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浅议高考解析几何压轴题
作者：朱振国
来源：《课堂内外·教师版》2014年第08期
一、经典结论一
若直线AB 和椭圆+=1，（a>b>0）交于A ，B 两点，C 为A ，B 中点，如图1，则
KAB·KOC=-，对双曲线-=1有KAB·KOC=. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：+y2=1. 如图2，斜率为k （k>0）且不过原点的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，线段AB 的中点为E ，射线OE 交椭圆C 于点G ，交直线x=-3于点D （-3，m ）. （Ⅰ）求m2+k2的最小值；（Ⅱ）若OG=OD·OE ，（i ）求证：直线l 过定点；（ii ）试问点B ，G 能否关于x 轴对称？若能，求出此时三角形ABG 的外接圆方程；若不能，请说明理由.
【解析】 （Ⅰ）略
（Ⅱ）（i ）证明：由题意知：n>0，因为直线OD 的方程为y=-x，得交点G 的纵坐标为yG=，又因为yE=，yD=m，且OG=OD·OE ，所以=m·，又由（Ⅰ）知：m=，所以解得k=n，所以直线l 的方程为l ：y=kx+k，即有l ：y=k（x+1），令x=-1得，y=0，与实数k 无关，所以直线l 过定点（-1，0）. （ii ）假设点B ，G 关于x 轴对称，则有三角形ABG 的外接圆的圆心在x 轴上，又在线段AB 的中垂线上，由（i ）知点G
二、经典结论二
若直线L 和椭圆+=1，（a>b>0）交于AB 两点且OA ⊥OB ，则O 到L 的距离OP=在双曲线-=1（b>a>0）. 如图3，设椭圆E ：+=1（a ，b>0）过M （2，），N （，1）两点，O 为坐标原点，（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ，B ，且⊥？若存在，写出该圆的方程，并求AB 的取值范围，若不存在说明理由.
解：（Ⅰ）略.
（Ⅱ）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ，B ，且⊥，设该圆的切线方程为y=kx+m解方程组y=kx+m，