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自然科学
泊松分布与泊松流
徐春芳
（福建师范大学数学与计算机科学学院福建福州３５０００７）
摘要：关键词：
主要从泊松分布以及泊松流的性质出发．给出它们在应用方面的一些探讨。泊松分布；泊松流；等待时间
１－－０１
中图分类号：０２１文献标识码：Ａ文章编号：１６７１－－７５９７（２０１０）０２２００１
１鼍ｌ入
泊松分布是由法国数学家泊松于１８３７年引入的。泊松分布也是概率论中最霞耍的几个分布之一。一‘种分布之所以霞要，通常是由于炳种原因：或者它直接产生于实际问题中，或者它作为某些重要的分布的极限而出现，因而在理论一ｔ：有重要的意义。泊松分布也足如此：首先．已经发现许多随机现象服从泊松分布。特别是在社会生活、物理科学等领域，诸如公共汽车站来剑的乘客数，放射性分裂落到某区域的质点数等等。其次，对泊松分布的深入研究（特别是通过随机过程的研究）已发现它具有许多特殊的性质和作用。
２定义和性曩２．１泊松分布
设ｘ为离散型随机变量，且Ｘ的取值为所有非负整数。如果ｘ的概率函数为：
Ｐ（ｘ：舻ｊ箐对讯－ｏ＇Ｌ２＇Ｌ
０
其他
则称ｘ服从均值为五（旯＞０）的泊松分布。
泊松分布的均值和方差都为五。
定理ｌ：如果Ｘｌ，Ｘ２，Ｌ，ＸＩ是相互独它的随机变量，且Ｘ，服从均值
为砖（ｆ＝ｌ，２，Ｌｋ）的泊松分布，则ｘＩ，ｘ２，Ｌ，ｘｔ服从均值为五＋五十Ｌ
＋以的泊松分布。
２．２泊松流
源源不断地出现的许多随机的质点构成一个随机质点流，简称流。例如，到某商店去的顾客形成‘个顾客流等。
以Ｘ。表示在时间区间（Ｏ，ｔ】内总共出现的质点个数，我们讨论Ｘ，的分布。
流称为泊松流，如果流满足下列条件：
１）独立增量性（无后效性）。在任意／＇１个不相交的区间（ｑ，岛】（ｆ＝ｌ，２，Ｌ，玎）中，各自出现的质点的个数Ｘ（ａｉ，觑】是独伊的。即对任意ｎ个非
负整数岛，诸事件Ｘ（ａｚ，岛】，＝ｋｉ，ｆ－１，２＇Ｌ，厅是独立的：
２）平稳性。在长为ｔ的区间（ｎ＇４＋ｆ１中，出现七个质点的概率最（ｔ）
＝Ｐ（Ｘ（ａ，ａ＋ｆ】＝七）与ａ无关，且ｅｏ（ｔ）不恒等于１。并且在有限区间（西
口＋ｆ】中只出现有限多个质点，即有∑嚷（ｆ）＝ｌ；
３）普通性。在位，ａ＋ｔｌ中出现一个以上质点的概率ｙ（ｆ）（＝ｌ一岛（ｆ）
一ｅ．（Ｏ）ａｔ的高阶无穷小量，即！ｉ璺兰掣：ｏ。
泊松流也称为泊松过程。
定理２：对于泊松流，Ｘ。有参数为办的泊松分布，Ａ是正常数；即：
Ｐ（Ｘ，＝护Ｐ础訾，（七＝Ｏ，Ｌ２，Ｌ）
通常我们用泊松分布来描述事件出现的次数，由于＾是单位时间内事件发生的甲均数，ｘ越大，单位时间内平均发生的事件越多。所以也称＾为泊松过程的强度。州强度为＾的泊松过程来描述单位时间内期望出现事件数为＾的随机事件的出现次数，若在互不相交的时间区域内事件的发生是相互独立的，且两个或多个事件能在同一时间发生，则时问间隔为ｔ时，
万方数据
事件出现的次数服从均值为＾ｔ的泊松分布。
３典型倒囊３．１顾客到达数
一个店主＿｝｝ｊ独立且服从均值为４．５的泊松随机变量来描述在互不相交的时问间隔咀到的顾客数，认为平均每小时到达商店购物的顾客数为４．５。求在两个小时的时问问龋里至少有１２名顾客到达商店购物的概率为多少？
解：以Ｘ．表示第叫、时内到达商店购物的顾客数，爿２表示第－－４，时内到达商店购物的顾客数，则町以认为Ｘｌ和Ｘ２足相互独立的泊松随机变量，且均值都为４．５。由定理１，两个小时内到达购物的顾客总数Ｘ＝Ｘ．＋盖２服从均值为９的泊松分布。通过查泊松概率表可得到所求概率是尸（Ｘ≥１２）＝０．１９７。
３．２等待时间悖论
公共汽车依泊松过程到达车站，依次相继到达的汽车间隔的时问期望是ｘ。假设某人在任意时刻ｔ到达车站，求他等待汽车的时间Ｘ。的期望ＥｌⅨ，Ｊ是多少？
解一：由泊松过程的无后效性，他等待的时间分布不依赖于他的到达
时刻。在这种情形下，￡Ｉｘ，）＝Ｅ（ｘｏ）＝五。
解二；他的到达时刻是“随机地出现”在区问内，在两辆相继到达的汽车之间，由于对称性，他的期望等待时间是两辆相继到达的汽车时阃阃
１
隔时间的一半，即ＥＩＸ。）＝÷五。
２
说明：这两个解法都是正确的，并且都被用于实际中。矛盾在于：
我们讨论时间问隔Ｗ＝Ｓ．，％＝Ｓ２一Ｓ。，Ｌ（Ｓ。表示第ｎ辆车到达的时刻）。则％有相同的分布，其期望值为。选取“任意”特殊的就得到一
个随机变量，从直观上会认为它的期望值为，只要这种选择不需耍用到样本序列的知识。但这是不正确的。在本例中，我们选择一个变量使得。这里是同定的。这个选择是不考虑实际过程而做出的，但是这样选出的有两倍的期望值。由这一事实，本例的解二假设有期望等待时问。于是矛盾消失。这个悖论的解决引起了极人地震动，但是我们的思考方式经过适当的调整，它在直观上就变得明显了。粗略地说，长区间比短区间有较多的覆盖点的机会。
４小结
泊松过程除用来描述一定时间间隔内到达者的数量，计算等待的时间间隔外，还可以用来描述一定空间内发生的事件数，某一放射源放射的原子颗粒数等等。泊松过程的模型有如此Ｊ“泛的应用，主要原因有两个：第一，模型计算起来比较简单；第二，若关于事件的发生可以做出三条合理假设，那么对该模型就有一个很好数学证明．
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泊松分布与泊松流
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：
徐春芳
福建师范大学,数学与计算机科学学院,福建,福州,350007硅谷
SILICON VALLEY2010，
参考文献(6条)
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