加工和刻意雕琢。
（2） 数学建模问题的应努力表现出建模的全过程，而不仅仅是问题
本身的解决。
（3） 数学建模选用的问题最好有较为宽泛的数学背景、有不同的层次以便于不同水平学生的参与, 并注意问题的可扩展性和开放性。
应鼓励学生在问题分析解决的过程中使用计算工具和成品工（4）
具软件。
提倡教师自己动手、因地制宜地收集、编制、改造数学应用（5）
或建模问题， 以更适合学生的使用，并根据所教学生的实际情况采取适当的教学或学习策略。
教师把握教学目标时应立足于“做”而不是讲，立足于学生对问题的分析，对解决问题过程的理解，而不以仅仅有正确的解答为满足。要让学生在问题、困难、挑战、挫折、取胜的交替体验中；在选择、判断、协作、交流的轮换操作中; 经历一个个学数学、用数学, 进而发现问题, 走向新的学数学、用数学的过程。从而培养能力、激发兴趣、形成学生主动学习的良性循环。要尽可能地通过数学建模活动，为尽可能多的学生提供参与解决实际问题的机会，及时鼓励这种参与。尽可能使学生通过问题解决的过程获得成功感，即使问题尚未真正解决。数学建模的成果可以为学生建立一种更表现学生素质的评价体系。建模过程应为不同水平的学生都提供体验成功的机会，真正把筛子变成泵。
实际上数学建模的教学过程（或者更自然地说是师生一起学和做的过程）更有利于发挥教师的主导作用和学生的主体作用。教师的主导作用体现在创设好的问题环境, 激发学生自主地探索解决问题的积极性和创造性上; 学生的主体作用体现在问题的探索、发现、解决的深度和方式尽量由学生自主控制和完成。它体现了教学过程由以教为主到以学为主的重心的转移。课堂的主活动不应都是教师的讲授, 而应是学生自主的自学、讨论、调查、探索、解决问题。教师平等地参与学生的探索、学习活动。在教学的组织中体现“学法”，把教和学融为一体。数学建模的学习和实践也应促进了课本内外其他数学知识的学习。同学们在解决问题的困惑和克服困难的过程中体会到了数学理论知识的作用。
教师要在自己的视野内努力寻找适合于自己所教学生的数学建模问题，做好每个问题解决过程的记录，学生成功的经验和自己在挫折中得到的教训对于今后的数学建模的教学设计有重要的价值，亲身实践、及时反思总结这也是教师由数学建模的生手到行家的有效途径。
评价学生在数学建模中的表现时，要重过程、重参与。不要苛求
数学建模过程的严密、结果的准确。评价内容应关注以下几个方面：
——创新性。 问题的提出和解决的方案有新意。
——现实性。 问题来源于学生的现实。
——真实性。 确实是学生本人参与制作的，数据是真实的。 ——合理性。 建模过程中使用的数学方法得当，求解过程合乎常理。
——有效性。 建模的结果有一定的实际意义。
以上几个方面不必追求全面，只要有一项做得比较好就应该予以肯定。对数学建模的评价可以采取答辩会、报告会、交流会等形式进行，通过师生之间、学生之间的提问交流给出定性的评价，应该特别鼓励学生工作中的“闪光点”。数学建模报告及评价可以记入学生成长记录，作为反映学生数学学习过程的资料和推荐依据。对于学生中优秀的论文应该给予鼓励，可以采取表扬、评奖、推荐杂志发表、编辑出版、向高等学校推荐等多种形式。