数学建模垃圾场填埋

2009—2010学年度第二学期

课程形成性考核报告

题目: 垃圾场填埋的优化设计问题

2010 年 6 月 20 日

论文题目:垃圾场填埋的优化设计问题

摘 要:垃圾填埋场是解决人们日常生活垃圾必不可少的条件, 建设填埋场在市

政府财政支出中占重要比例, 而其优化设计能为政府节省不少经费. 本文通过实例, 将影响“花钱最少”的因素进行大胆假设和简化处理, 成功建立非线性规划模型, 并充分运用MATLAB 软件对模型进行编程求解, 得出了最佳挖掘深度以及征地、购买机械的最佳方案和预算.

关键词:优化设计

非线性规划枚举法 MATLAB编程

一、问题的提出与分析

1. 问题的提出

渭南市平均日产生活垃圾约为300立方米（以压缩后体积计）, 现欲建一垃圾填埋场, 将垃圾挖坑后填埋, 再在表面覆盖一米厚的土层以恢复植被. 现需就建场预算中涉及购置设备及征用土地问题作出决策.

考虑挖坑及填埋设备的购置和土地征用中的经济问题, 市政当局希望给出花钱最少的预算. 现已知下列情形:

1.1.挖出不用的土方可被建筑工程使用, 无须处理, 但须运上地面, 并须留出填埋覆盖用土.

1.2.每套挖掘及填埋机械需购置费用200万元, 使用寿命十年. 1.3.填埋场预计使用五十年.

1.4.压缩后的垃圾由汽车直接抛入垃圾填坑中, 无须作功.

1.5.现征地费用为20万元/亩, 根据统计资料知, 此前三年地价涨幅为平均5%/年. 1.6.机械使用柴油, 效率为30%.在平地作业时, 将一立方土移动一米需作功100KJ, 但随挖掘深度加大, 每增加一米深度, 其效率在原有基础上下降10%. 1.7.当前银行贷款年利率为8%,存款利率为5%.

1.8.填埋后的场地将用于公益(如建立公园、绿地等).

问题:（1） 试按市政当局要求, 建立数学模型, 为该项目计算出最佳的挖 掘深度, 评价模型优缺点;

（2） 作出征购土地, 购买机械的方案及预算. 2. 问题分析与建模流程

针对问题一, 根据题目给出的条件:每套挖掘机及填埋机械需购置费用200万元, 使用寿命十年. 填埋场预计使用五十年. 现征地费用为20万元/亩, 根据统计资料知, 此前三年地价涨幅平均5%/年. 机械使用柴油, 效率为30%.在平地作业时, 将一立方土移动一米需做功100KJ, 但随挖掘深度加大, 煤增加一米深度, 其效率在原有基础上下降10%.当前银行贷款率为8%,存款率为5%,可以建立非线性规划模型, 根据此模型建立适当方程组, 然后运用MATLAB 编程并用枚举法, 方可求出最佳挖掘深度.

针对问题二, 很据问题一求解出的最佳挖掘深度, 然后利用建立的非线性规划模型, 以逐年累计的方式便可得出征购土地, 购买机械的方案及预算.

二、基本假设

结合本题实际, 并参考相关文献[1-4], 为了确保模型求解的准确性和合理性, 我们排

除了一些未知因素的干扰, 提出了以下几点假设:

1. 市政府有足够的能力偿还银行贷款, 并假设市政府在50年后一次性还清银行债务; 2. 地价涨幅在未来50年内保持不变, 均保持5%/年. 银行贷款年利率、机械使用柴油的价格、平均日产生活垃圾量在50年内保持不变;

3. 政府从年初开始征地, 并制定当年的方针政策, 且当年严格按照此政策执行, 亦可能连续几年一起执行;

4. 当年每天的挖掘深度相似, 我们取其为此年的平均深度为H i (i =1, 2..., i ≤50) , 并且每年均按365天计算;

5. 所选垃圾场址周围在未来50年内无其他用途, 可以保证50年内所需垃圾填埋;

6. 购买的挖掘机的功率均为90KW, 且每套挖掘机平均每天按工作8小时计; 7. 机械设备因保养、人工的工资等消费的钱财忽略不计.

三、符号说明

四、模型的建立与求解

1. 模型一的建立与求解

1.1. 非线性规划模型[6]的建立

如果目标函数或约束条件中包含非线性函数, 就称这种规划问题为线性规划问题. 一般来说, 解非线性规划要比解线性规划问题困难的多. 而且, 也不像线性规划有单纯形法这一通用方法, 非线性规划目前还没有适于各种问题的一般算法, 各个方法都有自己特定的使用范围. 对于一个实际问题, 在把它归结成非线性规划问题时, 一般要注意如下几点:

1.确定公选方案:首先要收集同问题有关的资料和数据, 在全面熟悉问题的基础上, 确认什么事问题的可供选择的方案, 并用一组变量来表示它们.

2.提出追求目标:经过资料分析, 根据实际需要和可能, 提出要追求极小化货极大化的目标. 并且, 运用各种科学和技术原理, 把它表示成数学关系式.

3.给出价值标准:在提出要追求的目标之后, 要确立所考虑目标的“好”或“坏”的价值标准, 并用某种数量形式来描述它.

4.寻求限制条件:由于所追求的目标一般都要在一定的条件下取得极小化或极大化效果, 因此还要寻找出问题的所有限制条件, 这些条件通常用变量之间的一些不等式或等式来表示.

当非线性规划的最优解存在时, 其则可能在其可行域的任意一点达到. 1.2. 问题一的求解

首先将题目中的已知条件转化为数学表达式:

1.将低价单位换算为:20万/亩=300元/平方米, 假设地价涨幅不变, 地价成指数增长, 则第i 年的地价为:

A i =300⨯(1+10%)i -1, (i ≤50) (1)

2.由“平均日产生垃圾约为300立方米”可得, 深度H i 和每天所需土地面积s i 的关系为:

s i ⨯(H i -1) =300 （2）

3.由“机械使用柴油, 效率为30%,随挖掘深度加大, 每增加一米深度, 其效率在原有基础上下降10%”可得在第j 米深时的机械效率为:

ηj =30%⨯(1-10%)j -1 (3)

4.由“在平地作业时, 将一立方土移动一米需做功100KJ ”, 可得每天挖掘H i 米所做的功为:

W i =∑100⋅s i ⋅j （4）

j =0

H i

可知道每天需要的柴油质量为:

m i =∑

100⋅s i ⋅j

（5） q ⋅ηj =0j

H i

5.由“每套挖掘机填埋机械需购置费用200万元”知:第i 年购买挖掘机的费用为:

E i =a ⋅N i （6）

因“挖掘机填埋机械的寿命为十年”, 故当i ≤10时, 第年购买的挖掘机的数量与做功

之间有如下关系:

∑N

n =1i

i

n

⋅8⋅P ⋅30%=∑100⋅s i ⋅j （7）

j =0

H i

当i >10时, 第年购买的挖掘机的数量与做功之间有如下关系:

n =i -9

∑N

n

⋅8⋅P ⋅30%=∑100⋅s i ⋅j （8）

j =0

H i

综上, 市政府需每年预算为:

G i =D i +E i +F i =A i ⋅S i +a ⋅N i +r ⋅M i =365⨯(A i ⋅s i +r ⋅m i ) +a ⋅N i （9）

于是, 得上式（9）就是目标函数, 而约束条件中包含非线性函数, 故其符合非线性规划问题的特点. 我们有如下的规划模型:

min :G i =D i +E i +F i D i =A i ⋅S i

A i =300⨯(1+10%)i -1S i =365⋅s i s i =

300H i -1

4

H i

E i =a ⋅N i

∑N ⋅P ⨯30%⨯2. 88⨯10=∑100s j , (i ≤10), (i ≤50)

i

i

n =1i

j =0H i

n =i -9

i

∑N ⋅P ⨯30%⨯2. 88⨯10=∑100⋅s ⋅j , (i >10)

4

i

i

j =0

(10)

F i =365⋅f i f i =r ⋅m i m i =∑100⋅s i ⋅j q ⋅ηj j =0

H i

ηj =30%⨯(1-10%)j -1

由于涉及的数量较大, 所以我们通过MATLAB 编程并采用枚举法来求解出最佳的挖掘深度. 当i =1时, 通过枚举法, H i =2-41, 应用MATLAB 求解, 得到第一年的总费用, 见

于是, 得到二次多项式拟合函数:

G =0. 0291⨯H 1-1. 3562⨯H 1+24. 3003 （10）

故可知H 1=度见表2

-1. 3562

=23. 3(米）. 我, 我们用同样的方法求解出第1-10年的挖掘深

-2⨯0. 0291

2

考虑到挖掘深度的加大会增加挖掘机的挖掘难度, 根据目前的技术, 我们认为挖掘的深度不宜超过30米. 由前时间的数值取平均值即最佳的挖掘深度为27.21m. 2. 模型二的建立与求解 2.1征购土地的方案与预算

在该模型中将还款方式假定为等额本金还款法, 即借款人每年按相等的金额偿还贷款本息, 其中每年贷款利息按年初剩余贷款本金计算并逐年结清. 另外, 贷款利息计算公式为:利息=资金额⨯利率⨯占用时间.

在该问中, 假设垃圾场所选地址周围在未来50年中没有其他用户买地或者做他用. 将第一文中的H =27. 21m 作为已知条件使用, 便可求得每年所需土地面积表达式如下:

300

S 0=365⨯ （12）

H -1

则50年所需的土地面积为:

300

S z =50⨯365⨯ （13）

H -1假设共需k 次购买, 前k-1次购买相同的j 年所需土地面积, 第k 次购买50-(k -1) ⋅i 年所需的土地, 即k =50/i 整数.

在50年中前k-1次每次购买土地面积为:

S i =i ⋅S 0 （14）

根据等额本件还贷法的定义可得每一年所需还的本机和利息之和表达式如下:

S

第1年：300⨯S i ⨯8%+300⨯i

i

1S

第2年：300⨯（1-) ⨯S i ⨯8%+300⨯i

i i

（15）

1S 第i ⨯300⨯S i ⨯8%+300i

i i

将以上格式叠加可得到第1年到第i 年的本息之和为:

S

E i =300⨯S i ⨯8%+300⨯i （16）

i

同理可得

1+i

) ⨯(1+10%)i 第i +1年到第2i 年的本息之和为:E i 2=300⨯S i ⨯(1+8%⨯2

第2i +1年到第3i 年的本息之和为：E i 3=300⨯S i ⨯(1+8%⨯

1+i 在第(k -1) i +1到ki 年本息之和为：E ik =300⨯S i ⨯(1+8%⨯) ⨯(1+10) (k -1) i

2

1+i 2i

) ⨯（1+10%）2

（17）

再次将以上各式迭加得到第1年到第ki 年所需还款金额为:

i +11. 1ki -1

E z 1=E i 1+E i 2+ +E ik =300⨯S i ⨯(1+8%⨯) ⨯i （18）

21. 1-1

另有第(50-k ⨯i +1) 到第50年购买土地还款求解如下:

(1+10%)ki

第1年：300⨯S k ⨯(1+10%)⨯8%+300⨯S k ⨯

50-ki

1300⨯S k ⨯(1+10%)ki ki

第2年：(1-) ⨯300⨯S k ⨯(1+10%)⨯8%+

50-ki 50-ki

ki

（19）

则最后一次购买土地所还款为:

E z 2=300⨯S k ⨯(1+10%)ki ⨯(1+8%⨯

50-ki -1

) （20） 2

所以50年购买土地所需要的本息总和为:

i -11. 1ki -150-ki -1

E z =300⨯S k ⨯(1+8%⨯) ⨯(i ) +300⨯S k ⨯(1+10%)ki ⨯(1+8%⨯)

21. 1-12

(21)

代入数据得:

1. 1ki -1

E z =S i ⨯(307. 5+7. 5i ) ⨯i +S k ⨯(682. 5-7. 5ki ) ⨯1. 1ki (22)

1. 1-1

其中k =50/i 的整数.

利用MATLAB 软件编译程序, 通过枚举法算法[6]依次得出k 、i 、E z 的相对应数据表3

再将离散点在直角坐标系中标出如图4所示, 可以看出当i =50即k =1时取得最优解. 因此确定购买土地的最优方案为一次性购买五十年所用的土地

.

在实际中, 贷款利息是与使用年限成正相关的, 即使用年限越多, 利息越多, 也就是预算越多. 因此在政府财政允许的条件下, 最好能在购买土地后一次性将款项付清. 又因为地价一直在上涨, 因此一次性购买50年用地确实可以做到最少预算.

2.2购买机械的方案及预算

购买机械时, 考虑到挖掘机与填埋机需要同时买进, 又要保证每天有填埋机政策工作, 同时兼顾到机械的使用寿命, 所以只能分批购买. 通过查找相关资料和工地实际调查, 得知大型挖掘机政策工作每天8小时, 平均每台每天课挖土方500立方米; 同时假定两台填埋机足以满足每天垃圾填埋工作需求. 按照题目已知条件可计算出所需购买机械套数n , 表达式如下:

500⨯2⨯365⨯10⨯n =365⨯1000⨯50

通过上式可求的n =10.

驾驶机械分五次购买, 每次购买两套, 每套价格为x =200万元. 同样用等额本金还款法求得每年还款数额, 表达式如下:

2x 第1+2x ⋅8%10

2x 2x 第2+(2x -) ⨯8% （23） 1010

2x 2x 第10+(2x -⨯9) ⨯8%1010

则购买一次机械的预算为:

2x 2x 2x 2x 2x +2x ⨯8%++(2x -) ⨯8%+ ++(2x -⨯9) ⨯8% （24） 1010101010

进而求得50年购买机械总需要还款为: E x =

E xz =5⨯E x （25）

代入x =2⨯106元求得购买机械总费用为4. 0795⨯107元.

五、模型分析

一次性将五十年要使用的填埋场买下, 因此在初期需要支付的钱必须要通过贷款的形式来实现, 因此要用务实年来偿还基金和贷款利息;

购买设备以十年为一个周期, 因此我们可以考虑在每一个十年的第一年买下设备, 用十年的时间来偿还贷款, 这样模型就会转化成分期付款买房的问题;

设计燃烧的柴油, 可以按照每一天的使用状况来计算, 因为模型假设在年初的时候市政当局要支付一年的资金, 因此除了用于设备和土地的还款以外, 剩下的就是燃烧柴油要花的钱数;

六、模型评价

１挖掘的坑的立方米形状理想, 与实际不太相符;

２挖掘机的耗油量的计算部分不够完全, 例如在平面上挖掘机不挖掘土时候, 也有移动, 在安置了预留使用的土后, 挖掘机空以也是需要有耗油量的;

３挖掘机的极限效率不能很好的确定, 就不能准确做好约束条件;

４挖掘机的燃烧值, 柴油的价格等也是受资料或者说是人为因素的影响比较大, 模型中的主观成分数据占了很大的比例, 例如挖掘机的挖掘能力等, 因此模型的解可能与显示相差很远;

七、模型推广

① 卫生填埋场中垃圾的降解速率直接影响填埋场的容量和所占据土地资源的回用周期, 在填埋场设计时应考虑垃圾的生物降解;

② 采用准好气填埋结构可以加快垃圾的降解;

③ 当垃圾处于厌氧分解或对填埋场中处于厌氧分解的区域可采用渗滤液回灌法, 一方面可减少垃圾渗滤液处理量, 改善水质, 另一方面可加快填埋场的稳定;

④ 垃圾填埋气体中甲烷含量很高, 当积聚到一定量时会发生爆炸, 另外. 填埋气体还可以通过土壤、管道等各种孔隙、通道迁移, 并在某一地方积聚并达到爆炸范围. 因此．应采用沿着填埋场周边的地下防渗幕墙防止侧向迁移, 并通过场外附近建立气体监测井及在线气体监测报警系统来监测;

⑤ 封场后用主动抽气方式来收集气体填埋场内形成负压. 使外部空气通过底部渗滤液收集管进入填埋场, 促进半好氧分解进行, 而且防止气体的局部积累和外逸, 消除爆炸的隐患;

⑥ 提高利用填埋气体的技术, 使之变废为保.

参考文献

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