高中选修1-1数学文科试题
一. 选择题（每小题5分，共60分）
1. 有以下四个命题：①若
11
=，则x =y . ②若lg x 有意义, 则x >0. x y
③若x =y ,
则. ④若x
A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．③④ 2. “x ≠0”是 “x >0”是的( )
A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件y 2
=1（a 是常数）则下列结论正确的是（ ） 3. 若方程C ：x +a
2
A ．∀a ∈R +，方程C 表示椭圆B ．∀a ∈R -，方程C 表示双曲线
C ．∃a ∈R -，方程C 表示椭圆 D ．∃a ∈R ，方程C 表示抛物线
4. 抛物线：y =x 2的焦点坐标是（ ）
1111A. (0, ) B. (0, ) C. (, 0) D. (, 0)
2424
y 2
=1的渐近线方程和离心率分别是（ ） 5. 双曲线：x -4
2
A. B. y =±
1
x ; e =5 2
y =±2x ; e =
C. y =±
1
x ; e =3 D. y =±2x ; e = 2
6. 函数f (x ) =e x ln x 在点(1, f (1)) 处的切线方程是（ ） A. y =2e (x -1) B. y =ex -1 C. y =e (x -1) D. y =x -e 7. 函数f (x ) =ax 3+x +1有极值的充要条件是 （ ） A ．a >0 B ．a ≥0 C ．a
1
B ． -1 C ．0 D ．1 2
9．过点P (0,1)与抛物线y 2=x 有且只有一个交点的直线有（ ）
A.4条 B.3条 C.2条 D.1条
1412
x -ax ，若f (x ) 的导函数f '(x ) 在R 上是增函10. 函数f (x ) =122
数，则实数a 的取值范围是（ ）
A. a ≤0 B. a ≥0 C. a 0
11. 双曲线4x 2+ty2-4t=0的虚轴长等于( ) A. 2t B ．-2t C ．2-t D ．4
b x 2y 2
12. 若椭圆2+2=1(a >b >0) 和圆x 2+y 2=(+c ) 2, (c 为椭圆
2a b
的半焦距), 有四个不同的交点, 则椭圆的离心率e 的取值范围是（ ）
255323, ) C. (A. (, ) B. (, ) D. 555555
(0, )
5
二. 填空题（每小题5分，共20分）
13. AB 是过C:y 2=4x 焦点的弦，且AB =10, 则AB 中点的横坐标是_____.
14. 函数f (x ) =x 3+ax 2+x +b 在x =1时取得极值，则实数
a =_______.
15. 已知一个动圆与圆C ：(x +4) 2+y 2=100 相内切，且过点A （4，0），则这个动圆圆心的轨迹方程是_______________ 16. 对于函数f (x ) =ax 3, (a ≠0) 有以下说法： ①x =0是f (x ) 的极值点.
②当a
1
④若a >0且x ≠0则f (x ) +f () 有最小值是2a .
x
其中说法正确的序号是_______________.
三. 解答题（17题10分，18---22题均12分，共70分）
x 2y 2
=1, (a >2) 上一点P 到它的两个焦点F 117. 已知椭圆C:2+
a 4
（左）, F 2 （右）的距离的和是6， （1）求椭圆C 的离心率的值.
（2）若PF 2⊥x 轴，且p 在y 轴上的射影为点Q ，求点Q 的坐标.
a 3
x -2x 2+3a 2x 的导函数y =f '(x ) 的简图，3
它与x 轴的交点是（1,0）和（3,0） 18. 如图：是y =f (x ) =
（1）求y =
f (x ) （2）求实数a 的值.
19. .双曲线C ：x 2-y 2=2右支上的弦AB 过右焦点F .
（1）求弦AB 的中点M 的轨迹方程 （2）是否存在以AB 为直径的圆过原点O ？, 若存在，求出直线AB 的
斜率K 的值. 若不存在，则说明理由.
9
20. 设函数f (x ) =x 3-x 2+6x -a ．
2（1）求函数f (x ) 的单调区间.
（2）若方程f (x ) =0有且仅有三个实根，求实数a 的取值范围.
21. 已知f (x ) =ax 3+bx 2+cx 在区间[0,1]上是增函数, 在区间
13
(-∞, 0), (1, +∞) 上是减函数, 又f '() =.
22
（1）求f (x ) 的解析式.
（2）若在区间[0, m ](m ＞0) 上恒有f (x ) ≤x 成立, 求m 的取值范围.
22. 已知抛物线y 2=2px (p >0) , 焦点为F, 一直线
l 与抛物线交于A 、B 两点,AB 的中点是M(x 0, y 0)
M
且 AF +BF =8,AB 的垂直平分线恒过定点S(6, 0) （1）求抛物线方程;
（2）求∆ABF 面积的最大值.
高二数学文科试题参考答案
一.ABBBD,CCDBA,CA
x 2y 2
二.4；-2；25+9=1；②③
三
17. （1）a =3 ---------2分
e =
45
---------5分 （2）Q (0, ±) -------10分
33
18. （1）x =3是极小值点-----3分 (1, 3)是单调减区间-----6分
（2）由图知a >0 ， f ' (x ) =ax 2-4x +3a 2
'
⎧⎪f (1) =0
⇒a =1-------12分 ⎨'
⎪⎩f (3) =0
19. （1）x 2-2x -y 2=0，（x ≥2）-------6分 注：没有x ≥2扣1分
（2）假设存在，设A (x 1, y 1), B (x 2, y 2) ，l AB :y =k (x -2) 由已知OA ⊥OB 得：x 1x 2+y 1y 2=0
(1+k 2) x 1x 2-2k 2(x 1+x 2) +4k 2=0 --------- ①
⎧x 2-y 2=2
⇒(1-k 2) x 2+4k 2x -4k 2-2=0 ⎨
⎩y =k (x -2)
4k 24k 2+22
, x 1x 2=2所以x 1+x 2=2(k ≠1) --------② k -1k -1
联立①②得：k 2+1=0无解
所以这样的圆不存在.-----------------------12分
20. （1）(-∞, 1)和(2, +∞)是增区间；(1, 2)是减区间--------6分 （2）由（1）知 当x =1时, f (x ) 取极大值 f (1)=
5
-a ; 2
当x =2时, f (x ) 取极小值 f (2)=2-a ;----------9分
⎧f (1) >0
因为方程f (x ) =0仅有三个实根. 所以⎨
f (2)
5
------------------12分 2
21．（1）f '(x ) =3ax 2+2bx +c ，由已知f '(0)=f '(1)=0，
⎧c =0，
c =0，⎧⎪即⎨解得⎨3
b =-a ．⎩3a +2b +c =0，⎪⎩2
解得：2
⎛1⎫3a 3a 3∴f ' ⎪=-=
⎝2⎭422
∴f (x ) =-2x 3+3x 2．--------------6分 （2）令f (x ) ≤x ，即-2x 3+3x 2-x ≤0，
1
∴x (2x -1)(x -1) ≥0，∴0≤x ≤或x ≥1．
2
∴f '(x ) =3ax 2-3ax ∴a =-2，
1
又f (x ) ≤x 在区间[0，m ]上恒成立，∴0
2
另解：设g (x ) =f (x ) -x =-2x 3+3x 2-x ≤0在[0, m ]上恒成立
即求在[0, m ]上[g (x ) ]max ≤0满足的条件
g ' (x ) =-6x 2+6x -1=0，x =
3-3+ 或
66
⎛3-3+⎫⎪g (x ) >0⇒ 6, 6⎪是单调增区间
⎝⎭
'
⎛⎫3-3⎫⎛3+3
⎪和 ⎪是单调减区间 g ' (x )
, 则有[0, m ]⊆ -∞, ①若0
66⎝⎦
g (x ) max =g (0) =0, 成立 ②若
3-33+3
3-31
综合得：
③m ≥
3+33+33, 有g () =>0, 矛盾 6618
1
2
综上：0
22. （1）设A (x 1, y 1), B (x 2, y 2) , AB中点 M (x 0, y 0) 由AF +BF =8得x 1+x 2+p =8, ∴x 0=4-
p 2
2⎧p ⎪y 1=2px 12
=2p (x 1-x 2), ∴y 0= 又⎨2 得y 12-y 2
k ⎪⎩y 2=2px 2
p
p p 所以 M (4-, ) 依题意⋅k =-1, ∴p =4
p 2k
4--6
2
抛物线方程为 y 2=8x ------------------6分 （2）由M (2, y 0) 及k l =
令y =0得x K =2-
44
, l AB :y -y 0=(x -2)
y 0y 0
12
y 0 4
又由y 2=8x 和l AB :y -y 0=
2
y 2-2y 0y +2y 0-16=0
4
(x -2) 得: y 0
∴S ∆ABF =
111222⋅KF ⋅y 2-y 1=(y 0) 4y 0-4(2y 0-16) 224121246
-y 0y 0-y 0=y 0= 44
46令h (y 0) =16y 0-y 0, (y 0>0) 353h ' (y 0) =64y 0-6y 0=6y 0(
322
-y 0) 3
当h ' (y 0) >0, 0
32
332 3
当h ' (y 0)
所以y 0=
32
是极大值点，并且是唯一的 3
32时, (S ∆ABF ) max =-----------------12分
93
所以y 0=