第一讲 观察物体(三)(方阵问题)
【知识概述】
学生排队，行士兵列队，横着排叫做行，竖着排叫做列。如果行数与列数都相等，则正好排成一个正方形，这种图形叫做方队，也叫做方阵(也叫乘方问题) 。
核心公式:
1. 方阵总人数=最外层每边人数的平方(方阵问题的核心)
2. 方阵最外层每边人数=(方阵最外层总人数÷4) ＋1
3.方阵外一层每边人数比内一层每边人数多2
4.去掉一行、一列的总人数=去掉的每边人数×2－1
例题精学
例1 学校学生排成一个方阵，最外层的人数是60人，问这个方阵共有学生多少人?
【思路点拨】方阵问题的核心是求最外层每边人数。根据四周人数和每边人数的关系可以知道：每边人数=四周人数÷4＋1，可以求出方阵最外层每边人数，那么整个方阵队列的总人数就可以求了。
方阵最外层每边人数：60÷4＋1=16(人)
整个方阵共有学生人数：16×16=256(人)
同步精炼
1.某校五年级学生排成一个方阵，最外一层的人数为60人，问方阵外层每边有多少人？这个方阵共有五年级学生多少人？
2. 晶晶用围棋子摆成一个三层空心方阵，最外一层每边有围棋子14个，晶晶摆这个方阵共用围棋子多少个？
3. 一个正方形的队列横竖各减少一排共27人，求这个正方形队列原来有多少人?
例2 参加中学生运动会团体操比赛的运动员排成了一个正方形队列。如果要使这个正方形队列减少一行和一列，则要减少33人。问参加团体操表演的运动员原来有多少人？
【思路点拨】
如下图表示的是一个五行五列的正方形队列。从图中可以看出正方形的每行、每列人数相等。 最外层每边人数是5，去一行、一列则一共要去9人，因而我们可以得到如下公式: 去掉一行、一列的总人数=去掉的每边人数×2－1
解:方阵问题的核心是求最外层每边人数。
原题中去掉一行、一列的人数是33人，则去掉的一行(或一列) 人数=(33＋1) ÷2=17(人 方阵的总人数为最外层每边人数的平方，所以总人数为17×17=289(人) 。
同步精炼
1. 参加军训的学生进行队列表演，他们排成了一个七行七列的正方形队列，如果去掉一行一列，请问:要去掉多少名学生？还剩下多少名学生?
2. 参加军训的学生排成一个正方形队列，如果这个正方形队列减少一行一列，则要减少19人。问参加团体操表演的运动员原来有多少人？
3. 参加军训的学生排成一个8×8的正方形队列，如果去掉一行一列，还剩下多少名学生？ 例4 解放军战士排成一个每边12人的中空方阵，共四层，求总人数。
【思路点拨】解:这样想:把中空方阵的总人数看作中实方阵总人数减去空心方阵人数。
(1)中实方阵总人数:12×12=144(人)
(2)第四层每边人数:12－2×(4-1)=6(人)
(3)空心方阵人数:(6－2) ×(6－2)=16(人)
(4)中空方阵人数:144－16=128(人)
答:总人数是128人。
同步精炼
1. 游行队伍中，手持鲜花的少先队员在一辆彩车的四周围城每边三层的方阵。最外层每边10人，问彩车周围的少先队员共有多少人？
2. 解放军进行排队表演，组成一个外层有48人，内层有16人的多层中空方阵，这个方阵
有几层？一共有多少人？
例4 一个街心花园如图所示，它由四个大小相等的等边三角形组成，已知从每个小三角形的顶点开始，到下一个顶点均匀载有9棵花，问大三角形边上载有多少棵花？整个花园中共载多少棵花？
【思路点拨】①从已知条件中可以知道大三角形的左边是小三角形边上的2倍，又知道每个小三角形的边上均匀栽9棵，则大三角形边上载的棵树为:9×2－1=17(棵)
②又知道这个大三角形三个顶点上栽的一棵花是相邻的两条边上公有的，所以大三角形三条
边上共栽花(17－1) ×3=48(棵)
③再看图中画斜线的小三角形三个顶点正好在大三角形的边上，再计算大三角形栽花棵数时已经计算过一次，所以小三角形每条边上栽花棵数为:9－2=7(棵) ，中间小三角形三条边一共栽7×3=21(棵) ，整个花坛栽花48＋21=69(棵) 。
同步精练
1.同学们做早操，排成一个正方形的方阵，从前、后、左、右数，小明都是第5个，这个方阵共有多少人?
2. 同学们做早操，排成一个正方形的方阵，从前、后、左、右数，小明都是第8个，这个方阵共有多少人?
3. 同学们做早操，排成一个正方形的方阵，从前、后数，小明都是第8个，这个方阵共有多少人?
家庭作业
1. 小红用棋子摆成一个正方形实心方阵用棋子100枚，最外边的一层共多少枚棋子？
2. 学校开展联欢会，要在正方形操场四周插彩旗。四个角上都插一面，每边插7面。一共要准备多少面旗子？
3. 一队学生站成10行10列方阵，如果去掉2行2列，那么要减少多少人？
4. 小刚用若干枚棋子摆成一个中实方阵，最外层每边摆6枚，请问:要摆成这样一个中实方阵至少需要多少枚棋子？最外一层的棋子总数是多少？
5. 若干战士排成一个四层中空方阵，只知道最外边一层每边有16人，请你求出总人数。
6. 有若干盆鲜花摆成一个中空方阵，最外层共摆48盆，最内层共摆24盆，请问:共摆了多少盆鲜花？
7. 有一队士兵排成一个中实方阵，最外一层有100人，请问:方阵中一共有士兵多少人？
8. 有一个用圆片摆成的两层中空方阵，外层每边有16个圆片，如果把内层的圆片取出来，在外层再摆一层，变成一个新的中空方阵，应再增加多少圆片？
第二讲 因数与倍数(数的倍数特征)
【知识概述】整除是指整数a 除以整数b (0除外) 除得的商正好是整数而余数是零，我们就说a 能被b 整除(或说b 能整出a) ，记作b |a，读作＂b 整除a ＂或＂a 能被b 整除＂。它与除尽既有区别又有联系。除尽是指数a 除以数b (b≠0) 所得的商是整数或有限小数而余数是零时，我们就说a 能被b 除尽(或说b 能除尽a) 。因此整除与除尽的区别是，整除是指被除数、除数以及商都是整数，而余数是零。除尽并不限于整数范围内，被除数、除数以及商可以是整数，也可以是有限小数，只要余数是零就可以了。他们之间的联系就是整除是除尽的 特殊情况。
例题精学
例1 在□内填上适当的数字，满足:
⑴34□□能同时被2、3、4、5整除
⑵7□36能被24整除。
【思路点拨】⑴题目要求34□□能同时被2、3、4、5整除，因为能被4整除的数一定能被2整除，所以34□□只要能被3、4、5整除，就一定能被2、3、4、5整除。先考虑能被5整除的条件。个位是0或5，再考虑能被4整除的条件，由于4不能整除34□5，所以个位必须是0，最后考虑能被3整除的条件，34□0的各个数位上的和是3的倍数，3＋4＋□＋0=7＋□，这时十位数字只能是2或5或8，问题得以解决。
(2)题目要求7□36□能被24整除，24=3×8，而3与8互质，根据整除的性质，考虑被24整除，只要分别考虑被3、8整除就行了。先考虑被8整除的条件，7□36的末三位数所组成的数36□能被8整除，所以个位数字只能是0或8，当个位数字为0时，由于要求7□360能被3整除，所以7＋□＋3＋6＋0=16＋□能被3整除，这样千位数字只能是2或5或8；当个位数字为8时，由于要求7□368能被3整除，所以7＋□＋3＋6＋8=24＋□能被3整除，这样千位数字只能是0或3或6或9.