高中概率古典概型问题例题分析

　　[摘要]古典概型是高中重要的概率内容，对古典概型基本事件的认识，是解决问题的核心。而将基本事件从复杂变到简单则可以使我们更能把握概率的本质。许多学生在学习古典概型题目时往往很难把握学习的方向，利用例题对古典概型的本质进行分析，使学生有效地提高应用能力，为将来进一步学习和研究奠定坚实的基础。 　　[关键词]古典概型 等可能事件 有序和无序 　　概率论作为一门研究现实世界中广泛存在的随机事件现象规律性的数学分支，在日常生产和生活中以及科学技术领域中，得到了非常广泛的应用，因此，学好概率的有关知识，显得十分重要。由于概率的产生，建立和发展与生产生活实际密切相连，而生活中的问题其条件和背景是千差万别的，一般没有固定的法则和套路，这也决定了概率问题的特点。与其它数学内容相比，在学习方法上存在着许多差异，导致许多学生在学习概率问题时往往很难把握学习的方向，特别是古典概型题目中更为明显，因为学生过去接触的主要是确定性事件，对不确定性事件认识有限，学生头脑中有关概率的认识大都来自个体的一些直觉的、不成熟的经验，使学生很难用以获得的解决确定性数学问题的方法和思维方式去求不确定性的概率问题，所以要精选案例，利用对比辨析、反例纠错等方法提高学生的解决概率问题的能力。 　　例题：1.把一根长度为6的铁丝截成3段，若每段长度均为整数，求能构成三角形的概率？这是一道典型的古典概型题目，古典概型定义描述应具备两个特点：①试验中所有可能出现的基本事件只有游戏个，②每个基本事件出现的可能性相同。而这道题最容易出现的错误就是对第二条的认识。错解：截成3段的长度的基本事件有3种情况：（1，1，4），（1，2，3），（2，2，2），其中能构成三角形的只有1种，（2，2，2），所有所求概率P=1/3造成这个错误的原因就在于对基本事件的认识，错解认为基本事件只有3种，但是这3种情况并不是等可能的，例如：（1，1，4）长度确实只有1种，但是截成的方法却有3种可能，而截成（2，2，2）这种情况却只有1种情况。所以这道题目正确的解法应该是： 　　方法：1.截成3段长度均为整数的方法有：（1，1，4），（1，4，1），（4，1，1），（1，2，3），（1，3，2），（2，3，1），（2，1，3）（3，2，1），（3，1，2），（2，2，2）共10种可能，所以所求概率P=1/10 　　方法：2.若此题换一个角度分析，用排列组合的方法解答就不难理解了。铁丝长度6就相当于1条6个单位的线段，除去两个端点，还有5个整数点，要截成3段，就是要从5个点当中选取2个点作为截断点，一共有C2、5、=10种方法，而构成三角形只有从2、4处截取，所以所求概率P=1/10 　　在解答这道题中，有许多学生甚至部分教师在没有提示的情况下会出现错误解答，导致错误解答的原因表面看来是对基本事件的错误认识，但产生这种错误的深层次原因是在于混淆了有序和无序的区别，即这个例题中的基本事件是要有顺序的，即（1，2，3）和（3，2，1）等是不同的基本事件，而不是相同的基本事件，如果再深究将有序看做无序的本质原因，就是没有理解透彻古典概型的定义，特别是古典概型的第二个特点。毋须讳言，古典概型问题的核心就是对基本事件的确认，在此基础上运用分类原理和分步原理求解基本事件总数和指定事件包含的基本事件的个数，由此有些人认为概率的求解就等同于排列组合知识的应用，这当然是不对的。但是如果能够将基本事件从比较复杂的形式变为相对简单，却可以帮助我们更准确把握概率的本质。 　　例题：2.把12人平均分成两组，每组任意指定正副组长各1名，问甲被指定为组长的概率是多少？此题如果把12人平均分成两组，每组任意指定正副组长各一名看做基本事件，那么，基本事件的繁琐会严重影响到解题，这样人的主观能动性也就无从谈起。而我们实际换个角度看，把问题看成12人排12个位置，其中首尾2个位置看做特殊位置，（一般可以任意指定两位置担任正组长）从而基本事件总数为A，而甲任组长的事件（即甲在特殊位置的排法），为C、21*A1111所以所求概率P=（C12*A1111）/A、12、12=2/12=1/6。继续上面的思路，整个问题中只有甲作为特殊元素出现，所以我们只需主要关注元素甲，即把基本事件定义为从12个位置中选1个给甲，其基本事件总数为C，此时甲任组长的事件（即排在特殊位置的排法）为C12所以所求概率P=C1、2/C；112=/12=1/6 　　完全可以认为，优美灵活的解法，正是源于对基本事件的认定，而对古典概型定义的深刻理解是解决问题的基础。总之在概率的学习中，只要我们真正的理解了基本概念，掌握了思想方法，就能有效地提高应用能力，使解答概率问题得心应手，灵活自如，同时数学素养也可以得到有效提升，为将来进一步学习和研究奠定坚实的基础。