2014届本科毕业论文(设计)
题目：类比推广及其数学教学中的作用
学 院：数学科学学院 专业班级：数学09-3班
学生姓名：热依拉·阿卜力克木 指导教师：阿不力米提老师 答辩日期：2014年5月9日
新疆师范大学教务处
目 录
1 引言 .............................................................. 1
2 类比是数学及科学发现的重要工具 .................................... 1
3类比在教学中的作用 ............................................... 2
3.1类比推广能使学生更好的巩固旧知识，掌握新知识 ................. 2
3.2类比推广有助于提高学生的记忆能力 ............................. 4
3.3类比引导学生推广数学命题 ................................... 4
4.类比的局限性 ...................................................... 6
5.结束语 ............................................................ 6
参考文献 ............................................................ 7
致谢 ................................................................ 8
类比推广及其数学教学中的作用
摘要：本文主要论述从了解数学类比思想的解题应用技巧及其思想功能，到对类比解题和类比思维作用进行分析，再进一步探讨数学类比推广在数学教学中的作用。
关键词：类比推广；类比；类比思想
1 引言
不同事物往往具有一些相同或相似的属性，那些具有相同或相似属性的不同事物称为相似事物．相似事物的相同或相似属性往往是表现在多方面的，在某些方面相同或相似的属性具有一定的延伸性，人们正是利用相似事物属性的延伸性，通过对一个事物的认识来认识与它相似的另一事物，这种认识方法就是类比。
总体来说，类比法就是根据不同的对象之间在某些方面的相似或相同，从而推出它们在其它方面也可能相似或相同的一推理方法。
2 类比是数学及科学发现的重要工具
科学史上很多重要的发现，往往发端于直觉类比。牛顿将苹果类比行星，引出万有引力定律；阿基米德将人体类比王冠，得出阿基米德定律;鲁班由茅草叶子边缘类比联想到小齿轮锯子，瓦特由烧开的水壶类比联想到蒸汽机的应用，都是很典型的例子。飞机的发明、潜艇的制造等等都有赖于仿生学，而这些都有赖于类比思维的运用。
在数学教学中也立体几何的很多定理可以与平面几何中相应定理类比，代数中很多法则可以与算术中相应法则类比，等比数列与等差数列的对应知识点的类比，欧几里得空间可以与几何空间类比，概率空间可以与测度空间类比„„。这既包括同一层次上的“平行发展”（如等差数列与等比数列的类比、椭圆与双曲线的类比等），也包括由低层次向更高层次的“飞跃”（如数与式的类比、有限与无限的类比等）。这些类比在数学认识活动中均起着过渡知识的桥梁作用。各类比思维方法的应用，要从题目的实际出发，灵活运用，不仅可以将问题简单化，还可以寻找到最为优越的解题思路。
我们下面看一下一个实例：
例1 ，对于任意x,y,z∈R,求证：x2+y2+xy+x2+z2+xz＞
y2+z2+yz[7]+
分析：从所证不等式的各因式的结构看，其与余弦定理：C2=a2+b2-2abcosC 有相似之处（只要C=120即可）。要证明这个不等式可通过结构类比，构造有一个角为120的三角形来展开证明。 00
解：
取平面上的一点O，作圆周角的三等分线，在三等分线的三条射线上分别截取OA=x,OB=y,OC=z,这样A，B，C即构成一个三角形。由三角形余弦定理有：x2+y2+xy=AB, x2+z2+xz=AC, y2+z2+yz=BC，由三角形两边之和大于第三边，即证得原不等式。
通过利用类比联想进行复习，可以建立起有关知识间的本质的、内在的联系，使学生更深刻地理解知识。使学生头脑中知识更网络化、系统化。
3类比在教学中的作用
类比推广作为一种信息转移的桥梁，不仅是一种良好的学习方法，而且是一种理智的解题策略，能将复杂的问题简单化，陌生问题熟悉化，抽象的问题形象化。
3.1类比推广能使学生更好的巩固旧知识，掌握新知识
教学中引导学生利用新旧知识的相似性可以进行类比学习，具体地说，类比法正是将已有的知识与新的学习活动联系起来的一种重要方法。
一方面，由于学生已有的经验和知识在新概念、新知识的学习过程中发挥着十分重要的作用。因此，在数学教学中应当十分重视如何帮助学生去获得必要的直观经验和预备知识。
另一方面，在数学教学中应当努力帮助学生较好地去实现由抽象向具体的转化。即帮助学生把抽象的数学概念与他们已有的知识和经验联系起来，从而建立起适当的心理表征。这正是数学教学十分重要的一环。
例2 已知x∈R,a为正常数，且函数f(x)满足f(x+a)=
f(x)是周期函数。 1+f(x)，求证1-f(x)
分析：要求证一个函数是周期函数，通常是通过观察估算出它的一个周期，然后利用周期函数的定义或者性质加以证明。本题想要通过观察，
直接得出它的一个周期并不容易。而观察一个函数的周期，常常需要运用类比思维，将该函数的式子形式联系与其有相同形式的函数进行对比。从相似周期函数形式的周期推测该函数的可能周期，再进行证明，才有可能尽快得出结论。
∏1+tanx)= 进行比较，可发现41-tanx
∏它们结构上十分相似而函数tanx的周期为∏，是的4倍。类比此函数式，4在这里，我们如果将已知条件与tan(x+
我们即可猜想4a是函数f(x)的一个周期，从而展开证明。
证明：
∵f(x+a)=1+f(x) 1-f(x)
∴f(x+2a)=f[(x+a)+a] =1+f(x+a) 1-f(x+a)
1+
1-=1+1-1-1+f(x)2f(x)1-f(x)= f(x)-2f(x)f(x)1-f(x)
=1 -f(x)
∴f(x+4a)=f[(x+2a)+2a] 1 -f(x+2a)
1=f(x) 1--f(x)==
即证得4a是函数f(x)的一个周期，函数f(x)是一个周期函数.
做这样让学生掌握更多的方法，了解更多的知识，培养学生的创新能力。
3.2类比推广有助于提高学生的记忆能力
类比思想，提高学生的记忆效率，能使学生的知识不断积累和丰富，学生智力得到不断的发展，从而提高学生分析问题和解决问题的能力。因此，在教学过程中类比推广在提高学生的记忆效率有着重要的意义。
心理学的研究表明：记忆分为识记、保持、再认和再现几个基本过程。而识记是一种反复感知的过程，借以形成比较巩固的联系。保持是把识记的东西保留下。再认和再现是过去感知的东西重新出现感到熟悉或重新呈现出来，所以要提高记忆的效率，需要注重识记和保持两个过程，努力提高识记的效果，延长保持的时间。类比联想是从性质接近，形状相似的同类事物中引起联想或具有相反特点的事物中引起联想。这样的联想对学生记忆有很大帮助。
例3，已知实数x,y满足方程(x-1)2+y2=x-y+3,问点P(x,y)的运动轨迹是什么.
分析：本题若一开始进行平方运算，将会使得解题很难堪。如果对等式两边分别作形式类比就会发现(x-1)2+y2可表示动点P到定点（1,0）的距离，而x-y+与动点P到定直线x-y+3=0的距离有一定的类似形式。 (x-1)2+y2
故：=2 x-y+3
2
表示动点P到定点（1,0）的距离与它到定直线x-y+3=0的距离之比为定值2，所以点P的运动轨迹为双曲线（平面内到一个定点的距离与到一条定直线的距离的比为常数e的点的轨迹为双曲线, e>1）。
通过利用类比联想进行复习，可以建立起有关知识间的本质的，内在的联系，使学生更深刻地理解知识。使学生头脑中知识更网络化，系统化，提高学生的记忆效率。
3.3类比引导学生推广数学命题
一般地说，各种类比的根本目标都在于努力拓广已获得的结果。从这个意义上讲，在数学学习中常常运用类比式的概括，即通过把某一领域的规律类比到其他领域，从而扩大已知规律的范围。运用类比概括的方式推广和拓展原有命题，可以加快认知速度，加深对事物的本质的理解和认识。
例4，在平面几何中，有勾股定理：“如果直角三角形ABC的两边AB,AC互相垂直，则有AB2+AC2=BC2”。若将直角三角形拓展到空间的直角四面体，
类比勾股定理，能得到什么样的结论？
解析：如图，四面体ABCD（AD⊥BD,BD⊥DC,CD⊥AD）。设AD=BD=CD=1,四个面ABD,BCD,ACD,ABC的面积分别记为S1，S2，S3，S。则有：
331S23S333SS1=S2=S3=1,S13=S23==,S=，=,= 。 28428
2233①S12+S2+S3=S2;②S13+S2+S3≠S3。
22由①②即可以得到了我们想要探寻的结论。也就是S12+S2+S3=S2。
上面求解是建立在AD=BD=CD=1这一特殊的三边想等的情形下的，如果是在一
2般的情形，即如设AD=1，BD=2，CD=3时，空间中的各个面的平方S12，S2，S32，
2233与S2还有关系式S12+S2+S3=S2吗？会不会是S13+S2+S3≠S3形式呢？
分析：∵ AD=1 BD=2
11 ∴S1=⨯AD⨯BD=⨯1⨯2=1 22
同样 ∵ AD=1 CD=3 113∴S2=⨯AD⨯CD=⨯1⨯3= 222
∵ BD=2 CD=3
11 ∴S3=⨯BD⨯CD=⨯2⨯3=3 22
又 ∵ AD=1 BD=2 CD=3
∴ AB=AD2+BD2= 同样 BC= AC=
AC2+BC2-AB281 ∴ cosC= =2AC⨯BC130
sinC=-cosC2=49 130
17AC⨯BCsinC= 22
492432 ∴ S= S3= 48
279332= 又 ∵ S12=1 S2 S3=27 = S32=9； S13=1 S284 ∴ S=
2233 ∴ S12+S2+S3=S2 S13+S2+S3≠S3
我们通过这样，平面几何知识向空间几何的类比推广，可以让学生更容易接受和吸收新的知识。同时可以开拓和培养培养学生对未知域的探求思维。
4.类比的局限性
大胆且令人惊奇的类比，在数学中经常进行，然而类比失败的事也是经常发生的。 bb比如，不等式x=-与方程x=-可以类比，因为有类比根据：方程与不aa
等式左边的式子完全相同． bb类比推移：方程有x=-，所以不等式也有解x>-，这个由类比推出的aa
结论是不正确的。
类比法有非常广泛的应用，但它毕竟是一种合情推理，而合情推理是一种或然性推理，前提为真结论未必就真。要提高类比结论的可靠程度，就要尽可能地确认对象间的相同点。一般地，相同点越多，结论的可靠程度就越大，因为对象间的相同点越多，二者间的关联度就会越大，结论就可能越可靠。反之，结论的可靠程度就会越小。此外，要注意的是，类比前提中所根据的相同情况与推出的情况要带有本质性。如果将某个对象的特有情况或偶有的错误。因此类比得到的结论正确与否还要经过严格的证明。
虽然类比推理结论不一定正确，但是这种推理的作用远比它的缺陷大得多，在自然科学的各个颁域，利用类比，常常得出惊人的发现，这是因为自然界从宏观到微观的各个方面。同类事物的相似性远大于它的差异性。因而运用类比时不可以一味的模仿思维模式，缺乏自我创造，要从事物的本质出发进行类比思考，极力避免推理中的逻辑错误。
5.结束语
这本论文主要讨论了，类比方法在数学解题应用技巧，在数学教学中的作用方面的内容。为了清晰的叙述类比思想方法的内涵及作用，本文论述的内容分为四部分，首先讲述的是，类比的定义并科学及数学方面的发现。然后类比推广在数学教学中的作用，以及结合实例来分析，其中利用了几中类比方法来掌握了解
题技巧。
最后还讲述了，要注意类比的局限性，并不是所有类比都能正确的，虽然它是一种合情推理，但我们应该要提高它的可靠程度。
虽然我的论文作品不是很成熟，还有很多不足之处，但我能说这里面的每一个公式，都有我的功劳。总之希望老师们指出不足的地方，能给出好的建议。感谢老师们对我作品的支持和帮助。
参考文献：
[1]张奠宙 ，宋乃庆 .数学教育概论.北京：高等教育出版社，2011(5).
[2]李长明 ，周焕山 . 初等数学研究.北京：高等教育出版社，2011（25).
[3]王庚 ，王敏生 . 现代数学建模方法. 科学出版社.2009 （2）
[4]张雄 ，李得虎 ，数学方法论与解题研究 ，高等教育出版社 2013（2）
新疆师范大学2014届本科毕业论文（设计）
致 谢
大学四年很快就要结束了，在这宝贵的四年学习过程中，我认识了数学系的各级领导、老师和我亲爱的同学们，得到了他们热心的帮助和关心，使我能够顺利的完成学业，同时我的道德修养在身边优秀的老师和同学的感染下得到了很大的提高，在此向他们表示我最衷心的感谢！
感谢我的指导老师阿不力米提副教授，对我毕业论文的细心指导。阿不力米提老师严谨细致、认真负责的工作态度是我学习的典范，在这过程中对毕业论文多次进行修改，耐心的指导，提出了宝贵的意见和新的方法，培养了新的数学思想，进一步提高了我的各方面的能了，这对我以后走上工作岗位有很大的帮助。
同时我要感谢我大学四年认识的所有好朋友，有了他们的陪伴、支持、鼓励，我的大学生活才有意义，从他们身上我学到了很多我没有的品质，我将永远珍惜这难得的友谊.
到论文的顺利完成，有很多的可敬的老师、同学、朋友给了我真挚的帮助，在这里请接受我诚挚的谢意！再次对阿不力米提老师表示最诚挚的谢意和祝福！
此致
敬礼
热依拉·阿卜力克木
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