椒江区初中数学教师命题析题比赛试卷
满分100分，考试时间180分钟
一、试题设计（40分）
说明：请你依据《数学新课程标准》、《2011年浙江省初中数学学业考试说明》以及人教版初中数学教材，设计试题。要求设计的试题简洁、新颖、科学，力求原创，至少要进行有数学意义的改编。并写出解答过程、试题来源（即试题背景）。
１．请你利用生活中的真实的信息，编制一个需要运用数学知识解决的选择题．难度在 0.6左右．
（1）试题（6分）
（２）解答（2分）
（3）试题来源（2分）
２．请设计一个需要用合情推理解答的填空题．难度在0.5左右．
（１）试题（6分）
（２）解答（2分）
（3）试题来源（2分）
3．请设计一个相对新颖的学习情境，去解决不同层次带有“研究性”的数学问题．试题要体现“通过对新知识的学习与获得来考查学生的数学学习能力”的要求．难度在0.35左右． （1）试题（12分）
（２）设计该题的评分标准（4分）
（3）试题来源（4分）
二、析题部分（60分）
1．（本题满分１５分）
请你对前面设计的第3题从以下几方面进一步加以剖析： （1）本题所涉及的主要数学知识、思想方法及能力要求；（2）学生解决本题时可能会遇到的困难和问题；（3）本题设计对教学的启示．
２．（本题满分１５分）
材料：（中考试题）三个同学对问题“若方程组⎨
⎧a 1x +b 1y =c 1, ⎧x =3,
的解是⎨求方程组
⎩a 2x +b 2y =c 2⎩y =4,
⎧3a 1x +2b 1y =5c 1,
的解，”提出各自的想法．甲说：“这个题目好象条件不够，不能求解”； ⎨
3a x +2b y =5c 22⎩2
乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替代的方法来解决”．参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该为 ．
问题（１）请给出这个问题的解答过程．（５分）
问题（２）请你就该题的考试价值与对教学导向两方面作一评析．（10分）
３．（本题满分３０分）材料：已知不等式0≤x 2+ax +b ≤1的解集为[0,1]，求a , b 的值.
请阅读下面解法：
解： 令f (x ) =x 2+ax +b ，则f (x ) 在闭区间[0,1]上的最大值为1，最小值为0. 因为函数f (x ) =x 2+ax +b 的对称轴为直线x =-
a
，所以： 2
（1）当-a ≥1即a ≤-2时，函数在f max (x ) =f (0)=b , f min (x ) =f (1)=a +b +1，
2所以⎧
⎨
a =-2,
求得⎧ ⎨
⎩b =1. ⎩a +b +1=0,
b =1,
a 4b -a 21a
（2）当≤-2224
⎧b =1,
⎧a =±2, （不合，舍去）2所以⎪求得； ⎨⎨4b -a
=0, ⎩b =1. ⎪
⎩4
（3）当0≤-
a 1
a 4b -a 2
f max (x ) =f (1)=a +b +1, f min (x ) =f (-) =，
24
⎧a +b +1=1, ⎧a =-4, （不合，舍去）或⎧a =0,
所以⎪ 求得⎨2⎨⎨4b -a b =4, =0, ⎩⎩b =0. ⎪
⎩4
（4）当-
a
0时，f max (x ) =f (1)=a +b +1, f min (x ) =f (0)=b ， 2
⎧a =0,
a +b +1=1, 求得所以⎧（不合，舍去）. ⎨⎨
b =0, ⎩⎩b =0,
a =0, ⎧a =-2,
综上所述，所求的a , b 的值为⎧或⎨ ⎨
⎩b =0, ⎩b =1.
请回答下列四个问题：
（１）这个解法正确吗？如果错误的，请指出产生错误的原因． （２）有其它解法吗？
（３）能找出该题的一般的规律吗？
（４）求解时涉及到哪些数学思想方法？