数列单元测试题
命题人：张晓光
一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符号题目要求的。)
S 3S 2
1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n －1，则数列{a n }的公差是( )
32
1
A. B ．1 C ．2 D ．3 2
2．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若8a 2＋a 5＝0，则下列式子中数值不能确定的是( )
a n ＋1S n ＋1a S A. B. C. D. a 3S 3a n S n
3．设数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋a n ＋1＝2，则a 2011的值为( ) A ．2 B ．1 C ．0 D ．－2 4．已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *) 且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 1a 5＋a 7＋a 9) 的值是
3
( )
11A ．－5 B C ．5 D.
55
A 7n ＋45a 5．已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且＝，则使得B n n ＋3b n
时，n 的值可以是( )
A ．1 B ．2 C ．5 D ．3或11
a 3＋a 41
6．各项都是正数的等比数列{a n }的公比q ≠1，且a 2a 3，a 1成等差数列，( )
2a 4＋a 5
1－55＋15－15＋15－1A. B. D. 22222
a 7．已知数列{a n }为等差数列，若0的最大
a 10
值n 为( )
A ．11 B ．19 C ．20 D ．21
1
8．等比数列{a n }中，a 1＝512，公比q ＝－，用Πn 表示它的前n 项之积：Πn ＝a 1·a 2·…·a n ，
2
则Πn 中最大的是( )
A ．Π11 B ．Π10 C ．Π9 D ．Π8
9．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 3＝a 5，a m ＝2011，则m ＝( ) A ．1004 B ．1005 C ．1006 D ．1007
10．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝6n －4，数列{b n }的通项公式为b n ＝2n ，则在数列{a n }的前
100项中与数列{b n }中相同的项有( )
A ．50项 B ．34项 C ．6项 D ．5项 二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把正确答案填在题中横线上)
1
11．已知数列{a n }满足：a n ＋1＝1－，a ＝2，记数列{a n }的前n 项之积为P n ，则P 2011＝________.
a n 1
12．秋末冬初，流感盛行，荆门市某医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列{a n }，
已知a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2－a n ＝1＋(－1) n (n ∈N *) ，则该医院30天入院治疗流感的人数共有________人．
a 3＋a 101
13．已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，a 3, 2a 2成等差数列，则＝________.
2a 1＋a 8
14．在如图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，
15．数列{a n }中，a 1＝1，a n 、a n ＋1是方程x 2－(2n ＋1) x ＋＝0的两个根，则数列{b n }的前
b n
n 项和S n ＝________．
三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分12分) 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ＝pn 2－2n ＋q (p ，q ∈R ) ，n ∈N *.
(1)求q 的值；
(2)若a 3＝8，数列{b n }满足a n ＝4log 2b n ，求数列{b n }的前n 项和．
17．(本小题满分12分) 等差数列{a n }的各项均为正数，a 1＝3，前n 项和为S n ，{b n }为等比数列，
b 1＝1，且b 2S 2＝64，b 3S 3＝960. (1)求a n 与b n ；
111
(2)求的值．
S 1S 2S n
1
18．(本小题满分12分) 已知数列{b n }前n 项和为S n ，且b 1＝1，b n ＋1＝n .
3
(1)求b 2，b 3，b 4的值； (2)求{b n }的通项公式；
(3)求b 2＋b 4＋b 6＋…＋b 2n 的值．
19．(本小题满分12分) 已知f (x ) ＝m x (m 为常数，m >0且m ≠1) ．设f (a 1) ，f (a 2) ，…，f (a n ) …(n
∈N ) 是首项为m 2，公比为m 的等比数列． (1)求证：数列{a n }是等差数列；
(2)若b n ＝a n f (a n ) ，且数列{b n }的前n 项和为S n ，当m ＝2时，求S n ；
(3)若c n ＝f (a n )lg f (a n ) ，问是否存在m ，使得数列{c n }中每一项恒小于它后面的项？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．
111
20．(本小题满分13分) 将函数f (x ) ＝sin x ·sin x ＋2π)·sin x ＋3π) 在区间(0，＋∞) 内的全部最值
442
*
点按从小到大的顺序排成数列{a n }(n ∈N ) ． (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝2n a n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n 的表达式．
21．(本小题满分14分) 数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n (n ＋1)(n ∈N *) ．
(1)求数列{a n }的通项公式；
b b b b (2)若数列{b n }满足：a n ＝＋{b n }的通项公式；
3＋13＋13＋13＋1
a b (3)令c n ＝n ∈N *) ，求数列{c n }的前n 项和T n .
4
数列单元测试题
命题人：张晓光
一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。)
S 3S 2
1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n －1，则数列{a n }的公差是( )
32
1
A. B ．1 C ．2 D ．3 2
n (n －1)
[答案] C[解析] 设{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋d ，
2
S d S S d
∴{是首项为a 1，公差为的等差数列，∵1，∴1，∴d ＝2.
n 2322
2．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若8a 2＋a 5＝0，则下列式子中数值不能确定的是( )
a n ＋1S n ＋1a S A. B. C. D. a 3S 3a n S n
a [答案] D[解析] 等比数列{a n }满足8a 2＋a 5＝0，即a 2(8＋q 3) ＝0，∴q ＝－2，∴q 2＝4，
a 3
5
a 1(1－q )
＋
1－q a n ＋11－q 511S n ＋11－q n 1S q ＝－2，＝的值随n 的变化a n S 3a (1－q )1－q 3S n 1－q 1－q
而变化，故选D.
3．设数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋a n ＋1＝2，则a 2011的值为( ) A ．2 B ．1 C ．0 D ．－2
[答案] C[解析] ∵a 1＝0，a n ＋a n ＋1＝2，∴a 2＝2，a 3＝0，a 4＝2，a 5＝0，…，即a 2k －1＝0，a 2k ＝2，∴a 2011＝0.
1
4．已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *) 且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log a 5＋a 7＋a 9) 的值是
3
( )
11
A ．－5 B C ．5 D.
55
*
[答案] A[分析] 根据数列满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N ) ．由对数的运算法则，得出a n ＋1与a n 的关系，判断数列的类型，再结合a 2＋a 4＋a 6＝9得出a 5＋a 7＋a 9的值．
[解析] 由log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *) 得，a n ＋1＝3a n ，∴数列{a n }是公比等于3的等比数列，
1
∴a 5＋a 7＋a 9＝(a 2＋a 4＋a 6) ×33＝35，∴log (a 5＋a 7＋a 9) ＝－log 335＝－5.
3
A 7n ＋45a 5．已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且＝，则使得B n n ＋3b n
时，n 的值可以是( )
A ．1 B ．2 C ．5 D ．3或11
a 2a a 1＋a 2n －1A 2n －114n ＋38
[答案] D[解析] ∵{a n }与{b n }为等差数列，∴＝＝＝＝＝
b n 2b n b 1＋b 2n －1B 2n －12n ＋2
7n ＋19
，将选项代入检验知选D. n ＋1
a 3＋a 41
6．各项都是正数的等比数列{a n }的公比q ≠1，且a 2a 3，a 1成等差数列，( )
2a 4＋a 5
1－55＋15－15＋15－1A. B. D. 22222
1
[答案] C[解析] ∵a 2，a 3，a 1成等差数列，∴a 3＝a 2＋a 1，
2
5＋1
∵{a n }是公比为q 的等比数列，∴a 1q 2＝a 1q ＋a 1，∴q 2－q －1＝0，∵q >0，∴q ＝.
2
a ＋a 15－1∴C.
2a 4＋a 5q
a 7．已知数列{a n }为等差数列，若0的最大
a 10
值n 为( )
A ．11 B ．19 C ．20 D ．21
a 11
[答案] B[解析] ∵S n 有最大值，∴a 1>0，d
a 10
20(a 1＋a 20)
∴a 110，∴a 10＋a 11
2
19(a 1＋a 19)
又S 19＝19a 10>0，故选B.
2
1
8．等比数列{a n }中，a 1＝512，公比q ＝－，用Πn 表示它的前n 项之积：Πn ＝a 1·a 2·…·a n ，
2
则Πn 中最大的是( )
A ．Π11 B ．Π10 C ．Π9 D ．Π8
1(n －1)n n (n －1)－n 2＋19n n 1＋2＋…＋n －19n ⎛解析：Πn ＝a 1a 2…a n ＝a 1·q ＝2⎝－2(－1)
222
n ＝9时，Πn 最大．故选C
9．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 3＝a 5，a m ＝2011，则m ＝( ) A ．1004 B ．1005 C ．1006 D ．1007
a ＝1⎧⎧⎪1⎪a 1＝1
[答案] C[解析] 由条件知⎨，∴⎨， 3×2
⎪d ＝2⎩3a ＋＝a ＋4d 1⎪2⎩1
∵a m ＝a 1＋(m －1) d ＝1＋2(m －1) ＝2m －1＝2011，∴m ＝1006，故选C.
10．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝6n －4，数列{b n }的通项公式为b n ＝2n ，则在数列{a n }的前
100项中与数列{b n }中相同的项有( )
A ．50项 B ．34项 C ．6项 D ．5项
[答案] D[解析] a 1＝2＝b 1，a 2＝8＝b 3，a 3＝14，a 4＝20，a 5＝26，a 6＝32＝b 5，又b 10＝10
2＝1024>a 100，b 9＝512，令6n －4＝512，则n ＝86，∴a 86＝b 9，b 8＝256，令6n －4＝256，∵n ∈Z ，∴无解，b 7＝128，令6n －4＝128，则n ＝22，∴a 22＝b 7，b 6＝64＝6n －4无解，综上知，数列{a n }的前100项中与{b n }相同的项有5项．
二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把正确答案填在题中横线上)
1
11．已知数列{a n }满足：a n ＋1＝1－，a ＝2，记数列{a n }的前n 项之积为P n ，则P 2011＝________.
a n 1
[答案] 2
11
[解析] a 1＝2，a 2＝1a ＝1－2＝－1，a 4＝1－(－1) ＝2，∴{a n }的周期为3，且a 1a 2a 3
223
＝－1，∴P 2011＝(a 1a 2a 3) 670·a 2011＝(－1) 670·a 1＝2.
12．秋末冬初，流感盛行，荆门市某医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列{a n }，
已知a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2－a n ＝1＋(－1) n (n ∈N *) ，则该医院30天入院治疗流感的人数
共有________人． [答案] 255
[解析] ∵a n ＋2－a n ＝1＋(－1) n (n ∈N *) ，∴n 为奇数时，a n ＋2＝a n ，n 为偶数时，a n ＋2－a n
＝2，即数列{a n }的奇数项为常数列，偶数项构成以2为首项，2为公差的等差数列．
15×14
故这30天入院治疗流感人数共有15＋(15×2＋×2) ＝255人．
2
a ＋a 1
13．已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，a 3, 2a 2成等差数列，则＝________.
2a 1＋a 8
[答案] 3－21
[解析] ∵a 13, 2a 2成等差数列，∴a 3＝a 1＋2a 2，设数列{a n }公比为q ，则a 1q 2＝a 1＋2a 1q ，
2
∵a 1≠0，∴q 2－2q －1＝0，∴q ＝－2，∵a n >0，∴q 2－1，
a 3＋a 102∴q ＝3－22. a 1＋a 8
14．在如图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，
[答案] 22
[解析] 由横行成等差数列知，6下边为3，从纵列成等比数列及所有公比相等知，公比q
4＋6
＝2，∴b ＝2×2＝4由横行等差知c 下边为＝5，故c ＝5×2＝10，由纵列公比为2知a ＝1×23
2
＝8，∴a ＋b ＋c ＝22.
1
15．数列{a n }中，a 1＝1，a n 、a n ＋1是方程x 2－(2n ＋1) x ＋＝0的两个根，则数列{b n }的前
b n
n 项和S n ＝________．
n
[答案] 解析]由题意得a n ＋a n ＋1＝2n ＋1，又∵a n －n ＝－[a n ＋1－(n ＋1)]，a 1＝1
n ＋1
111
∴a n ＝n ，又a n ·a n ＋1＝b n ∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝1－.
b n n (n ＋1)n ＋1
三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分12分)(2011·甘肃天水期末) 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ＝pn 2－2n ＋q (p ，
q ∈R ) ，n ∈N *. (1)求q 的值；
(2)若a 3＝8，数列{b n }满足a n ＝4log 2b n ，求数列{b n }的前n 项和． [解析] (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝p －2＋q ，
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝pn 2－2n ＋q －p (n －1) 2＋2(n －1) －q ＝2pn －p －2 ∵{a n }是等差数列，∴p －2＋q ＝2p －q －2，∴q ＝0. (2)∵a 3＝8，a 3＝6p －p －2，∴6p －p －2＝8，∴p ＝2， ∴a n ＝4n －4，
－
又a n ＝4log 2b n ，得b n ＝2n 1，故{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列．
(1－2n )n
所以数列{b n }的前n 项和T n ＝＝2－1.
1－2
17．(本小题满分12分) 等差数列{a n }的各项均为正数，a 1＝3，前n 项和为S n ，{b n }为等比数列，
b 1＝1，且b 2S 2＝64，b 3S 3＝960. (1)求a n 与b n ；
111
(2)求的值．
S 1S 2S n
－
解：(1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则d 为正数，a n ＝3＋(n －1) d ，b n ＝q n 1，
⎧S 2b 2＝(6＋d )q ＝64⎪
依题意有⎨， 2
⎪S b ＝(9＋3d )q ＝960⎩33
⎧⎪d ＝2
解得⎨
⎪q ＝8⎩
⎧d ＝－5
或⎨40
q ⎩3
6
故a n ＝3＋2(n －1) ＝2n ＋1，b n ＝8n 1.
－
(舍去) ，
111111
(2)由(1)知S n ＝3＋5＋…＋(2n ＋1) ＝n (n ＋2) ，所以＋＋…＋S 1S 2S n 1×32×43×5
1
＋…＋
n (n ＋2)
11111111
1－＋－－＝32435n n ＋2⎭ 21112n ＋313
＝1＋2－n ＋1n ＋2＝－2⎝⎭42(n ＋1)(n ＋2)1
18．(本小题满分12分) 已知数列{b n }前n 项和为S n ，且b 1＝1，b n ＋1＝n .
3
(1)求b 2，b 3，b 4的值； (2)求{b n }的通项公式；
(3)求b 2＋b 4＋b 6＋…＋b 2n 的值．
1111141116
[解析] (1)b 2＝S 1＝b 1＝b 3＝S 2＝(b 1＋b 2) ＝，b 4＝S 3(b 1＋b 2＋b 3) [1**********]
b n ＋1＝S n ①
3
(2)
1
b n ＝n －1 ②
3
14
①－②解b n ＋1－b n ＝n ，∴b n ＋1＝b n ，
33
11⎛4n －2
∵b 2b n ＝ (n ≥2)
33⎝3⎧⎨⎩
1 (n ＝1)⎧⎪
∴b n ＝⎨1⎛4n －2.
(n ≥2)⎪⎩3⎝34⎫21
(3)b 2，b 4，b 6…b 2n 是首项为，公比⎛⎝3⎭的等比数列， 3
14[1－()2n ]33
∴b 2＋b 4＋b 6＋…＋b 2n ＝42⎛1－⎝334
＝[(2n －1]． 73
19．(本小题满分12分) 已知f (x ) ＝m x (m 为常数，m >0且m ≠1) ．设f (a 1) ，f (a 2) ，…，f (a n ) …(n
∈N ) 是首项为m 2，公比为m 的等比数列． (1)求证：数列{a n }是等差数列；
(2)若b n ＝a n f (a n ) ，且数列{b n }的前n 项和为S n ，当m ＝2时，求S n ；
(3)若c n ＝f (a n )lg f (a n ) ，问是否存在m ，使得数列{c n }中每一项恒小于它后面的项？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．
－＋
[解析] (1)由题意f (a n ) ＝m 2·m n 1，即ma n ＝m n 1. ∴a n ＝n ＋1，∴a n ＋1－a n ＝1，
∴数列{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列．
＋
(2)由题意b n ＝a n f (a n ) ＝(n ＋1)·m n 1，
＋
当m ＝2时，b n ＝(n ＋1)·2n 1，
＋
∴S n ＝2·22＋3·23＋4·24＋…＋(n ＋1)·2n 1① ①式两端同乘以2得，
＋＋
2S n ＝2·23＋3·24＋4·25＋…＋n ·2n 1＋(n ＋1)·2n 2② ②－①并整理得，
＋＋
S n ＝－2·22－23－24－25－…－2n 1＋(n ＋1)·2n 2
＋＋
＝－22－(22＋23＋24＋…＋2n 1) ＋(n ＋1)·2n 2
2n
＋22(1－2)＝－2－＋(n ＋1)·2n 2
1－2
＋＋
＝－22＋22(1－2n ) ＋(n ＋1)·2n 2＝2n 2·n .
＋n ＋1n ＋1
(3)由题意c n ＝f (a n )·lg f (a n ) ＝m ·lg m ＝(n ＋1)·m n 1·lg m ，
*
要使c n
＋＋
即(n ＋1)·m n 1·lg m
①当m >1时，lg m >0，所以n ＋1
n ＋1
②当0m 对一切n ∈N *成立，
n ＋2
n ＋1122＝10
33n ＋2n ＋2
2
综上，当01时，数列{c n }中每一项恒小于它后面的项．
3
111
20．(本小题满分13分) 将函数f (x ) ＝sin x ·sin x ＋2π)·sin x ＋3π) 在区间(0，＋∞) 内的全部极值
442
点按从小到大的顺序排成数列{a n }(n ∈N *) ． (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝2n a n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n 的表达式．
111
[解析] (1)化简f (x ) ＝sin ·sin (x ＋2π)·sin x ＋3π)
442
x x x ⎛1－＝－sin x ＝sin ·244⎝4
π
其极值点为x ＝k π＋(k ∈Z ) ，
2
π
它在(0，＋∞) 内的全部极值点构成以为首项，π为公差的等差数列，
2
2n －1π
a n ＝＋(n －1) ·π＝π(n ∈N *) ．
22
π
(2)b n ＝2n a n ＝n －1)·2n
2
π－
∴T n 2＋3·22＋…＋(2n －3)·2n 1＋(2n －1)·2n ]
2π＋
2T n ＝22＋3·23＋…＋(2n －3)·2n ＋(2n －1)·2n 1]
2
π＋
相减得，－T n 2＋2·22＋2·23＋…＋2·2n －(2n －1)·2n 1]
2
∴T n ＝π[(2n －3)·2n ＋3]．
21．(本小题满分14分) 数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n (n ＋1)(n ∈N *) ．
(1)求数列{a n }的通项公式；
b b b b (2)若数列{b n }满足：a n ＝＋{b n }的通项公式；
3＋13＋13＋13＋1
a b (3)令c n ＝n ∈N *) ，求数列{c n }的前n 项和T n .
4
[解析] (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n (n ＋1) －(n －1) n ＝2n ，知a 1＝2满足该式 ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n .
b b b b (2)a n ＝＋＋…＋(n ≥1) ①
3＋13＋13＋13＋1
b n ＋1b b b b ∴a n ＋1＝＋＋＋…＋＋②
3＋13＋13＋13＋13＋1
b n ＋1＋
②－①得，a n ＋1－a n ＝2，b n ＋1＝2(3n 1＋1) ，
3＋1n
故b n ＝2(3＋1)(n ∈N *) ．
a n b n
(3)c n ＝＝n (3n ＋1) ＝n ·3n ＋n ，
4
∴T n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n ＝(1×3＋2×32＋3×33＋…＋n ×3n ) ＋(1＋2＋…＋n ) 令H n ＝1×3＋2×32＋3×33＋…＋n ×3n ，①
＋
则3H n ＝1×32＋2×33＋3×34＋…＋n ×3n 1②
n
＋23n n ＋13(1－3)①－②得，－2H n ＝3＋3＋3＋…＋3－n ×3＝－n ×3n 1
1－3
n ＋1
(2n －1)×3＋3
∴H n ＝，
4
∴数列{c n }的前n 项和
＋
(2n －1)×3n 1＋3n (n ＋1)T n ＋42