第3章 动量守恒定律和能量守恒定律
习 题
一 选择题
3-1 以下说法正确的是[ ]
（A ）大力的冲量一定比小力的冲量大 （B ）小力的冲量有可能比大力的冲量大 （C ）速度大的物体动量一定大 （D ）质量大的物体动量一定大
解析：物体的质量与速度的乘积为动量，描述力的时间累积作用的物理量是冲量，因此答案A 、C 、D 均不正确，选B 。
3-2 质量为m 的铁锤铅直向下打在桩上而静止，设打击时间为∆t ，打击前锤的速率为v ，则打击时铁捶受到的合力大小应为[ ]
mv mv mv +mg （B ）mg （C ）-mg （D ）（A ） ∆t ∆t ∆t
mv
解析：由动量定理可知，F ∆t =∆p =mv ，所以F =，选D 。
∆t
3-3 作匀速圆周运动的物体运动一周后回到原处，这一周期内物体[ ] （A ）动量守恒, 合外力为零 （B ）动量守恒, 合外力不为零
（C ）动量变化为零, 合外力不为零, 合外力的冲量为零 （D ）动量变化为零, 合外力为零
解析：作匀速圆周运动的物体运动一周过程中，速度的方向始终在改变，因此动量并不守恒，只是在这一过程的始末动量变化为零，合外力的冲量为零。由于作匀速圆周运动，因此合外力不为零。答案选C 。
3-4 如图3-4所示，4圆弧轨道(质量为M ) 与水平面光滑接触，一物体（质量为m ）自轨道顶端滑下，M 与m 间有摩擦，则[ ]
（A ）M 与m 组成系统的总动量及水平方向动量都守恒, M 、m 与地组成的系统机械能守恒
（B ）M 与m 组成的系统动量不守恒, 水平方向动量守恒，
M 、m 与地组成的系统机械能不守恒
（C ）M 与m 组成的系统动量不守恒, 水平方向动量不守恒，M 、m 与地组成的系统机械能守恒
习题3-4图
（D ）M 与m 组成系统的总动量及水平方向动量都守恒，M 、m 与地组成的系统机械能不守恒
解析：M 与m 组成的系统在水平方向上不受外力，在竖直方向上有外力作用，因此系统水平方向动量守恒，总动量不守恒, 。由于M 与m 间有摩擦，m 自轨道顶端滑下过程中摩擦力做功，机械能转化成其它形式的能量，系统机械能不守恒。答案选B 。
3-5 一辆炮车放在无摩擦的水平轨道上，以仰角θ发射一颗炮弹，炮车和炮弹的质量分别为m 车和m ，当炮弹飞离炮口时，炮车动能与炮弹动能之比为[ ]
m 车m 车m m 2
cos θ （A ） （B ） （C ） D 、
m m 车m cos 2θm 车
解析：在水平方向上系统动量守恒，m 车v 车=mv cos θ，
所以，
E k 车E k
1
m 车v 车2
m m cos θ2m
==车() =cos 2θ。选D 。 1m m 车m 车mv 22
3-6 如图3-6所示，一个质点在水平内作匀速率圆周运动，在自A 点到B 点的六分之一圆周运动过程中，下列几种结论中的正确应为[ ]
（1）合力的功为零 （2）合力为零 （3）合力的冲量为零 （4）合力的冲量不为零 （5）合力不为零
习题3-6图
（6）合力的功不为零
（A ）（1）、（4）、（5） （B ）（1）、（2）、（3） （C ）（1）、（2）、（4）、（6） （D ）（1）、（2）、（4）、（5） 解析：质点在水平内作匀速率圆周运动，合外力提供向心力不为零，不做功。由于在自A 点到B 点的六分之一圆周运动过程中动量变化不为零，因此合外力的冲量不为零。答案选A 。
3-7 如图3-7所示，足够长的木条A 静止置于光滑水平面上，另一木块B 在
A 的粗糙平面上滑动，则A 、B 组成的系统的总动能[ ]
习题3-7图
（A ）不变 （B ）增加到一定值 （C ）减少到零 （D ）减小到一定值后不变
解析：A 、B 组成的系统在水平方向上动量守恒，m B v B =(m A +m B ) v ，所以
v
12起始系统的总动能E k 1=m B v B ；
21112
=E k 1。 末了系统的总动能E k 2=(m A +m B ) v 2=m B v B v
222
故A 、B 组成的系统的总动能减小到一定值后不变，答案选D 。
3-8 下列说法中哪个是正确的[ ]
（A ）系统不受外力的作用，内力都是保守力，则机械能和动量都守恒 （B ）系统所受的外力矢量和为零，内力都是保守力，则机械能和动量都守恒
（C ）系统所示的外力矢量和不为零，内力都是保守力，则机械能和动量都不守恒
（D ）系统不受外力作用，则它的机械能和动量都是守恒的
解析：机械能守恒的条件：系统所受外力和非保守内力不做功或做功之和为
零。
动量守恒的条件：系统所受的合外力为零。 故答案选A 。
二 填空题
3-9 一初始静止的质点，其质量m =0. 5kg ，现受一随时间变化的外力
F =(10-5t )(N ) 作用，则在第2s 末该质点的速度大小为m /s ，加速度
大小为 m /s 2。
解析：由动量定理可知，
2
⎰Fdt =⎰(10-5t ) dt =mv ，
22
(10-5t ) dt
10所以v ===20(m /s ) 。
m 0.5
(10-5t ) dt
因为v ==20t -5t ，
2
m
所以a =
dv
=20-10t , a 2=0。 dt
3-10 一小车质量m 1=200kg ，车上放一装有沙子的箱子，质量m 2=100kg ，已知水车与沙箱以v 0=3. 5km /h 的速率一起在光滑的直线轨道上前进，现将一质量m 3=50kg 的物体A 垂直落入落沙箱中，如图3-10所示，则此后小车的运动速率为 km /h 。
3-10图
习题
习题3-13图
解析：系统在水平方向上动量守恒，故(m 1+m 2) v 0=(m 1+m 2+m 3) v ，
即v =
(m 1+m 2) v 0
=3(km /h ) 。
m 1+m 2+m 3
3-11 力F =x i +3y 2j (SI ) 作用于其运动方程为x =2t (SI ) 的作直线运动的物体上，则0~1s 内力F 作的功为W = 。
解析：W =
3-12 一个质点在几个力的时时作用下运动，它的运动方程式
r =3t i -5t j +10k (m ) ，其中一个力为F =2i +3t j -t 2k (N ) ，则最初2s 内这个力对
⎰
F d s =
⎰
1
(2t i +3y 2j ) d (2t i ) =2(J )
质点做的功为 J 。
W =解析：
⎰
F d r =
⎰
2
(2i +3t j -t 2k ) d (3t i -5t j +10k ) =(6t -7.5t 2) =-18(J )
2
3-13 如图3-13所示，原长为10、弹性系数为k 的弹簧悬挂在天花板上，下端静止于O 点；悬一重物m 后，弹簧伸长x 0而平衡，此时弹簧下端静止于O '点；当物体m 运动到P 点时，弹簧又伸长x 如取O 点为弹性势能零点，P 点处系统的弹性势能为 ；如以O '点为弹性势能零点，则P 点处系统的弹性势能为 ；如取O '点为重力势能与弹性势能零点，则P 点处地球、重物与弹簧组成的系统的总势能为 。
111
解析：E p 1=k (x +x 0) 2，E p 2=k (x +x 0) 2-kx 02。
222
由于mg =kx 0，
11111
因此E p =-mgx +k (x +x 0) 2-kx 02=-kx 0x +k (x +x 0) 2-kx 02=kx 2。
22222
3-14 如图3-14所示，一半径R =0.5m 的圆弧轨道，一质量为m =2kg 的物体从轨道的上端A 点下滑，到达底部B 点时的速度为v =2s ，则重力做功为 ，正压
B
习题 3-14图
力做功为 ，摩擦力做功为 。正压力N 能否写成
N =mg cos α=mg sin θ (如图示C 点) ？答：
解析：W G =mgR =9.8(J ) ，W N =0，
1
W f =E A -E B =mgR -mv 2=9.8-4=5.8(J ) 。
2
由于物体下滑过程中有法向加速度，因此正压力在数值上并不等于重力在此方向上的分量。
三 计算题
3-15 一支枪每秒发射10颗质量为2. 0⨯10-3kg 、速率为500m /s 的子弹向墙壁射去，求：（1）每颗子弹的动量大小；（2）子弹作用于墙壁的平均冲力大小。
解析：(1)p =mv =2.0⨯10-3⨯500=1(kg ⋅m /s ) (2)=
3-16 一质点受合力作用，合力为F =10t i +2(2-t ) j +3t 2k (N ) 。求此质点从静止开始在2s 内所受合力的冲量和质点在2s 末的动量。
解析：I =
∆p 10p
==10(N ) ∆t 1
⎰
2
Fdt =
⎰
2
[10t i +2(2-t ) j +3t 2k ]dt =20i +4j +8k (N ⋅s )
I =∆p =p 2-p 0⇒p 2=20i +4j +8k (N ⋅s )
3-17 一颗炮弹以初速度v 0=20m /s 和仰角60射出。在轨迹的顶点，炮弹爆炸成两块质量相等的碎块。爆炸后，一个碎块的速率立即变成零，并垂直落下，问另一碎块的落地处离炮口多远？假定地面水平，且空气阻力不计。
解析：在水平方向上动量守恒，有
2mv 0cos60=0+mv ⇒v =2v 0cos60=20(m /s ) 。 在竖直方向上求飞行时间，有
爆炸前t 1=
v 0sin 60
g
1.77(s ) ，爆炸后t 2=t 1=1.77(s ) 。
因此，距离s =s 1+s 2=v 0t 1cos60+vt 2=30⨯1.7753(m ) 。
3-18 一个1.2kg 的球竖直落到地板上，撞击的速率为25m /s ，再以10m /s 的速率反弹。（1）接触期间对球的冲量是多少？（2）如果球和地面接触的时间是
0.020s ，则球对地面的平均力是多少？
解析：(1)I =p 2-p 1=1.2⨯10j -1.2⨯25(-j ) =42j (N ⋅s ) (2)=
∆p 42
==2100(N ) ，向地面垂直。 ∆t 0.02
3-19 一颗4.5g 的子弹水平射入静止在水平面上的2.4kg 的木块中。木块和水平面间的动摩擦因数为0.20，子弹停在木块中而木块向前滑动了1.8m (无转动）。（1）子弹相对于木块停止时木块的速率是多少？（2）子弹发射的速率是多少？
m 1v 1+0=(m 1+m 2) v 2,(动量守恒) ⎧
⎪
解析：⎨ 12
-μ(m 1+m 2) gs =0-(m 1+m 2) v 2，(动能定理) ⎪⎩2
⎧v 1=1.4⨯103(m /s )
⇒⎨ ⎩v 2=2.7(m /s )
3-20 一颗炸弹在空中炸成A , B , C 三块，其中m A =m B ，A 、B 以相同的速率
30m ⋅s -1沿互相垂直的方向分开，m c =3m A ，假设炸弹原来的速度为零，球炸裂
后第三块弹片的速度和方向。
解析：p A +p B +p
C =0⇒p C =
==A
∴v C =
p C A
==A (m /s ) ，沿A 、B 夹角角平分线反向。 m C 30m A
3-21 如图3-21所示，在平板中央开一小孔，质量为m =50g 的小球用细线栓住，细线穿过小孔后，挂一质量为m 1=200g 的重物，小球作匀速圆周运动，当半径r 1=24. 8cm 时，重物达到平衡。今在m 1的下方再挂一质量为m 2=100g 的另一重物，问小球作匀速圆周运动的半径r 2又是多少？
习题 3-21图
习题3-22图
⎧mr 12ω1=mr 22ω2
⎪
解析：由角动量守恒定理可知，⎨m 1g =m ω12r 1，代入数据得到：
⎪2⎩(m 1+m 2) g =m ω2r 2r 2=21.7(cm )
3-22 一质量为2t 的汽车沿笔直公路运动，它的v -t 图如图3-22所示。求
t =1s 到t =5s 的过程中合力对汽车所做的功。
解析：W =
⎰F d s
-5-01
=-5(m /s 2), s 1=⨯(-5) ⨯12=-2.5(m ) 12
在0~1s 内，a 1=
∴W 1=2⨯103⨯(-5) ⨯(-2.5) =25000(J ) ，正功。 在1~2s 内，a 2=
0-(-5) 1
=5(m /s 2), s 2=-5⨯1+⨯5⨯12=-2.5(m ) 12
∴W 2=2⨯103⨯5⨯(-2.5) =-25000(J ) ，负功。 在2~5s 内，a 3=
15-01
=5(m /s 2), s 3=⨯5⨯32=22.5(m ) 32
∴W 3=2⨯103⨯5⨯22.5=225000(J ) ，正功。 ∴W 1~5=W 2+W 3=2⨯105(J )
3-23 一沿x 轴正方向的力作用在一个质量为3.0kg 的质点上。已知质点的运动学方程为x =3t -4t 2+t 3(式中x 以m 计，t 以s 计) 。试求（1）力在最初4.0s 内做的功；（2）在t =1s 时，力的瞬时功率。
解析：(1)v =
dx dv
=3-8t +3t 2，a ==-8+6t dt dt
∴W =
⎰
F d x =
⎰
4
mavdt =3⨯
⎰
4
(6t -8)(3t 2-8t +3) dt =528(J )
2
(2)p =Fv 11=ma 1v 1=3⨯(6⨯1-8) ⨯(3⨯1-8⨯1+3) =12(w )
3-24 一质量为m 的质点沿x 轴方向的力F =F 0e -kx 作用下（其中F 、k 为正常量）从x =0处自静止出发，求它沿x 运动时所能达到的最大速率。
F F dv dv
=v 解析：a ==0e -kx =
m m dt dx
∴
⎰
x
F 0-kx
e dx =m
⎰
v
vdv ，即v 2=
2F 0F 0-kx
-
e km km
∴x →∞, v max =
3-25 长为l 的细绳的一端固定，另一端系一质量为m 的小球，如图3-25所示，小球可在竖直平面内作圆周运动，若将小球在最低点处以水平初速v 0=4gl 抛出，求小球上升到什么位置时绳子开始松驰。
解析：若绳子开始松弛，则小球不受绳子的拉力，此时只有重力沿绳子方向的分量提供向心力的作用。
v 2
mg cos θ=m (1)
l
又依据机械能守恒可得：
11
mv 02=mv 2+mgl (1+cos θ) (2) 22
2
联立(1)、(2)两式，求得cos θ=, θ=13149'
3
3-26 如图3-26所示，劲度系数为360N m 的弹簧，右端系一质量为0.25kg 物体A ，左端固定于墙上，置于江滑水平台面上，物体A 右方放一质量为0.15的物体B ，将A 、B 和弹簧一同压缩0.2m ，然后除去外力，求：（1）A 、B 刚脱离时的速度，（2）A 、B 脱离后，A 继续向右运动的最大距离。
习题3-25图
习题3-26图
解析：(1)机械能守恒：
121kx 222kx =(m A +m B ) v ⇒v =⇒代入数据v =6(m /s ) 22m A +m B (2)A、B 脱离后，A 弹性势能和动能转化：
1212
kx '=m A v ⇒x '=代入数据x '0.158(m ) 22
3-27 测子弹速度的一种方法是把子弹水平射入一个固定在弹簧上的木块
内，由弹簧压缩的距离就可以求出子弹的速度，已知子弹的质量为20g ，木块质量是8.98kg ，弹簧的劲度系数是100N ⋅m -1，子弹嵌入后，弹簧压缩了10cm ，设木块与水平面间的滑动摩擦系数为0.2，求子弹的速度。
解析：根据动量守恒和能量守恒定理列式：
⎧m 弹v 弹=(m 弹+m 木) v ⎪
⎨1122
⎪(m 弹+m 木) v =kx +μ(m 弹+m 木) gx ⎩22
代入数据求得v 弹
319(m /s )
3-28 有三个人站在铁路上的静止的平板车上，每个人的质量为m ，平板车
的质量为m ，他们相对于平板车的速度u 跳离平板车的一端，平板车无摩擦地沿相反的方向运动。（1）若所有人同时跳车，平板车的最终速度是多少？（2）若他们一个一个地跳离，平板车的最终速度又是多少？
则
①：0=m (u +v 1) +(m 0+2m ) v 1 ②：(m 0+2m ) v 1=m (u +v 1+∆v ) +(m 0+m )(v 1+∆v ) ③：(m 0+m )(v 1+∆v ) =m (u +v 1+∆v +∆v ') +m 0(v 1+∆v +∆v ') ⇒v 1=-mu mu mu , ∆v =-, ∆v '=-m 0+3m m 0+2m m 0+m
mu mu mu --m 0+3m m 0+2m m 0+m 解析：(1)动量守恒：3m (u +v ) +m 0v =0⇒v =-3mu m 0+3m (2)假设①跳后车速为v 1，②跳后车速为v 1+∆v ，③跳后车速为v 1+∆v +∆v '，
⇒v 1+∆v +∆v '=-
75