考研数学66条笔记
1、 对于不等式x n N ) 两边取极限时（以极限存在为前提），除不等号外还要带上
等号，即lim x n ≤lim y n 。
x →∞
x →∞
2、 对于任意数列{a n }，若满足a n −A ≤k a n −1−A (n =2,3....) 其中0
lim a n =A 。这一结论在求解递归数列的极限时是很有用的。
x →∞
3、 设g (x )在x =a 可导，ϕ(x ) 在x =a 连续而不可导，则g (x )
ϕ(x ) 在x =a 处
⎧不可导 若g (a ) ≠0
⎨
可导且导数为 若g '(a ) (a ) g (a ) 0ϕ=⎩
4、 证明
f '(x ) +P (x ) f (x ) −Q (x ) 在
(a , b )
存在零点，等价于证明
其中u (x ) 为(a , b )内任意恒正的函u (x ) [f '(x ) +P (x ) f (x ) −Q (x ) ]在(a , b )存在零点，
数。受求解一阶线性方程积分因子法的启示，取u (x ) =e ∫
P (x ) dx
，
F (x ) =e ∫
P (x ) dx
f (x ) −∫e ∫
P (x ) dx
Q (x ) dx
5、 曲率：K =
y '' x ' y '' −x '' y '
=
(x ' 2+y ' 2) 3/2(1+y ' 2) 3/2
∂z ∂r ∂z
=drdsdt ∂s ∂z ∂t
∂x ∂y ∂r ∂r ⎧x =F 1(r , s , t )
∂x ∂y ⎪
6、 参数方程的重积分换元⎨y =F 2(r , s , t ) dxdydz =
∂s ∂s ⎪z =F (r , s , t )
3⎩∂x ∂y
∂t ∂t
7、 若f (x ) 以T 为周期的周期函数，f (x ) 的全体原函数以T 为周期的充要条件是
∫
T
f (t ) dt =0
8、 若f (x ) 在区间I 上有第一类间断点，则f (x ) 在I 上不存在原函数；若f (x ) 在区间I
上有第二类间断点，不确定f (x ) 在I 上存不存在原函数。
∂2u ∂2u
9、 多元初等函数的偏导数仍是初等函数， =
∂x ∂y ∂y ∂x
10、 旋转面与柱面方程
命题1：设空间曲线Γ的曲线参数方程为x =ϕ(t ), y =ψ(t ), z =ω(t ) ，则Γ绕z 轴旋转
⎧x =θ⎪⎪一周的曲面方程为：⎨y =θ
⎪z =ω(t ) ⎪⎩
命题2：准线方程为Γ：⎨
⎧f (x , y ) =0
当母线的方向向量为s ={l , m , n }则柱面方程
⎩z =0
f (x −
l m
z , y −z ) =0 n n
⎧x =f (t )
⎪
命题3：若准线方程是Γ：⎨y =g (t ) , t ∈(α, β) ，母线的方向向量是s ={l , m , n }，柱
⎪z =h (t ) ⎩⎧x =f (t ) +lu ⎪
面方程是⎨y =g (t ) +mu
⎪z =h (t ) +nu ⎩
11、 12、
若X =aY +b ，则当a >0时ρXY =1；当a
设f (x ) 在(a , b )非负，∀[α, β]⊂(a , b ) ，f (x ) 在
x →a +0
[α, β]可积，又设
x =a (或x =b ) 是f (x ) 的瑕点，且lim (x −a ) p f (x ) =l (或lim (b −x ) p f (x ) =l ) 则
x →b −0
当p
14、 15、
16、 17、 18、
∫
b
a
f (x ) dx 收敛。
实对称的矩阵的属于不同特征值的特征值向量正交 正交的向量组必线性无关
知道三边长求面积用“海伦公式”S =
1
p =(a +b +c )
2
∂z
，潜台词就是说z =f (x , y , r ) 条件“z 与r 无关”=0
∂r
f (x , y ) =g (x , y ) 两边对x ，y 求偏导是相等的
有z =f (x , y ) 区域D xy 求极值（最值）用拉格朗日函数，求出λ若有两个，则分
别算出后求其极（最）值大小 19、
秩为1的矩阵可以化为两个向量的积A =αα，α为n 维列向量。并且A 的自乘
2
T
积A =aA ，a 为常数
20、 21、 22、
A 的行（列）向量相互垂直，且长度相同为a ，B =
1
A 为正交矩阵 a
(A −E )(A +E ) =(A +E )(A −E ) 满足交换律
ABx =0① Bx =0②由于②的解必是方程组①的解。因此，R （②的解向量）
≤R （①的解向量） 23、 求矩阵的n 次幂可化为对角阵（可化为对角阵的矩阵）来求：
A
24、 25、 26、
Λ⇒A n =P Λn P 1
矩阵A 的正负惯性指数不等于 时间A 、B 相互独立，A 、B 、、相互独立
在使用公式P {a
的 27、
1
是对称矩阵的特征向量相互正交，Q AQ =Λ已知Λ求A （已知A 的一个特征向
；先求出A 的另外的特征向量（利用正交条件），求出Q ，然后求出A 量）28、
⎛λ1
⎜
对角阵左乘A ，A =[α1α2L αn ],A Λ=A ⎜
⎜⎝
⎞
⎟=(λα, λα, L λα)
O n n 1122⎟
λn ⎟⎠
29、
30、
31、
对于连乘式的处理，可以将式子取对数，转换成和式进行分析 E(X+Y)=E(X)+E(Y) X、Y 不作独立要求
E(XY)=E(X)E(Y) X、Y 必须独立 Cov （X ，Y ）=0 ①矩阵A 满足f （A ）=0，矩阵A 的特征值由f (λ) =0确定
具体特征值是否有？有几个同λ=λ只是确定了λ的取值范围，
②f (λ) =0解出来的
样的特征值？还需要增加题目条件 32、
矩
阵
A m ×n
，对于
A A
T
的特征值为非负：
T T T T
(Ax ) Ax ≥0⇒x A Ax ⇒A A 正定或半正定，λ≥0
33、 A 对应的线性无关特征向量的个数≤特征值的重数
最大似然估计值不一定要求似然函数的导数为零，有可能似然函数是恒增或者是恒34、
减的，那么根据定义域的范围来求解最大似然估计值
初等矩阵均是可逆的，并且有这样的表示方法（要会写出初等矩阵的表示）：35、
E ij 1=E ij , E i
1
⎞1
(k )=E ⎛⎜⎟, E ij (k )=E (−k )
1
⎝⎠
36、
两个极限反常积分审敛法：①反常积分
∫
+∞
a
1
当p>1时收敛，当p ≤1(a >0) x
时发散②反常积分
1
∫a (x a ) 当0
b
37、 38、
ρXY =1的充分必要条件是存在常数a 、b 使P {Y =aX +b }=1
证明一元函数f （x ）的极限不存在的一种方法：
n →∞
若∃x n →x 0, x n ≠x 0,lim f (x n ) 不存在或∃x n →x 0, x n ≠x 0, y n →x 0, y n ≠x 0使得
lim f (x n ) ≠lim f (y n ) ，则lim f (x ) 不存在
n →∞
n →∞
x →x 0
39、
对于任意数列{a n }，若满足a n
A ≤k a n 1−A 其中0
n →+∞
（求解递归数列的极限，数列不是单调的，先求A ，后证明存在） 40、
设a n +1=f (a n )(n =1、2、3L ), a n ∈区间I ，若f （x ）在区间I 单调上升，并且
a 2>a 1(a 1>a 2) ，则{a n }单调上升（单调递减）；若f （x ）在区间I 单调递减，则{a n }
不具有单调性（对于递归系列的复杂的数列，可以从递归函数入手，PS ：先说明有界） 41、
相等 42、 43、
（x ）在x =x 0处的导数二阶导数连续”“f （x ）在x =x 0邻域二阶可导”换句话“f 一般的，设f （x ）在[a,b]连续，在（a,b ）n 阶可导，f (x ) 在（a,b ）无零点，则f
n
证明两条曲线在某一点相切M (x 0, y 0) ，先求交点，后求交点的导数相等/方向向量
（x ）在（a ，b ）至多有n 个不同的根
44、 用泰勒公式的证明，关键在于选取展开点，一般来说已知条件给的点作为展开点，若已知条件给出f(x)，f’(x)的特征，可选在x 处展开
“某点二阶可导”说明二阶导数在其邻域内是连续的；“在某点存在二阶注意用词：45、
导数”说明在该店处是可导的，但是在其邻域内不一定可导
46、 周期函数的导数依然是以T 为周期的周期函数，而周期函数的原函数可就不一定
是周期函数。只有当
∫
T
f (t ) dt =0时，f （x ）的全体原函数为周期为T 的周期函数
求取不定积分原函数的时候有一种方法，叫做“分项积分”一般应用在同种类型的47、
函数结构构成的分式中（裂项公式） 48、
两个矩阵相似可以推出A 1, A 2的特征值相同，两矩阵的特征值相同不能推出相似；
A 1, A 2特征值相等并且R (λE −A 1) =R (λE −A 2) 可以得出结论“A 1, A 2相似”
求x →+∞时的极限，通常以“抓大头”的办法，所谓“抓大头”就是取分子、分母中趋于+∞最快的项（指数式>幂式>对数式） 50、 “任意”一般来说范围很广，可以向要处理的式中带入特定的看清题目中的用字：
的值或表达式，向目标推导 49、
51、关于倒代换，设m 、n 分别为被积函数分子、分母关于（x ±a ）的最高次数，当n-m
≥1时，用到代换可能成功（设x ±a=1/t）52、
D (X +2Y ) =0⇒X +2Y =c (常数) ⇒X =−2Y +c , ρXY =−1
53、
F X (x ) 为分布函数，考察x =a 点是否连续：P {X ≤a }−P {X
+∞
否则不连续 54、Γ(r ) =
∫
x r 1e x dx (r >0) 是参数r 的函数，称为Γ函数，Γ函数的一个重要性
，特别的Γ(n +1) =n ! 质为Γ(r +1) =r Γ(−r ) −
55、
i j
D (X ) =D (∑X i ) ⎯⎯⎯⎯⎯→∑D (X i )
X 与X 相互独立
i i
i j
D Cov (X i , X j ) →∑D (X i ) +2∑∑ (X ) =D (∑X i ) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
X 与X 不相互独立
i i i
56、
f (x 1, x 2, x 3) =5x 12+5x 22+3x 32−2x 1x 2+6x 1x 3−6x 2x 3则f (x 1, x 2, x 3) =1表示
22
f x x x f y y (, , ) 1=+=1，f 表示椭圆49=对角化，可以得到何种二次曲面？将23123
柱面
正交变换不改变向量长度57、
矩阵A 正定的必要条件a >0(i =1, 2,3L n ), A >0，合同变换不改变矩阵的特
ii
征值 旋转曲面围成的平面的方向为右手螺旋定则所规定的59、58、60、
已知y =y (x ) 的曲线，与x 轴围成图形的型心x , y
b a
∫=
=
dx ∫
y (x )
xdy
∫
b
∫=
b
a
y (x ) xdx
a
ydx
y (x )
∫
a
ydx
a
1b 2
dx ydy ∫a y dx 02=
b b
ydx ydx ∫∫
a
a
61、
对于F (x , y , z ) =0的隐函数的形式dS =
|F y ' |
dxdy 可以使得计算
得到化简
62、63、 64、 65、
f (x , y ) 在公共点M 0处的法向量为(f x ', f y ') |M 0=grandf (x , y ) |M 0
(kA ) *=k n 1A *;(A *) *=|A |n
2
A ;|A *|=|A|n 1
T
−R (AB ) =R (B ) −−(A ) （2012年数学一考过），R (A A ) =R 若A 列满秩
1⎧q >1，收敛
∑⎨q
n n ln n =2⎩q ≤1，发散
∞
66、
{X +Y ≤2x }⊂{X ≤x }∪{Y ≤x }