摘要：主成分分析是一种降维的分析方法，其基本思想是，通过较少的变量来代替原来较多的变量，而这种代替可以反映原来多变量的大部分信息，因此主成分分析实际是一种降维的分析方法。本文利用主成分分析确定股票池的主成分变量，以此建立套利策略，实证表明该策略效果良好。
关键词：主成分分析；统计套利
中图分类号：C81 文献标识码：A 文章编号：1001-828X（2013）10-0-01
一、主成分分析的思路和推导
对原始变量线性组合成不相关的综合变量，根据实际需要取几个较少综合变量以反映原始变量信息，这种分析方法称为主成分分析，综合变量称为主成分。以方差反映主成分包含原始变量信息量的大小，以协方差表示主成分之间的相关性，则主成分的推导过程如下：
设有样本n个，样本观测指标p个，则原始数据资料矩阵为。作线性组合，其中系数要求满足以下约束条件：
求解以上方程组得出的即为原始变量的主成分。通常根据累计贡献率大小取提前几个进行分析，在保留大部分信息的同时减少变量个数，便于对实际问题的研究。
在应用时，样本指标量纲常常不一致，求解主成分前需要对样本进行标准化处理。
二、基于主成分分析的统计套利策略实证分析
1.主成分套利的基本思路
本文的创新之处是，利用原始股价信息提取主成分，将成分股股价表示为主成分的线性函数，利用股价对主成分的偏离和修复进行套利。本质上，主成分套利是配对套利的推广，将个股之间的均衡关系推广至个股和股票组合的均衡关系，因此交易标的是某只股票与一组股票：在做多个股的同时做空股票组合进行对冲，反之亦然，股票组合中，个股具体比例由主成分系数确定。
具体来说，先将成分股的股价矩阵标准化处理，标准化后的矩阵记为，在求出股价的相关系数矩阵，计算的特征根和对应特征向量，则根据主成分分析的原理可知。由于前K个主成分已经充分反映了股票池整体的波动性，因此考虑个股和前K个主成分之间的相关关系，检验是否存在协整关系；若存在，则建立误差修正模型以确定套利对冲比例，根据两者价差偏离程度产生交易信号，在样本外进行套利。下文将按此思路进行分析。
2.样本的选取
本文数据源自万德数据库。定义样本内数据为2010.3.31-2012.4.30每日收盘价（前复权），用于建立模型；样本外为2012.5.1-2013.10.15，用于测试该模型交易情况。目前融资融券标的700余只，数目较大不利于分析。同一行业股票受到相同系统性风险影响，价格趋势相关性较高，根据申万一级行业分类考察融资融券股票的行业分布和市值占比情况，发现属于金融服务业股票共41只，累计总市值占700只股票的35.67%，规模普遍较大，流动性较好，冲击成本较低；利用2011年年报的市盈率、市净率等重要的基本面因子对该41只个股进行聚类分析，聚类结果表明华泰证券和长江证券等8只券商个股基本面因子高度相似。因此本文对该8只股票进行主成分分析。
记华泰证券、长江证券、招商证券、国金证券、光大证券、西南证券、海通证券和宏源证券分别为，对应标准化变量记为 。计算样本内8只股票收盘价的主成分发现，第一主成分方差贡献率高达90.49，说明该第一主成分已经包含了股票池内全部股票价格具有的信息，其余主成分方差贡献率总和少于10%，包含信息较少可以忽略。根据最大特征值对应的特征向量，可知第一主成分表达式为：
。
计算第一主成分与8只股票的相关系数，发现与华泰证券相关性高达0.97，因此利用两者进行套利。
3.交易策略的确定
根据样本内数据建立华泰证券和第一主成分的误差修正模型确定对冲比例。根据该对冲比例，发现样本内价差均值为7.33，标准差0.63。国外学者研究发现，针对中心化价差序列，以2倍标准差为开仓点，3倍标准差为止损点，1倍标准差为止盈点的套利策略效果较好。参照该设定，下文测试样本外的套利策略收益，交易成本参照目前券商最低标准。
4.交易结果分析
经计算，基于主成分分析的统计套利策略样本外日收益标准差为0.73，年化收益8.11%，交易次数13次，与沪深300指数相关性为-0.25。可以看出：首先，由于平均持仓时间较短，套利策略日收益率波动性约为同期大盘指数的一半，收益稳定性较好；其次，套利策略收益与沪深300指数相关性较低，表明套利策略收益与大盘基本无关；最后，套利策略年化收益为8.11%。总体上，主成分套利策略效果良好。
参考文献：
[1]王云平.基于协整的统计套利策略实证研究[J].辽宁师专学报，2011，13（4）.