让 改 变 发 生
——探讨预学下的小学数学探究性学习
主持人：
各位老师，大家下午好！下面是“胡静名师工作坊”的沙龙活动。本次沙龙的主题是“让改变发生—探讨预学下的小学数学探究性学习”。
为什么要探讨“预学”下的小学数学探究性学习
我们先来看2个人：
1、贲友林：南京师大附小教师，著名特级教师。近十年孜孜追求“以学为中心”，撰有《此岸与彼岸》《现场与背后》等著作。
2、卲汉民：杭州市萧山区的一位老师，一位执著的行者。长达五年的时间里，他带领团队默默而勤恳地实践研究着“预学后教”。让这个词汇因他们的实际行动而获得了真实生动的骨骼血脉！
我们先来看一个背景：
事实上，当前的教育界，无论是教育教学理论还是教育教学结构或方式都异彩纷呈。但无论哪一种教学流派，都赞同“以学生的学习为中心”这一核心内容，也就是“以学定教”。在此背景下，我区提出了《“三环五步”高效课堂教学模式实践的研究》。
五步之中，预学为首、探究为重。
预学下的探究性学习有哪些基本流程
主持人：
看到这里，可能大家会觉得：从传统的以教为中心的课堂，走向新的以学为中心的课堂，这些理念铺天盖地的袭来，我都早已经知道了！是的，我们都知道，
但我们是否都改变了？那毕竟是别人的东西。于我们而言，在课堂中进行这样的实践，可以说还是“摸着石头过河”。在实践教学时，预学下的探究性学习时，有哪些基本策略或者说基本教学流程？下面把时间留给参与实践的工作坊老师们，请他们从不同课型来为我们做介绍、分析。
新授概念课型怎样进行预学下的探究性学习？
汪韧兰：（略）
杨芬：
关于新授概念课型的“预学下的探究性学习”，我想结合《平行四边形的面积》一课来谈一谈。这节课是非常有探究意义的一节课。我的设计思想就是“允许犯错，错中寻对”。我设计的模式就是“预学探究→展示质疑→重点探究→整理总结”
1、关于预学探究：我反复思考的是如何为探究性学习做好铺垫？如何激起学生的思维火花？因为本节课的知识本身很适合探究学习，而五年级学生的自学探究能力也已经初步具备了，所以，我就将预学和探究都融合在课前预学单中。
（1）课前做了个调查。为了杜绝教材中已有结论影响学生的自由思考，在新课教学前一天，做了个调查，全班48位同学只有7人认为平行四边形的面积=邻边×邻边，有41人认为平行四边形的面积=底×高。
（2）预学单的设计：（出示）
2、关于探究展示：
让学生带着自己的预学探究的结果进行汇报交流，提出相同或不同的看法。这样一个过程其实也是一个再探究的过程。我们来看这几份预学单，这是几份验证“平行四边形的面积=邻边×邻边”的预学单。
（1）其中一位同学选择了透明方格纸和2号平行四边形，通过方格纸量出这个平行四边形的面积是18cm ²，而用邻边乘邻边就是6×5=30cm²了，所以，这个结论不正确！
（2）这位同学选择1号和2号平行四边形，他将这两个平行四边形底边重叠，很明显比较出1号面积大，而用邻边乘邻边的话，这两个平行四边形的面积都是30cm ²。
（3）还有这位同学选择的是平行四边形的框架，发现沿着框架对角拉，拉的幅度越大，面积就越小，而这个框架的四条边长没有发生变化，所以，推断出这一结论不成立。他不仅
验证了这一结论是不正确的，同时，他还有了自己的新发现，他通过对角拉，发现平行四边形的面积不断减少，同时它的高也在不断变短，所以他认为平行四边形的面积可能与高有关。
（4）再看这位同学：他准备验证“平行四边形的面积=底×高”，他选择了方格纸和1号平行四边形，先数格子，得出1号平行四边形的面积是24cm ²，同时又发现这个平行四边形的底是6cm ，高是4cm ，而底乘高正好是24cm ²，所以认为平行四边形的面积是底乘高。在肯定他敢于猜想的基础上，我又故意激疑：真是这样吗？老师这有两个平行四边形，你再用同样的方法验证一下。这个学生很轻松的将其中一个小的平行四边形的面积计算了出来，但对于另一个很大的平行四边形，他就没办法通过数方格的方法了。那怎么办呢？从而激起学生新一轮的探究：将平行四边形通过剪拼转化成长方形，转入这节课的探究活动的重点，体会“转化”的数学思想方法。
在进行课堂中的新一轮预学探究时，重点辨析：在剪拼平行四边形时，有一部分学生剪拼失败，拼不出长方形，这是为什么？通过比较平行四边形与长方形的相同和不同，促使学生悟出“要沿平行四边形的高剪开，才能转化成长方形”这样才让学生既能想到要去转化，又能找到转化的方法，达到新课的学习目的。
我认为，对于五、六年级的一些概念课，完全可以采用这样的课前整体预学探究的方式，让学生经历真实的、原始的、完整的思考过程。而课中，就可以有针对的进行辨析、进行重点学习内容的再探究，这样更符合学习规律，更有效率。
新授计算课型怎样进行预学下的探究性学习
孔维娜：汪老师和杨老师为我们介绍了概念课如何进行预学下的探究性学习。我的研究视角是计算课。计算在小学数学学习中占有举足轻重的作用，如果没有学扎实可谓牵一发而动全身，所以我格外重视这一块的教学。我一直认为计算不应是一种格式化的套路教学，不应该只是一种强化训练下的产物，不能只是“枯燥”的代名词，它应该有自己的意义与魅力。
本学期我教授三年级（下），这学期计算的内容也比较多，如已经结束的第一单元“除法”（两、三位数除以一位数的竖式及运用）和第三单元“乘法”（两位数乘整十数的口算，两位数乘两位数的口算及竖式）。在几次新授计算课上，我尝试了让学生在预学下自主探究性学习，让学生更多地参与思考与总结，实践证实这样更有利于知识、技能的自主形成。下面就结合“乘法”第一课时“找规律”一课谈谈我是怎样引导学生在预学下进行探究性学习的。
这一课是第三单元“乘法”的第一课时，主要教学整十数的口算乘法，因为我带两个班，
为了对比效果，其中一个班的学生们前一天拿到下面预学单（出示）
第二天汇报交流的时候，我发现孩子们完成的都非常好，很认真，孩子们迫不及待地展示自己的成果，几乎所有孩子都能参与，在不断地探究中，较好地完善并掌握了口算方法。
我们来看看几张学生完成的预学单：
（1）（出示李思贝儿的预学单1）这位同学从下往上看，发现积的变化规律，于是我让学生进一步说说，为什么会有这样的变化呢？学生很快发现“因为乘数发生变化了”
（2）（我马上出示林睿涵同学的预学单2）对于“我发现积当中的0的个数是两个乘数中0的个数的总和”，同学们思考一下，有什么不妥的吗？一个学生站起来指出“不是当中的0，应该是末尾的0”我马上予以肯定“你观察的真仔细，末尾有一个0的数也叫？“整十数”通过探究并验证“积末尾的0的个数是两个乘数末尾0的个数的总和”这一发现。
（3）（出示预学单3）这名学生汇报“我发现两个乘数末尾共有几个零，那么积的末尾至少有几个零”我抓住“至少”一词，让她说一说想法，没有想到这孩子说她在后面的练习中发现有些不是整十数的乘法积的末尾也有0，比如15×4。说到这里，同学们自发的给她鼓起掌。我也就势提醒大家今后可要多注意，真是个了不起的发现！
（4）（再看预学单4）因为不管同学们之前的总结是否完整，经过不断地探究思考过程，此时同学们肯定对之前的总结有所调整，内心已对口算方法有了定义，所以我请了这个之前总结还不错的孩子展示，“现计算末尾零前面数字的乘法，然后再所得的积后面添上被省略的零。”然后又请了一些孩子口头总结，基本都能较完整的表述。
与此同时，当天另外一个班没有预学，虽然大部分孩子也能正确写出得数，但是参与度明显低很多，结论只是由老师与30%的学生完成，有一部分孩子仅仅是被动接受、机械完成，这样的经验较脆弱浅显。预学对于孩子们来说既新颖，又有挑战性和趣味性，所以合适的课型还是应该多尝试“预学”，既能让孩子们主动快乐地学习，又能高效地完成教学。 董昌芸：我也说说计算课。我走上讲台才两年，非常幸运能参加到工作坊的学习中来。我的研究主题是计算课。这学期我有意识地在计算课中，引导学生进行预学下的探究性学习，设计模式主要是：“独立计算→交流算法→回顾总结→当堂检测”。下面我就以数学二年级下册，第一单元除法的第一课时《分苹果》为例来说一说。
我在教学《分苹果》时，分两次组织学生进行课中预学、探究交流。
第一次初步预学探究为：
在预学单的开始，创设家里来客人了，帮助妈妈分苹果这一情境，让学生动手操作，列式计算，充分的打开学生的思维，让他们自由思考。然后在学生初步预学后，交流汇报不同想法：
学生一:用连加的方法：6个6个地数，6+6+6=18，所以可以放3盘。
学生二：用连减的方法：18个苹果，6个618-6-6-6=0，减3次就分完了，所以可以放3盘，我可以在数线上表示出来。
学生三：我用乘法口诀：（三）六十八，可以放3盘。
学生四：我用除法来做，通过预学使用除法竖式计算出来，可以放3盘。
在此基础上，针对本节课的教学目标和重难点，我又抛出第二次深度预学探究的问题。
在充分预学之后，选取有代表性的预学作业，如：
针对这一点，让学生明确，他没有把竖式各部分的含义与分苹果过程联系起来。 再出示这样的： 18表示一共有18个苹果要分，6表示每盘放6个苹果，3表示分成3盘，0表示最终分完了，没有剩余。
然后让学生再次分苹果，感受与算式的联系，在此基础上，我再进行板书，再次引导学生正确认识竖式的各部分含义。
在我的记忆中，以前，计算课的教学一般是教师讲解规则、学生模仿学习。现在呢，通过预学，放开学生思路，教师比较真实及时地了解学生的学习基础与学习能力，使得课堂教学更有针对性与有效性。
实践活动课怎样进行预学下的探究？
耿报春：参加“预学下的小学数学探究性学习”的研究以来，我主要承担“综合与实践”这一学习领域。这一领域，活动性强，并且需要一定的活动周期，很适合孩子们进行“预学”下的探究性学习。在这一领域的教学中，我一般尝试给学生一段较长时间，利用课余时间合作完成相应的“数学作品”，课堂教学成为学生展示“数学作品”的场地。基本教学流程是“明确任务→预学探究→成果初评→成果优化→成果评价”下面我结合《设计秋游方案》一课来具体谈一谈。
一、明确任务
1、布置任务
我们班有一个班级qq 群，在执教这节课前一周我就把自己设计的学习单上传到群里，学生自己下载，明确自己的任务是什么。（出示课件1）
2、合理分工
对于这次的课前研究，我们班有些学生选择不与小组同学合作，自己独立完成一份出游方案。有些同学选择与人合作，对于选择合作的同学，我提醒他们一定要注意合理分工，保证每个人都有任务。
二、预学探究
让学生合作（当然，也允许独立完成的）通过三四天的时间，利用网络平台完成自己的设计方案，（出示课件2）。
三、成果初评
让学生在组内互相讨论，整理、合并秋游方案，选出一种作为小组代表性作品，准备在全班交流汇报。当然我也会对学生的设计方案进行初步浏览，并且也会提一些建议，例如这是当时潘艺霖同学的第一份方案，（出示课件3）我就告诉她，写的太简单了，不够详细，交通费60元，是做什么车子呢？她听了建议后，又进行了修改。（出示课件4）
四、成果优化
1、每小组选派代表上台交流自己组的秋游方案，其他学生思考，讨论：该组的设计方案花费是否较少，时间安排是否合理等等。当时，讨论董瑞阳那一小组的方案时， 大家都认为比较详细、数据很多，但是美中不足的是：费用有点不合实际，彩虹瀑布成人门票旺季是110元，每年的11月份到2月份是淡季，门票是90元，儿童票半价。这时候，我就引导学生立刻通过查阅资料，对方案进行了修改。
2、回顾总结
组织学生讨论在设计方案的过程中，都用到了哪些数学知识和方法？在调查，收集数据的过程中，用到了哪些收集数据的方法？
五、成果评价
组织学生评选“最受欢迎的旅游计划”，大家一致推选董瑞阳那组的秋游计划当选，因为学校里不组织秋游，所以我把这份计划发给家长，鼓励家长带着孩子利用周末去实施这份出游方案。
总之，“预学”后进行探究性学习，给予了学生充分的自主学习时间，提供了多样的交
流平台，悄然改变着教师教的方式和学生学的方式。
杨柯：我的研究主题也是实践活动课，我认为“数学好玩”这样的实践活动课，教学目的不是指向最后的某一条或几条结论，而是要让学生面对真实的问题去做，强调学生的真实体验和经历。我在实践中往往采取课前预学初探究，课中交流再探究的方式，从课前到课上，教师和学生一起经历真实的数学研究过程，学生在老师的引导下完成相应的实践操作，初步形成结论，课堂上老师针对学生在预学阶段暴露出的问题，进行点拨、引导和矫正。可以说，“预学探究”让综合实践课变的既好玩，又有数学味。下面，我以“包装中的学问”教学为例来介绍一下主要教学流程：
1、预学
①首先是设计预学单：“预学”，并不是简单地要求学生回家读一读、看一看课本就了事，而是老师在研读教材后，设计出符合学生年龄特征和知识特点的预学单指导学生学习。如教学“包装中的学问”时，我设计了这样的预学单，在上课前几天让学生去完成。如下：
“包装中的学问”预学单
同学们，前面我们已经认识了长方体和正方体，学习了计算长方体和正方体的表面积，今天，我们将用这些知识解决一些生活中的实际问题。
操作一：将两盒磁带包装成一包，可以怎样包？有几种不同的方案？(先动手拼一拼，再画出示意图)
思考一：想一想，怎样包才能节约包装纸呢？用自己喜欢的方式表示自己的思路。 (接口处不计，单位：cm)
操作二：将四盒磁带包装成一包，可以怎样包？有能想出几种不同的方案？(先动手拼一拼，再画出示意图)
思考二：选择一种你喜欢的包装方式，并用自己喜欢的方式算一算所需包装纸的大小。（接口处不讲，单位：cm ）
②然后是查阅预习单，分析掌握学情，做到心中有数。这是有效教学的起点，也是预学的重要目的。
2、交流
大家可以看到，我的这份预学单内容很充实，这主要是考虑到课型和学生年龄，五年级学生是应该给他们空间去摸爬滚打的。那么，在充分预学的基础上，我在课堂上干什么呢？我主要充当组织者和引导者，组织学生交流辨析，引导他们整理归纳。
请看，这是对操作一的交流。（图示省略）
这是对思考一的交流。（图示省略）
在充分交流后，我引导学生把众多方法归纳为两种：
1、直接将两个相同的长方体拼合成一个完整的长方体，再利用新长方体的长宽高计算出表面积，然后进行比较哪种包装纸最少。用这种方法的约占全班的54%；
2、一个长方体的面积算出来乘2，得到两个独立的长方体的表面积，将这两个表面积的和减去拼合面的面积，就得到包装纸的大小。用这种方式表示自己思路的约占全班的24%。
由于探究的过程课前预学，学生们都有实实在在的实践经历，课堂反馈积极性高，效果好，有共鸣。
这是对操作二的交流：（图示省略）
在个体零散交流中，发现不少学生出现了重复和遗漏的问题，随着反馈的方法多，而重复也多的情况, 我抛出疑问激发学生再度探究：怎样分类整理，才不重复不遗漏呢？
四盒一字排开的包装，分三种情况：
四盒分两层来包装的也分三种情况：
这是对思考二的交流：（图示省略）
老师提出如果要使包装纸尽量的少，你会先排除哪些方案？为什么？
学生的参与度特别的高，最先排除的大多会说(2)(3)(6)，因为这些面都是把较小的面拼合在一起，而将较大的面露在了外面。从而让表面积就更大。然后是(4)和(5)比，拼合的面中比较大的面相同，图(4)比图(5)中间拼合的面小，所以排除图(4)。最后图(5)和图(1)比，图(5)中间面的长是10cm ，宽是2cm 。而图(1)拼合的面都是长10cm, 宽是5cm 。所以图
(1)的表面积是最小的。
在实践活动课中采用预学下的探究性学习模式，能让每个学生都经历课前思考探究的过程；课中交流再探究的过程。学生带着预学中的收获和困惑，在课堂上寻找欢乐和答案。
问题解决课的预学探究性学习 陈彬：就“问题解决”这类课型如何进行预学下的探究性学习呢？我个人认为可以课前预学，但不要过度预习。预习太“过度”，孩子只好向课外要时间；预习要“精彩”，孩子只好向各路资料求“答案”。那么，怎样才能找到一个合适的“度”呢？
在“问题解决”课中，对于预学，我一般会依据学习新知识的起点，让学生在做预学练习的同时，比较新知与旧知的区别，并做上标记。
例如：在教学《求比另一个数多（少）几分之几的数是多少》一课之前，我设计了这样的预学单：
预 学 单
1、老师在2010年购买了一套房子，由于近几年房价的趋势猛涨，老师现在住的这套房子价格是70万元，当时购买的价格是现价的5/7 ，你知道老师的这套房子原价是多少钱吗？（要求写出解题过程）
仔细观察下面这道题，和上面的题目有什么区别？
2、在2010年老师花了50万元购买了一套房子，由于近几年房价的趋势猛涨，现在老师的这套房子价格比原价增加了2/5 ，那现在老师的这套房子值多少钱？
这样的预学，首先能巩固旧的知识，即“知道一个数的几分之几是多少，求这个数。”其次能了解到生活中还有更复杂的分数问题需要解决。其三能让学生初步感知新问题与旧问题的联系与区别。
有了这样的预学奠基，在课堂中，我的侧重点就可以放在2个方面的探究上：
1、针对预学中的比较，让学生独立思考新问题如何解决，再小组交流，汇报总结。
2、进行题型的变化拓展，感受解决问题的灵活性。在计算出现价是多少元以后，我就可以问学生：刚才咱们算出现价是多少万元？短短几年时间就涨了20万元，快不快？还有更快的呢！前段时间我在网上看到这样一则新闻，说深圳一处楼盘一夜之间房价就下跌了3/10，有些人一夜之间就亏损了30——40万元，照这个趋势来看，老师的这套房子会不会明年房价比现在要下降2/5呢？如果真的是这样，那到了明年这套房子值多少钱呢？让学生按照刚才的解题思路和步骤先画图, 再找数量关系，列式，计算。
引导过程中我还故意设疑：刚才不是增加2/5，现在降低2/5，不是没增没减吗？怎么现在只有42万元呢？那8万元哪去了？等等。
在“学为中心”的教学理念引领下，教师的预学设计要能联系实际、创设情境；要能关注学生原有经验、让学生跳一跳能摘到果子；这样的预学才适度。课堂中的探究才既有基础，又有挑战性，从而让“解决问题”的教学走向“活”与“实”。
预学下的探究性学习与传统的探究性学习有何不同
主持人：
谢谢几位老师的分享。由几位老师的介绍，我们可以大致了解到小学数学各种课型是如何进行预学下的探究性学习的。
如新授概念课：“预学探究→展示质疑→重点探究→整理总结”
如新授计算课：“独立计算→交流算法→回顾总结→当堂检测”
如实践活动课：“明确任务→预学探究→成果初评→成果优化→成果评价” 等等。
虽然各有不同侧重，但这其中还是不乏一些共同点的，最重要的就是他们都秉持了共同的“以预学促探究”的理念及目的。
我想，在老师们的实践摸索中，应该还有很多的思考，但最首要最必须的思考就是：预学下的探究性学习与传统的探究性学习有什么不一样了？请大家来谈一谈。
杨芬：关于这一点，我想用跳高来打比方。传统的探究性学习就是没有助跑的跳高，预学下探究性学习就是有助跑的跳高，这样的助跑是非常必要非常有用的。学生课外预学，节奏全由自己掌握，有更充裕的时间思考理解，自学过程中遇到困难、疑惑可以记录在“预学单”中，拿到课堂上进行交流、讨论。这样就
保证每个同学是带着自己的理解和问题进入课堂的，这样他参与课堂的目的性强了，参与积极性也高了。
杨柯：预学下的探究性学习，我觉得是一种实实在在的探究。就说我研究的实践活动课方面吧，传统的探究性学习，小组合作，学习能力强的孩子在小组中占有绝对的优势，他们总会迫不急待的说出自己探究的结论，小组汇集的结论往往只是他们的见解。学习能力弱的孩子往往没有时间去独立思考，尝试探究，他们的原生态错误思维往往都来不及暴露，教师无法对症下药，而且长此以往，他们的思维能力只会越来越弱。现在在预学下进行探究性学习，正如杨老师说的，每个孩子都是带着自己的理解和问题进入课堂的。对一个数学问题，每个孩子都经历了自己的猜想、实践、思考等一系列的过程，也许有的能力弱的孩子并未得到正确的结论，但这些过程已经是他们最大的收获了，长期经过这样的锻炼，他们的思维能力才能得到提高。这才符合教改的中心理念：让不同的孩子获得不同的发展。
陈彬：的确，从心理学角度来看，我觉得预学可以使学生学习新知识处于有准备的心理状态，这样课堂学习更有针对性。教师通过批阅学生的预学单，也使得教学更有针对性。另外，我还想补充说一点。我认为预学本身就是学生的一种独立的探索活动，你看，像刚才杨老师、耿老师介绍的案例中的预学就是这样。在预学时学生会努力搜集已有知识和经验来理解、分析新知识，这个过程正是学生自主探究问题、分析问题、解决问题的过程，久而久之，学生形成预学习惯，学生的各种能力如探究能力、创新能力、自主学习的能力都会会逐步提高。可以说预学探究，就是给学生提供了一个自主成长的舞台。
耿报春：参加这一课题研究以来，我经常在班上进行教学的改变和实验。这
种全新的教学模式，改变着教学流程，改变着我对教学的认识和我的思维方式，改变着学生的学习方式。我觉得，这一模式是有其理论根据的。现代建构主义理论认为，学习并不是由教师或其他人传授的，而是本人主动根据已有的经验与认知结构而主动建构的过程。学生预学就是在促使学生主动建构知识，尽管建构中有错误、有曲折，但都是一种个体积极活动的表现，是有其价值的。
孔维娜：我很同意耿老师所说的种种改变。我觉得事实上，进行预学下的探究性学习，首先改变的就是老师。老师的备课从备教材变为备教材和备学生了，要查看学生的预学情况，快速诊断不同的学习情况。老师的上课从讲知识变为引导探究了，经过预学，教师理解了学生，才能帮助学生在课堂上将模糊、疑难、矛盾的情境转化为清晰、确定、和谐的情境，真正做到教师有备而教。
开展预学下的探究性学习要注意些什么
主持人：
正如老师们所言，预学下的探究性学习改变了学生、改变了教师、改变了教学流程、改变了课堂状态。但“差之毫厘、失之千里”，要想得到好的改变，必须坚持正确的方式。在开展预学下的探究性学习时，应该注意些什么？老师们是不是要总结一下自己的经验？
陈彬：我认为预学要对探究性学习发挥作用，一来要遵循不过度的原则，不要把所有内容都在课前预学完了，这样做容易被诟病的理由是：原本的课堂时间被部分转移到课前，时间的延伸增加了学生的负担。二来要遵循重探究过程的原则，不要就设计几道练习像完成作业一样，要精心设计问题，促使学生能去主动思考探究，展露思维过程。
汪韧兰：以我的实践经验和这次磨课的经历来看，我觉得预学下的探究性学
习要注意2点。1是预学与情境的融合。数学问题还是在情境中提出，更有趣味，更体现数学与生活的联系。不然感觉每节课都是千篇一律的看预学单。2是课前预学探究后，还要注重课内再探究的环节。预学探究是一种初步感知，课内再探究是解惑、归纳、提升的过程，这样探究性学习才能由浅入深。
杨柯：我觉得我们倡导的预学，是一个慢慢的养成的过程，低年级段需要家长和老师在理念上达成一致，共同配合，指导孩子预学，给予孩子一定的帮助。到了中高年级，再逐步放手，最终促使学生养成独立预学探究的意识和能力。
耿报春：杨老师说“预学是一个慢慢养成的过程”，我深有同感。“预学”并非一日之功，而且学生中也存在差异，比如说：在班级中，由于家庭教育，孩子个性的差异，有一些学生对于学习非常积极主动，好学，乐学，爱学，对于老师布置的“预学”作业，他们非常积极主动的去完成，乐于在小组交流中展示自己。也还有一部分同学，作业不能按时完成，上课不认真听讲，需要人盯着他。这部分同学虽然是少数，可是对于“预学”作业，他们都是报着糊的态度。关于预学的差异，我是深有同感。怎么面对这些差异，不同能力及情感的学生，其先学的广度、深度及自觉性不同，我们应该如何考虑？还真的需要我们进一步地去研究。 董昌芸：我觉得学生预学的知识是零散的，个性化的，老师带领学生交流后，最好还要有引导学生进行自我评估和回顾总结的环节，这样才能构建起知识框架，感受数学本身的系统性。
主持人：
是的。摸着石头过河的过程中，会发生什么？麻烦？惊喜？困惑？收获？一定都有。我们该怎样面对呢？这让我想起李宁公司的故事。“一切皆有可能”， “让改变发生”。